III - Eléments de la théorie de Hertz -1881 :

Mécanique du contact - frottement - usure

I - Introduction II - Contact ponctuel

III - Eléments de la théorie de Hertz -1881 :

II.1 Cinématique du contact ponctuel

II.2 Efforts transmis au contact - loi de Coulomb II.3 Conclusion :

III.1 Hypothèses

IV - Contact surfacique :

V – Frottement, usure, lubrification :

III.1 Hypothèses

III.2 Modélisation des déformations, zone de contact III.3 Répartition de pression

III.4 Contact sphérique

III.5 Contact linéique

III.6 Tableau récapitulatif

III.7 Quelques applications

I - Introduction

Exemple 1 : liaison pivot (articulation) Exemple 2 : frein à disque

Pb : Quelles dimensions donner à l'articulation?

Quels matériaux choisir?

...

Pb : Quelles dimensions donner aux surfaces de freinage?

Quels matériaux choisir?

Quelle est la force nécessaire au freinage?

...

Exemple 3 : liaison pivot par éléments roulants

Pb : Quelle est la rigidité de la liaison ainsi réalisée?

Est-ce une liaison pivot ou une pivot glissant?

Quelles sont les conséquences sur la durée de vie de la liaison?

...

II - Contact ponctuel

II.1 Cinématique du contact ponctuel

Mouvement relatif de S1 par rapport à S2 et

Ω

V

M : point de contact entre S1 et S2

π

: normale au contact nr

r S1 Ω _{1 2/}

nr

M

π

S2 r

V

{ }

y z

x y

M

xyz

xyz

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0

/

/ / /

/

: /

Ω Ω Ω



 

 



 

 

zr

xr

r

V

Contenue dans le plan tangent : Taux de rotation de S1 / S2

Ω

r r r

Ω

= Ω

+ Ω

M

π

r S1

Ω

nr

Ω

xr ^{1 2/ 1 2/ 1 2/}

Projection suivant Taux de rotation

de pivotement (Spin)

nr Projection sur Taux de rotation

de roulement

π

M

S2 r

V

Ω

yr

zr

x

M

π

S1

r

V Ω

nr

Ω

r r r r r r

Ω

≠ o

Ω

≠ o et V

≠ o

Si

S1 pivote, roule et glisse par rapport à S2

r r r r r r

Ω

≠ o

Ω

≠ o et V

= o

Si

S1 pivote et roule sans glisser xr

S2 r

V

Ω

S1 pivote et roule sans glisser par rapport à S2

r r r r r r

Ω

= o

Ω

≠ o et V

= o

Si

S1 roule sans glisser et sans pivoter par rapport à S2

etc...

yr

zr

II.2 Efforts transmis au contact de S2 sur S1

Hypothèses :

Pas de frottement Solides indéformables

{ ^F }

M xyz

N

M xyz 2 1

2 1

0 0

0 0 0

→



 

 



 

 

M /

S1 nr

xr





Mais en réalité

• Les solides sont déformables zone de contact...

• Il y a du frottement

π

S2

N

yr

zr

x

Cas réel : frottement et solides déformables

Zone de contact S

F_2→1

{ }

T_{x2/ 1} T_{y2 /1} N_{2 /1}

M_{x2/ 1} M_{y2/ 1} M_{z2/ 1}



 

 



 

 

M_xyz

avec

T

t dS

S 2 1/

= ∫

T

= ∫ t

dS

nr _p

S2 S1

S2

dS

t_x

t_y

N p dS

S 2 1/

= ∫

M

y p dS

S 2 1/

= ∫

M

= (yt

+ xt

)dS

S

∫

T

t

dS

S 2 1/

= ∫

M

x p dS

S 2 1/

= ∫

p, t_x, t_y (en N/mm² ) yr

zr

xr

r

V_{M 1 2/}

S2 nr

xr

r T

r r

V

≠ o

r T Vr

V^M f N

M 2 1

1 2 1 2

2 1 /

/ /

= − /

r T

r N _{2 1/} Tan( )ϕ = f

Loi de Coulomb : si glissement

r S2 y

zr

r r

V

= o r

T

≤ f N

avec f coefficient de frottement entre S1 et S2 f ne dépend que des matériaux en contact

T

si non glissement

II.2 Conclusion :

Deux solides S1 et S2 : géométrie, matériaux ( f , E, ν), ...

Des efforts à transmettre

...

Objectifs de la mécanique du contact

Données :

Résultats :

Quelle est la zone de contact ?

Quelle est la répartition de pression? p_max ?

Quel est le rapprochement global des deux solides?

Quelle est la puissance dissipée au contact ?

