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Recherches sur la théorie des Quanta
Louis de Broglie
To cite this version:
Louis de Broglie. Recherches sur la théorie des Quanta. Physique [physics]. Migration - université en
cours d’affectation, 1924. Français. �tel-00006807�
FONDATION LOUIS
DEBROGLIE
Créée en 1973 à l’occasion du
cinquantenaire
de lamécanique
ondu-latoire,
dans le cadre de la Fondation deFrance,
sous laprésidence
d’honneur de Louis de
Broglie.
Président d’honneur : Louis NEEL
Président : René THOM Vice-Président : Michel CAZIN Directeur :
Georges
LOCHAK
Président de l’Association de Gestion : Christian
CORMIER-DELANOUE
ANNALES
DE LAFONDATION LOUIS
DEBROGLIE
Rédacteurs en chef : DANIELFARGUE,
MICHEL KARATCHENTZEFFComité
scientifique
L. ACCARDI J. LAMEAU
J. ANDRADE E SILVA R. LEFEBVRE
A.O.
BARUT P. LOCHAKA.
BLAQUIÈRE
P. LONCKER. BOUDET P.W. MILONNI
C. CORMIER-DELANOUE X. OUDET
O. COSTA DE BEAUREGARD T.E. PHIPPS JR.
S.
DINER A.F. RANADAR. DUTHEIL G. DELLA RICCIA
E. GUNZIG M. SACHS
R. JANCEL J. SALMON
V.I. KHOZIAINOV M. SURDIN
S. KICHENASSAMY J.P. TERLETSKY
A. KOURBATOV J. VASSALO-PEREIRA
EDITORIAL
Avec ce
numéro,
les Annales de la Fondation Louis deBroglie
changent
de couverture et de format. C’est l’une desfaçons
de marquer .Tannée du centenaire de la naissance de Louis deBroglie
et unepartie
dechaque
fascicule des Annales de cette année seraconsacrée à sa mémoire.
Ce
premier
numéro lui rendhommage
enproposant
unere-production photographique
de l’éditionoriginale
de sathèse,
pa-rue en1924.1
Cette
réimpression
a été faite avec lagracieuse
autorisation des Editions Masson et des Annales dePhysique
que nousremer-cions ici très vivement.
LA
RÉDACTION
~
La Fondation Louis de
Broglie
publiera
également
cette année uneautre
réimpression
de ce texte dans une édition de luxequi comprendra
deplus
en annexequelques
documentshistoriques :
- les trois
notes parues en 1923 aux
Comptes
Rendus de l’Académie des Sciences danslesquelles
Louis deBroglie
exposait
l’essentiel deses
idées,
- le
rapport de thèse de
Langevin,
-
un extrait de la fameuse lettre d’Einstein à
Langevin,
- la note de Louis de
Broglie
auxComptes
Rendus de l’Académie desSciences, publiée
en1973,
à l’occasion ducinquantenaire
de laMé-canique Ondulatoire,
etqui
constitue son testamentscientifique.
ANNALES
============ DE ============
PHYSIQUE
EXTRAIT
RECHERCHES SUR LA
THEORIE
DES
QUANTA
Par M. Louis de BROGLIE
RECHERCHES
SUR LA
THÉORIE
DES
QUANTA
Par M. Louis DE BROGLIE
SOMMAIRE . - L’histoire des théories
optiques
montre que lapensée scientifique
alongtemps
hésité entre uneconception
dyna-mique
et uneconception
ondulatoire de la lumière ; ces deuxreprésentations
sont donc sans doute moins enopposition qu’on
ne l’avaitsupposé
et ledéveloppement
de la théorie des quanta semble confirmer cette conclusion.Guidé par l’idée d’une relation
générale
entre les notions defréquence
etd’énergie,
nous admettons dans leprésent
travail 1 l’existence d’unphénomène périodique
d’une nature encore àpréciser qui
serait l~ié à tout morceau isoléd’énergie
etqui
dépen-drait de sa masse propre par
l’équation
de Plank-Einstein. Lathéorie de relativité conduit alors à associer au mouvement uni-forme de tout
point
matériel lapropagation
d’une certaine onde dont laphase
sedéplace
dansl’espace plus
vite que la lumière(ch. I.)
Pour
généraliser
ce résultat dans le cas du mouvement nonuniforme,
on est amené à admettre uneproportionnalité
entre levecteur
Impulsion
d’Univers ’d’unpoint
matériel et un vecteurcaractéristique
de lapropagation
de l’onde associée dont lacom-posante de temps est la
fréquence.
Leprincipe
de Fermatappli-qué
à l’onde devient alorsidentique
auprincipe
de moindreaction
appliqué
au mobile. Les rayons de l’onde sont identi-ques auxtrajectoires
possibles
du mobile(ch. II.)
L’énoncé
précédent
appliqué
au mouvementpériodique
d’un électron dans l’atome deBohr
permet de retrouver les conditions de stabilitéquantiques
commeexpressions
de la résonance de l’onde sur lalongueur
de latrajectoire
(chIII).
Ce résultat peutêtre étendu au cas des mouvements circulaires du noyau et de l’électron autour de leur centre de
gravité
commun dans l’atomed’hydrogène (ch.
IV).L’application
de ces idéesgénérales
au quantum de lumière conçu par Einstein mène à de nombreuses concordances très intéressantes. Elle permetd’espérer malgré
les difficultésqui
subsistent, la constitution d’uneoptique
à la foisatomistique
etentre l’onde liée au
grain d’énergie
lumineuse et l’ondeélectro-magnétique
de Maxwell(ch. V.)
En
particulier,
l’étude de la diffusion des rayons X et y par lescorps
amorphes
nous sert à montrer combien une conciliation de ce genre estaujourd’hui
désirable(ch.
VI )
Enfin,
l’introduction de la notion d’onde dephase
dans lamécanique
statistique
conduit àjustifier
l’intervention des quanta dans la théoriedynamique
des gaz et à retrouver les lois du rayonnement noir comme traduisant la distribution del’éner-gie
entre les atomes dans un gaz de quanta de lumière.INTRODU.CTION
HISTORIQUE
I. - Du XVrau XX~ siècle.
La science moderne est née à la fin du xvie siècle à la suite du renouveau intellectuel dû à la Renaissance. Tandis que
l’Astronomie de
position
devenait dejour
enjour plus
précise,
les sciences del’équilibre
et du mouvement, lastatique
et ladynamique
se constituèrent lentement. On sait que ce fut Newtonqui
lepremier
fit de laDynamique
un corps de doctrine
homogène
et par sa mémorable loi dela
gravitation
universelle ouvri-t à la nouvelle science unchamp
énormed’applications
et de vérifications. Pendant lesXVIIIe et xIxe siècles un
grand
nombre degéomètres,
d’astro-nomes et dephysiciens développèrent
lesprincipes
de Newton et laMécanique
parvint
à teldegré
de beauté et d’harmonie rationnellequ’on
en oublia presque soncarac-tère de science
physique.
Onparvint,
enparticulier,
à fairedécouler toute cette science d’un seul
principe,
leprincipe
de moindre action énoncé d’abord parMaupertuis,
puis
d’une autre manière par Hamilton et dont la formemathé-matique
estremarquablement élégante
et condensée.Par son intervention en
Acoustique,
enHydrodynamique,
enOptique,
enCapillarité,
laMécanique
parut
un instantrégner
sur tous les domaines. Elle eut un peuplus
depeine
siècle : la
Thermodynamique.
Si l’un des deuxgrands
principes
de cettescience,
celui de la conservation del’énergie,
se laisse facilementinterpréter
par lesconceptions
de la
Mécanique,
il n’est pas de même dusecond,
celui del’augmentation
del’entropie
Les travaux de Clausius et de Boltzmann surl’analogie
desgrandeurs thermodynamiques
avec certaines
grandeurs
intervenant dans les mouvementspériodiques,
travauxqui
à l’heure actuelle reviennent tout à fait à l’ordre dujour,
neparvinrent
pas à rétablircomplète-ment l’accocd des deux
points
de vue. Mais l’admirable théoriecinétique
des gaz de Maxwell et Boltzmann et la doctrineplus générale
diteMécanique statistique
de.Boltz-mann et Gibbs montrèrent que la
Dynamique,
si on lacomplète
par des considérations deprobabilité,
permet
l’in-terprétation
des notions fondamentales de lathermodyna-mique.
Dès le XVIIe
siècle,
la science de lalumière,
l’optique,
avait attiré l’attention des chercheu-rs. Les
phénomènes
lesplus
usuels(propagation
rectiligne,
réflexion,
réfraction),
ceux
qui
formentaujourd hui
notreoptique
géométrique,
furent naturellement lespremiers
connus.Plusieurs
savants,notamment .Descartes et
Huyghens
travaillèrent à en démêlerles lois et Fermât les résuma par un
principe
synthétique
qui
porte
son nom etqui,
énoncé dans notrelangage
mathé-matique
actuel,
rappelle
par sa forme leprincipe
de moindreaction.
Huyghens
avaitpenché
vers une théorie ondulatoirede la
lumière,
mais Newton sentant dans lesgrandes
lois del’optique géométrique,
uneanalogie profonde
avec ladyna-mique
dupoint
matériel dont il était lecréateur,
développa
une théorie
corpusculaire
de la lumière dite « théorie del’émission » et
parvint
même à rendrecompte
à l’aided’hypothèses
un peu artificielles dephénomènes
maintenantclassés dans
l’optique
ondulatoire.(anneaux
deNewton).
Le début du xixe siècle vit une réaction contre les idées de Newton en faveur de cellesd’Huyghens.
Lesexpériences
d’interférence dont les
premières
sont dues àYoung,
étaient difficiles sinonimpossibles
àinterpréter
dupoint
de vuecorpusculaire.
Fresneldéveloppa
alors son admirable théorieélastique
de lapropagation
des ondes lumineuses et dès tors le crédit de laconception
de Newton alla sans cesse endiminuant.
Un des
grands
succès de Fresnel futd’expliquer
lapropa-gation rectiligne
de lalumière
dontl’interprétation
était si intuitive dans la théorie de l’émission.Quand
deux théories fondées sur des idéesqui
nousparaissent
entièrementdiffé-rentes, rendent
compte
avec la mêmeélégance
d’une même véritéexpérimentale,
onpeut
toujours
se demander sil’op-position
des deuxpoints
de vue est bien réelle et n’est pasdue seulement à l’insuffisance de nos efforts de
synthèse.
Cette
question,
on ne se la posa pas àl’époque
de Fresnel etla notion de
corpuscule
de lumière fut considérée commenaïve et abandonnée.
Le XIXe siècle a vu naître une branche toute nouvelle de la
physique
qui
aapporté
dans notreconception
du monde etdans notre industrie d’immenses bouleversements : la science de l’Electricité. Nous n’avons pas à
rappeler
ici commentelle s’est constituée
g râce
aux travaux deVolta,
Ampère,
Laplace, Faraday,
etc. Cequi importe
seulement,
c’est de dire que Maxwell sut résumer en des formules d’unesuperbe
concision
mathématique
les résultats de ses devanciers et montrer commentl’optique
tout entièrepouvait
être consi-dérée comme un rameau del’électromagnétisme.
Lestra-vaux de Hertz et
plus
encore ceux de M. H.-A.. Lorentzperfectionnèrent
la théorie deMaxwell ;
Lorentz y intro-duisit deplus
la notion de la discontinuité de l’électricitédéjà
élaborée par M. J.-J. Thomson et si brillammentcon-firmée par
l’expérience.
Certes,
ledéveloppement
de la théorieélectromagnétique
enlevait à l’étherélastique
de Fresnel sa réalité et par là semblaitséparer
l’optique
du domaine de laMécanique,
maisbeaucoup
dephysiciens
à lasuite de Maxwell lui-même
espéraient
encore à la fin du siècle dernier trouver uneexplication mécanique
de l’étherélectromagnétique
et, parsuite,
non seulement soumettre de nouveaul’optique
auxexplications
dynamiques,
mais encore y soumettre du même coup tous lesphénomènes
électriques
etmagnétiques.
Le siècle se terminait donc éclairé par
l’espoir
d’unesyn-thèse
prochaine
etcomplète
de toute laphysique.
II. - Le XXe siècle : : la Relativité et les
Quanta.
Cependant,
il restaitquelques
ombres au tableau. LordKelvin,
en 1 goo,annonçait
que deux nuages noirsapparais-saient
menaçants
à l’horizon de laPhysique.
L’un de cesnuages
représentait
les difficultés soulevées par la fameuseexpérience
de Michelson etMorley qui
paraissait
incompa-tible avec les idées alors reçues. Le second nuage
représen-tait l’échec des méthodes de la
Mécanique statistique
dans le domaine durayonnement noir ;
le théorème del’équiparti-tion de
l’énergie, conséquence
rigoureuse
de laMécanique
statistique,
conduit en effet à unerépartition
bien définie del’énergie
entre les diversesfréquences
dans lerayonnement
d’équilibre thermodynamique ;
or, cetteloi,
la loi deRay-leigh-Jeans,
est en contradictiongrossière
avecl’expérience
et elle est même presque absurde car elle
prévoit
une valeurinfinie pour la densité totale de
l’énergie,
cequi
évidemment
n’a aucun sens
physique.
Dans les
premières
années du xxesiècle,
les deux nuages de lord Kelvin se sont, sije puis
dire,
condensés l’un en lathéorie de
Relativité,
l’autre en’la théorie desQuanta.
Comment les difficultés soulevées parl’expérience
de Michelson furent d’abord étudiées par Lorentz etFitz-Gerald,
comment elles furent ensuite résolues par M. A. Einstein
grâce
à un effort intellectuelpeut-être
sansexemple,
c’est cemaintes fois
exposée
dans ces dernières années par des voixplus
autorisées que la nôtre. Nous supposerons donc connuesdans cet
exposé
les conclusions essentielles de la théorie deRelativité,
du moins sous sa formerestreinte,
et nous yferons
appel chaque
fois que besoin en sera.Nous
allons,
aucontraire,
indiquer
rapidement
ledévelop-pement
de la théorie desquanta.
La notion dequanta
fut introduite dans la science en igoo, par M. Max Planck. Cesavant étudiait alors
théoriquement
laquestion
du rayonne-ment noir et, commel’équilibre
thermodynamique
ne doitpas
dépendre
de la nature desémetteurs,
il avaitimaginé
un émetteur très
simple
dit « le résonateur de Planck »constitué par un électron soumis à une liaison
quasi-élas-tique
etpossédant
ainsi unefréquence
de vibrationindépen-dante de son
énergie.
Si onapplique
auxéchanges
d’énergie
entre de tels résonateurs et le
rayonnement
les loisclassiques
del’électromagnétisme
et de laMécanique statistique_
onretrouve la loi de
Rayleigh
dont nous avonssignalé
plus
haut l’indéniable inexactitude. Pour éviter cette conclusion
et trouver des résultats
plus
conformes aux faitsexpérimen-taux, M. Planck admit un
étrange
postulat :
« Leséchanges
d’énergie
entre les résonateurs(ou
lamatière)
et lerayonne-ment n’ont lieu que par
quantités
linieségales
à h fois lafréquence,
h étant une nouvelle constante universelle de laphysique
». Achaque fréquence,
correspond
donc une sorted’atome
d’énergie,
unquantum
d’énergie.
Les données del’observation fournirent à M. Planck les bases nécessaires pour le calcul de la constante h et la valeur trouvée alors
(h
==6,545
X n’a pour ainsi dire pas été modifiée par les innombrables déterminationspostérieures
faites par les méthodes lesplus
diverses. C’est là un desplus
beauxexemples
de lapuissance
de laPhysique théorique.
Rapidement,
lesquanta
firent tache d’huile et ne tardèrent pas àimprégner
toutes lesparties
de laPhysique.
Tandis que leur introduction écartait certainesdifficultés
relativesaux chaleurs
spécifiques
des gaz, ellepermettait
à M. Eins-teind’abord,
puis
à MM. Nernst etLindemann,
enfin sous une formeplus parfaite
à MM.Debye,
Born et von Karman de faire une théorie satisfaisante des chaleursspécifiques
des solides etd’expliquer pourquoi
la loi deDulong
et Petit sanctionnée par lastatistique classique
comporte
d’impor-tantes
exceptions
etn’est,
tout comme la loi deRayleigh,
qu’une
forme limite valable dans un certain domaine.Les
quanta
pénétrèrent
aussi dans une science où on neles eut
guère
attendus : la théorie des gaz. La méthode deBoltzmann conduit à laisser indéterminée la valeur de la constante additive
figurant
dansl’expression
del’entropie.
1l~I.Planck,
pour rendrecompte
duthéorème
de Nernst etobtenir la
prévision
exacte des constanteschimiques,
admitqu’il
fallait faire intervenir lesquanta
et il le fit sous uneforme assez
paradoxale
en attribuant à l’élément d’extension enphase
d’une molécule unegrandeur
finieégale
à h3.L’étude de l’effet
photoélectrique
souleva une nouvelleénigme.
On nomme effetphotoélectrique l’expulsion
par la matière d’électrons en mouvement sous l’influence d’unrayonnement.
L’expérience
montre, faitparadoxal,
quel’énergie
des électronsexpulsés dépend
de lafréquence
durayonnement
excitateur et non de son intensité. M.Einstein,
en!go5,
a renducompte
de cetétrange
phénomène
enadmettant que la radiation
peut
être
absorbéeuniquement
parquanta
dèslors,
si l’électron absorbel’énergie
hv ets’il doit pour sortir de la matière
dépenser
un travail w sonénergie
cinétique
finale sera hv -w. Cette loi s’est trouvée
bien vérifiée. Avec sa
profonde
intuition,
M. Einstein sentitqu’il
y avaitlieu
de revenir enquelque
manière à la concep-tioncorpusculaire
de la lumière et émitl’hypothèse
quetoute radiation de
fréquence v
est divisée en atomesd’énergie
de valeur hv. Cette
hypothèse
desquanta
de lumière(licht
quanten)
enopposition
avec tous les faits del’Optique
ondu-latoire futjugée
trop
simpliste
etrepoussée
par laplupart
des
physiciens.
Tandis que MM.Lorentz,
Jeans et d’autres lui faisaient de redoutablesobjections.
M. Einsteinripostait
en montrant comment l’étude des fluctuations dans le
rayonnement
noir conduisait aussi à laconception
d’une discontinuité del’énergie
radiante. Lecongrès
international dephysique
tenu à Bruxelles en 1911 z sous lesauspices
de M.
Solvay
se consacraentièrement
à laquestion
desquanta
et c’est à la suite de cecongrès qu’Henri
Poincarépublia
peu detemps
avant sa mort une série d’articles sur lesquanta,
montrant la. nécessitéd’accepter
les idées de Planck; En1913,
parut
la théorie del’atome
de M. Niels Bohr. Il admit avec MM. Rutherford et Van Den Broek que l’atome estformé
d’un noyaupositif
entouré d’un nuaged’électrons,
le noyau
portant
Ncharges
élémentairespositives
4, ~~
u. e. s., et le nombre des électrons étant N de sorte que
l’ensemble est neutre. N est le nombre
atomique égal
aunuméro d’ordre de l’élément dans la série
périodique
de Men-deleïeff. Pour être en mesure deprévoir
lesfréquences
opti-ques en
particulier
pourl’hydrogène
dont l’atome à un seulélectron est
spécialement
simple,
Bohr fait deuxhypothèses :
1° Parmi l’infinité destrajectoires qu’un
électron tournantautour du noyau
peut décrire,
certaines seulement sontstables et la condition de stabilité fait intervenir la constante de Planck. Nous
préciserons
auchapitre
III la nature de ces,conditions;
2°Quand
un électronintraatomique
passe d’unetrajectoire
stable à une autre, il y a émission ouabsorption
d’un
quantum
d’énergie
defréquence
v. Lafréquence
émise ou absorbée v est donc reliée à la variation 8s del’énergie
totale de l’atome par larelation
[ ôz
=
hv.On sait
quelle
a été lamagnifique
fortune de la théorie deBohr
depuis
dix ans. Elle a tout de suitepermis
laprévision
des sériesspectrales
del’hydrogène
et de l’hélium ionisé : il’étude des
spectres
des rayons X et la fameuse loi deMoseley qui
relie le nombreatomique
auxrepères
spectraux
de son
application.
MM.Sommerfeld,
Epstein,
Schwarzschild,
Bohr lui-même et d’autres ont
perfectionné
lathéorie,
énoncé des conditions dequantification plus
générales, expliqué
les effetsStark
etZeemann,
interprété
lesspectres
optiques
dans leursdétails,
etc. Mais lasignification
profonde
desquanta
est restée inconnue. L’étude de l’effetphotoélectrique
des rayons X par M. Maurice" deBroglie,
celle de l’effetphotoélectrique
des rayons 1 due à MM. Rutherford et Ellis ont deplus
enplus
accentué le caractèrecorpusculaire
deces
radiations,
lequantum
d’énergie
hv semblantchaque
jour davantage
constituer un véritable atome de lumière. Mais lesobjections
anciennes contre cette vue subsistaientet, même dans le domaine des rayons
X,
la théorie des ondu-lationsrem.portait
de beaux succès :prévision
desphéno-mènes
d’interférence
de Laue et desphénomènes
de diffu-sion(travaux
deDebye,
de W.-L.Bragg, etc.).
Cependant,
toutrécemment,
la diffusion à son tour a été soumise aupoint
de vuecorpusculaire
par M. H.-A.Compton :
sestra-vaux
théoriques
etexpérimentaux
ont montréqu’un
électron diffusant une radiation doit subir une certaineimpulsion
comme dans unchoc ;
naturellementl’énergie
duquantum
de radiation s’en trouve diminuée et, parsuite,
la radiation diffuséeprésente
unefréquence
variable suivant la directionde diffusion et
plus
faible que lafréquence
de la radiation incidente.Bref,
le moment semblait venu de tenter un effort dans le but d’unifier lespoints
de vuecorpusculaire
et ondulatoireet
d’approfondir
un peu le sens véritable desquanta.
C’estce que nous avons fait récemment et la
présente
thèse a pourprincipal
objet
deprésenter
unexposé plus complet
des idées nouvelles que nous avonsproposées,
des succèsauxquels
elles nous ont conduit et aussi des très nombreuses lacunesqu’elles
contiennent(1).
(1)
Citons iciquelques
ouvrages où
sont traitées desquestions
relatives aux quanta : 1CHAPITRE PREMIER
L’onde de
phase.
I. - LA RELATION DU
QUANTUM ET LA RELATIVITÉ
Une des
plus
importantes conceptions
nouvelles intro-duites par la Relativité est celle de l’inertie del’énergie.
D’après
Einstein,
l’énergie
doit être considérée commeayant
de la masse et toute masse
représente
del’énergie.
La masse etl’énergie
sonttoujours
reliées l’une à l’autre par la relationgénérale :
énergie
= masse C2c étant la constante dite « vitesse de la lumière )) mais que
nous
préférons
nommer « vitesse limite del’énergie »
pourJ. PERRIN, Les atomes, Alcan,
1913.
H. POINCARÉ, Derniéies
pensées,
Flammarion,1913.
E. BAunR, Recherches sur le
rayonnement,
Thèse dedoctorat,
1912.La théorie du rayonnement et les quanta
(Ier Congrès Solvay,
IgII),
publiée
par P. LANGEVIN et M. DE BROGLIEM PLANCK, Theorie der
Wärmestrahlung,
J. -A.Barth,
Leipzig,
1921
(4e édit.).
L. BRILLOUIN, La théorie des quanta et l’atome Lle Bohr
(Conf.
rapports),
1921.F. REICHE, Die
quantentheorie,
J.Springer,
Berlin, 1921.A. SOMMERFELD, La constitution de l’atome et, les rates spec-trales. Trad. BELLENOT, A.
Blanchard,
1923.
A. LANDE, Vorschritte der
quantentheorie,
F.Steinhopff,
Dresde, 1922. .Atomes et électrons
(3e Congrès Solvay,),
Gauthier-Villars,
1923.
des
raisonsexposées plus
loin.Puisqu’il
y atoujours
pro-portionnalité
contre la masse etl’énergie,
on doitconsidérer
matière et
énergie
comme deux termes synonymesdésignant
la même réalité
physique.
La théorie
atomique
d’abord,
la théorieélectronique
ensuite nous ontappris
à considérer la matière commeessentiellement discontinue et cela nous conduit à admettre que toutes les formes de
l’énergie,
contrairement aux idéesanciennes sur la
lumière,
sont sinon entièrement concentréesen de
petites portions
de 1 espace, tout au moins condenséesautour de certains
points singuliers.
Le
principe
de l’inertie del’énergie
attribue à un corpsdont la masse propre
(c’est-à-dire ,mesurée
par unobserva-teur
qui
lui estlié)
est mo uneénergie
propremoc2.
Si lecorps est en mouvement uniforme avec une vitesse v = 0c
par
rapport
à un observateur que nous nommerons poursimplifier
l’observateurfixe,
sa masse aura pour celui-ci lavaleur
conformément à un résultat bien connu dela
Dynamique
Relativiste et, parsuite,
sonénergie
sera.
Commel’énergie cinétique
peut
être définiel’aug-mentation
qu’éprouve l’énergie
d’un corps pourl’observa-teur fixe
quand
il passe du repos à lavitesse v
=pc,
ontrouve pour sa valeur
l’expression
suivante : :qui
naturellement pour les faibles valeursde B
conduit à la formeclassique :
Ecin
= - I
rnov2
2
Ceci
rappelé,
cherchons sousquelle
forme nous pouvonsfaire intervenir les
quanta
dans ladynamique
de la Relati-vité. Il nous semble que l’idée fondamentale de la théoriedes
quanta
soitl’impossibilité d’envisager
unequantité
iso-lée
d’énergie
sans y associer une certainefréquence.
Cetteliaison
s’exprime
par ce quej’appellerai
la relationdu
quan-tum :
énergie == ~ ~ fréquence
It constante de Planck.
Le
développement progressif
de la théorie desquanta
ami-s
plusieurs
fois en vedette l’actionmécanique
et on acherché bien des fois à donner de la relation du
quantum
unénoncé faisant intervenir l’action au lieu de
l’énergie.
Assu-rément,.
la constante h a les dimensions d’une action savoirML2T-i et cela n’est pas dû au hasard
puisque
la théorie deRelativité nous
apprend à
classer l’actionparmi
lesprinci-paux
« invariants » de laPhysique.
Mais l’action est unegrandeur
d’un caractère très abstrait et, à la suite denom-breuses méditations sur les
quanta
de lumière et l’effetpho-toélectrique,
nous avons été ramenés àprendre
pour basel’énoncé
énergétique;
quitte
ensuite à chercherpourquoi
l’actionjoue
un sigrand
rôle dans nombre dequestions.
La
relation
duquantum
n’aurait sans doute pasbeaucoup
de sens si
l’énergie
pouvait
être distribuée d’unefaçon
con-tinue dans
l’espace,
mais nous venons de voirqu’il
n’en estsans doute pas ainsi. On
peut
donc concevoir que par suited’une
grande
loi de laNature,
àchaque
morceaud’énergie
de masse propre m~, soit lié un
phénomène périodique
defréquence
va telle que l’on ait : :vo étant
mesurée,
bienentendu,
dans lesystème
lié au. morceaud’énergie.
Cettehypothèse
est la base de notresys-tème : elle vaut, comme toutes les
hypothèses,
ce que valentles
conséquences qu’on
enpeut
déduire.Devons-nous supposer le
phénomène
périodique
localisé à l’intérieur du morceaud’énergie ?
Cela n’est nullemenLnécessaire et il résultera du
paragraphe
IIIqu’il
est sansdoute
répandu
dans uneportion
étendue del’espace.
D’ail-leurs que faudrait-il entendre par intérieur d’un morceau
d’énergie ?
L’électron est pour nous letype
du morceau isolécelui que nous croyons,
peut-être
àtort,
le mieuxconnaître ;
ord’après
lesconceptions
reçues,l’énergie
del’électron est
répandue
dans toutl’espace
avec une très fortecondensation dans une
région
de trèspetites
dimensions dont lespropriétés
noussont
d’ailletrrs fort mal connues. Cequi
caractérise l’électron comme atomed’énergie,
ce n’est pas lapetite place qu’il
occupe dansl’espace, je répète qu’il
l’occupe
toutentier,
c’est le faitqu’il
estinsécable,
nonsula-divisible,
qu’il
forme
une unité(1).
Ayant
admis l’existence d’unefréquence
liée au morceaud’énergie,
cherchons comment cettefréquence
se manifestea l’observateur fixe dont il fut
question
plus
haut. La trans-formation dutemps
dé Lorentz Einstein nousapprend qu’un
phénomène périodique
lié au corps en mouvementapparaît
ralenti à l’observateur fixe dans lerapport
de ià
c’est le fameux ralentissement des
horloges.
Donc la fré-quence observée par l’observateur fixe sera,Ji 1
- ~o ‘, â n
D’autre
part,
commel’énergie
du mobile pour le mêmeobservateur est
égale
à , lafréquence
correspon-dante
d’après
la relation duquantum
est
deux
fréquences v1
et u sont essentiellement différentespuisque
le facteur- 3~
n’y figure
pas de la mêmefaçon.
Il y a là une difficultéqui
m’alongtemps intrigué ; je
suis(1)
Ausujet
des difficultésqui
seprésentent
lors de l’interac-tioo deplusieurs
centresélectrisés,
voirplus
bas lechapitre
IV.parvenu à la lever en démontrant le théorème suivant que
j’appellerai
le théorème de l’harmonie desphases :
« Le
phénomène
périodique
lié au mobile et dont lafré-quence
est pour l’observateur fixeégale
=jt
n~°~,2 ~
1- ~’
paraît
à celui-ci constamment enphase
avec une onde defré-quenoe v = se
propageant
dans la mêmedirection que le mobile avec la vitesse V -
-~- .
))La démonstration est très
simple. Supposons
qu’au
temps
t == o,
il y
ait accord dephase
entre lephénomène
périodi-que lié au mobile et l’onde ci-dessus définie. Au
temps t,
le mobile a franchidepuis
l’instantorigine
une distanceégale
ii x = pc1
et laphase
duphénomène
périodique
a varié devit
= Laphase
de laportion
d’ondequi
irecouvre le mobile a varié de :
Comme nous l’avions
annoncé,
l’accord desphases
siste.
Il est
possible
de donner de ce théorème une autredémonstration
identique
aufond,
maispeut-être
plus.frap-pante.
Sito
représente
letemps
pour un observateur lié aumobile
(temps
propre dumobile),
la transformationLorentz
donne :
Le
phénomène périodique
que nousimaginons,
estsinusoi-dale de
volo.
Pour l’observateurfixe,
il estreprésenté
par lamême fonction sinusoïdale
de
fonc-tion
qui représente
une onde defréquence
’° sepro-V
pageant
avec la vitesse ~ dans la même direction que le mobile.Il est maintenant
indispensable
de réfléchir à la nature de l’onde dont nous venons de concevoir l’existence. Le fait quesa vitesse V =
r~ ~
soitnécessairement
supérieure
à c~~3
étanttoujours
inférieur à i, sansquoi
la masse serait infinie ouimaginaire),
nous montrequ’il
ne saurait êtrequestion
d’une ondetransportant
del’énergie.
Notre théorème nousapprend
d’ailleurs
qu’elle représente
la distribution dansl’espace
desphases
d’unphénomène ;
c’est une « onde dephase
».Pour bien
préciser
ce dernierpoint,
nous allons exposer unecomparaison mécanique
un peugrossière,
maisqui
parle
àl’imagination.
Supposons
unplateau
horizontalcir-culaire de très
grand
rayon ; à ceplateau,
sontsuspendus
des
systèmes identiques
formés d’un ressortspiral auquel
est accroché unpoids.
Le nombre dessystèmes
ainsisus-pendus
par unité de surface duplateau,
leurdensité,
va endiminuant très
rapidement quand
ons’éloigne
du centre duplateau
de telle sortequ’il
y a condensation dessystèmes
autour de ce centre. Tous les
systèmes
ressorts-poids
étantidentiques
ont tous mêmepériode ;
faisons-les osciller avecla même
amplitude
et la mêmephase.
La surfacepassant
par les centres degravité
de tous lespoids
sera unplan qui
montera et descendra d’un mouvement alternatif. L’ensem-ainsi obtenu
présente
une trèsgrossière analogie
avec le morceau isoléd’énergie
tel que nous le concevons.La.
description
que nous venons de faire convient à unobservateur lié au
plateau.
Si un autre observateur voit leavec la vitesse v =
pc,
chaque
poids
luiparaîtra
unepetite
horloge
subissant le ralentissementd’Einstein ;
deplus,
leplateau
et la distribution dessystèmes
oscillants ne serontplus isotropes
autour du centre en raison de la contractionde Lorentz. Mais le fait fondamental pour nous
(le
3epara-graphe
nous le fera mieuxcomprendre),
c’est ledéphasage
des. mouvements des différentspoids.
Si,
à un momentdonné de son
temps,
notre observateur fixe considère le tieugéométrique
des centres degravité
des diverspoids,
il obtient une surfacecylindrique
dans le sens horizontal dontles sections verticales
parallèles
à la vitesse duplateau
sontdes sinusoïdes. Elle
correspond
dans le casparticulier
envi-sagé
à notre onde dephase ;
d’après
le théorèmegénéral,
cette surface est animée d’une vitesse1
parallèle
à celle duplateau
et lafréquence
de vibration d’unpoint
d’abscisse fixequi
repose constamment sur elle estégale
à lafréquence
propre d’oscillation des ressortsmultipliée
par .On voit nettement sur cet
exemple (et
c’est notre excused’~T
avoir si
longuement insisté)
comment l’onde dephase
cor-respond
autransport
de laphase
et aucunement à celui del’énergie.
Les résultats
précédents
nous semblent être d’une extrêmeimportance
parcequ’à
l’aide d’unehypothèse
fortementsug--gérée
par la notion même dequantum,
ils établissent unlien entre le mouvement d’un mobile et la
propagation
d’une onde et laissent ainsi entrevoir lapossibilité
d’unesynthèse
des théoriesantagonistes
sur la nature des radiations.Déjà,
nous pouvons noter que la
propagation rectiligne
de l’onde dephase
est liée au mouvementrectiligne
dumobile ;
leprincipe
de Fermatappliqué
à l’onde dephase
détermine la forme de ces rayonsqui
sont des droites tandis que leprin-cipe
deMaupertuis appliqué
au mobile détermine satrajec-toire
rectiligne qui
est l’un des rayons de l’onde. AuII. - VJTESSE
DE PHASE ET VITESSE DE GROUPE
Il nous faut maintenant démontrer une relation
impor-tante existant entre la vitesse du mobile et celle de l’onde de
phase.
Si des ondes defréquences
très voisines sepropagent
dans une même direction Ox avec des vitesses V que nous
appellerons
vitesses depropagation
de laphase,
ces ondesdonneront par leur
superposition
desphénomènes
debatte-ment si la vitesse V varie avec la
fréquence
v. Cesphénomé
-nes ont été étudiés notamment par lordRayleigh
dans lecas des milieux
dispersifs.
Considérons deux ondes de
fréquences
voisines v etv’ + OV et de vitesses V etV=V + dV dv leur
super-position
se traduitanalytiquement
parl’équation
suivante obtenue ennégligeant
au second nombre ôv devant v :Nous avons donc une onde
résultante
sinusoïdale dontl’amplitude
est modulée à lafréquence
ov car lesigne
ducosinus
importe
peu. C’est là un résultat bien connu. Si l’ondésigne
par U la vitesse depropagation
dubattement,
ouvitesse du groupe
d’ondes,
on trouve :Revenons aux ondes de
phase.
Si l’on attribue au mobile une vitesse v =~c
en nedonnant
pas
à ~
une valeur tout il faitdéterminée,
mais en luiimposant
seulement d’êtrecom-prise
entre § et §
+ 0 p;
lesfréquences
des ondes correspon-dantesremplissent
unpetit
intervalle v, v + ov.Nous allons établir le théorème suivant
qui
nous sera utileultérieurement. « La vitesse du groupe des ondes de
phase
est
égale
à la vitesse du mobile ». Enefiet,
cette vitesse de groupe est déterminée par la formule donnée ci-dessus danslaquelle
V et vpeuvent
être considérés comme fonctionde ~
puisque
l’on a : Y = -c
. e v v _-_. h~~ ~ - 3~_
enpeut
écrire : d)J L~T -v
d ~3
Or Donc : U =~C
= v.La vitesse de groupe des ondes de
phase
est bienégale
à la vitesse du mobile. Ce résultatappelle
une remarque :dans la théorie ondulatoire de la
dispersion,
si onexcepte
les zones
d’absorption,
la vitesse del’énergie
estégale
à la vitesse de groupe(i).
Ici,
bien queplacés
à unpoint
de vue(1)
Voir parexemple
LÉON BRILLOUIN. La théorie des quanta etbien
différent,
nous retrouvons un résultatanalogue,
car la vitesse du mobile n’est pas autre chose que la vitesse dudéplacement
del’énergie.
III. - L’ONDE DE PHASE DANS
L’ESPACE-TEMPS
Minkowski a montré le
premier
qu’on
obtenait unerepré--sentation
géométrique simple
des relations del’espace
et dutemps
introduites
par Einstein en considérant unemultipli-Fig.
I . .cité euclidienne à
4
dimensions
dite Univers ouEspace-temps.
Pour cela ilprenait
3 axes de coordonnéesrectangu-laires
d’espace
et unquatrième
axe normal aux 3premiers
surlequel
étaientportés
lestemps
multipliés
par c Onporte
plus
volontiersaujourd’hui
sur lequatrième
axela
quantité
réelle ct, mais alors lesplans
passant
par cet axeet normaux à
l’espace
ont unegéométrie pseudo
euclidienne-hyperbolique
dont l’invariantfondamental
est c2dt2 - d~;2- - d~2 - d,~2.
Considérons donc
l’espace-temps
rapporté
aux 4
axesrec-tangulaires
de l’observateur dit « fixe » . Nousprendrons
pour axe des x latrajectoire
rectiligne
du mobile et nousreprésenterons
sur notrepapier
leplan
otx contenant l’axe dutemps
et la ditetrajectoire.
Dans cesconditions,
laligne
d’Univers du mobile est
figurée
par une droite inclinée de. moins de450
sur l’axe dutemps;
cetteligne
est d’ailleurs l’axe dutemps
pour l’observateur lié au mobile. Nousrepré-sentons sur notre
figure
les 2 axes dutemps
secoupant
àl’origine,
cequi
ne restreint pas lagénéralité.
Si la vitesse du mobile pour l’observateur
fixe
est lapente
de Of a pour valeur . La droiteox’,
trace sur leplan
tox del’espace
de l’observateur entraîné autemps O,.
,.est
symétrique
de Ot’ parrapport
à la bissectriceOD ;
il estfacile de le démontrer
analytiquement
aumoyen
de la trans-formation deLorentz,
mais cela résulte immédiatement du fait que la vitesse- limitede
l’énergie
c a la même valeurpour tous les
systèmes
de référence. Lapente
de Ox’ estdonc
~.
Sil’espace
entourantle
mobile est lesiège
d’unphénomène
périodique,
l’état del’espace
redeviendra le même pour l’observateur entraînéchaque
fois que se seraécoulé un
temps
1
OA =1
ABégal
à lapériode
propre c c
T 0 =;:=
-2-
== h 2 duphénomène.
o 110moc
Les droites
parallèles
à ox’ sont donc les traces de ces « espaceséquiphases »
de l’observateur entraîné sur leplan
Les
points....
a’,
o, a...représentent
enprojection
leursintersections avec
l’espace
de l’observateur fixe à l’instant0 ;
ces intersections de 2 espaces à 3 dimensions sont dessuI-faces à 2 dimensions et même des
plans
parce que tous les espaces ici considérés sont euclidiens.Lorsque
letemps
s’écoule pour l’observateurfixe,
la section del’espace-temps
qui,
pourlui,
estl’espace,
estreprésentée
par une droiteparallèle
à ox sedéplaçant
d’un mouvement uniforme versles t croissants. On voit facilement que les
plans
fixe avec une vitesse
~
. Eneffet,
si laligne
oxs de lafigure
représente l’espace
de l’observateur fixe autemps t
= I , on aaao c. La
phase qui
pour t
=0,
se trouvait en a, setrouve maintenant en at; pour l’observateur
fixe,
elle s’est doncdéplacée
dans son espace de lalongueur
dàns le sens oxpendant
l’unité detemps.
Onpeut
donc
direque
savitesse est :
Fig.
2.L’ensemble des
plans
équiphases
constitue ce que nous avonsnommé l’onde de
phase.
Reste à examiner la
question
desfréquences.
RefaisonsTine
petite figure
simplifiée.
Les droites i et 2
représentent
deux espaceséquiphases
successifs de
l’observateur
lié. AB est, avons-nousdit,
égal
~ c fois la
période
propreTn
== .Ceci résulte d’une
simple
application
des relationstrigono-métriques ;
toutefois,
nous remarqueronsqu’en
.appliquant
la
trigonométrie
à desfigures
duplan
xot, il fauttoujours
avoirprésent
àl’esprit
l’anisotropie
particulière
à ceplan.
Le
triangle
ABC nous donne : _La
fréquence T 1 est
celle que lephénomène périodique
paraît
avoir pour l’observateur iixequi
le suit des yeux dansson
déplacement.
C’est :La
période
des ondes en unpoint
del’espace
pourl