...

du contact Résultats :

III - Eléments de la théorie de Hertz -1881 III.1 Hypothèses

Solides massifs

déformations négligeables en dehors de la zone de contact Déformations élastiques

réversibles réversibles Pas de frottement

pas d’effort tangentiel Pas de mouvement relatif des deux solides

r r r r

V

=

et Ω

=

xr

π

S1

nrr nr n

S1

nr

N

B'

S1

nrr n

M

nr

π

S1

nr Avant

chargement

A

III.2 Modélisation des déformations, zone de contact

M

Après

chargement

xr

xr₁

y

z

S2

zr

Avant chargement

S2

zr

S2

zr r B'

y r

z

S2

zr

Avant chargement

S2

zr

S2

zr B

xr

yr

M

yr₁ -a

-b a

b Rapprochement des deux solides :

δδδδ

Zone de contact, elliptique,dans π :

a , b , φφφφ

A A'

B B'

δ = AB − A B

φ

III.3 Répartition de pression

xr₁ zrr

z

Avant chargement zr

xr

M

yr -a

-b a

b

φ

Zone de contact Répartition de pression suivant un ellipsoïde

-a a

-b

p_max

xr₁

M

yr₁ yr

yr₁ b

p N

a b p

i moyen

max

=

=

2

3 2

1 2

π

III.4 Contact sphérique ( φ ⁼⁰⁾

Géométrie du contact

( )

a R

E

=  N

  

 

4

1 3

1 2 1 3

* /

/ /

Rapprochement des deux solides

( )

δ = 

  

 

16

1 ^{1 3}

1 2 2 3

RE

*2

N

/

/ /

R₁

xr

M

N

E N mm

υ

S2 matériau

Pression maximale

p N

max

=  a

  

  

  

 

3 2

1 2

π

R₂

xr

M

a

yr -a

a -a

avec

R = ( /1 R₁ +1/ R₂)⁻¹

E^*

=

− υ

E₁

+

− υ

E₂



 



 

−1

S2 matériau

E

N mm

υ

Critère de dimensionnement

p

< p

p

acier 200000 0,3 600 à 700

p

N/mm²

υ

alu 80000 0,35 350

fonte 100000 0,3 500

bronze 130000 0,35 100

téflon 130000 0,35 10

(statique)

1 2

1 1/ )

/ 1

(

−

=

R

R₂

R₁ Remarques :

Concavité inverse Attention au signe!

III.5 Contact linéique

R₁

xr

M r

x

N

E N mm

υ

=

π



  

 

1/ 2 N_{1/ 2} l









1 / 2

Rapprochement des deux solides

??? à déterminer expérimentalement

xr

M

a yr

-a

-a a

R₂

zr S2 matériau yr

z

l l

E₂(N mm/ ²),

υ

Pression maximale

p N

max

=  a l

  

 

π

Critère de dimensionnement

p

< p

Remarque sur le rapprochement des deux solides

Cas d'un roulement à rouleaux : un rouleau chargé

bague

intérieure S1 Contacts

N

rapprochement des solides S1 et S2

( )

δ = K N

bague

extérieure S2 rouleau S3

Contacts linéiques

K coefficient qui dépend de la géométrie et des matériaux

III.6 Tableau récapitulatif des résultats de la théorie de Hertz

(extrait de Systèmes mécaniques, Dunod)

Ei

=

− υ

π

III.7 Quelques applications

Problème 1 :

On souhaite comparer 4 contacts ponctuels différents a) contact entre deux sphères de rayon R

b) contact entre une sphère de rayon R et un plan

c) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique concave de rayon 4R

d) contact entre une sphère de rayon R et une surface sphérique concave de rayon 4/3 R

concave de rayon 4/3 R

Les deux solides sont en acier, l'effort presseur est de 1000 N et le rayon R a pour valeur 25 mm.

Quel rapport existe-t-il entre les valeurs des différentes pressions maximum au niveau du contact?

Problème 2 :

On considère une pompe hydraulique

a) Effectuer le schéma cinématique minimal de l'appareil

b) Déterminer en fonction de la pression de refoulement P et de

l'angle d'inclinaison γ du plateau, l'expression de l'effort au contact du piston et du plateau

c) Calculer la pression maximale au contact. Est-elle admissible ?

Données : P=100 bar, rayon du piston r = 5 mm, rayon de la partie sphérique au contact R=17,5 mm, les matériaux en contact sont en acier (E=200000 MPa et ν=0,3), inclinaison du plateau γ = 18°

IV - Contact surfacique :

Surface de contact?

Aspérités

Quelle est la surface réelle de contact ?

La surface réelle est différente de la surface théorique Quelle répartition de pression ?

exemple : Articulation, clavette, frein...

QUEL MODELE CHOISIR ?

a. Pression uniforme b. Pression fonction de la déformation

p M ( ) = = p

constante p M ( ) = K δ ( M )

Critère à respecter p

≤ p

Pression conventionnelle de matage

Pressions conventionnelles de matage utilisées couramment en bureau d’études: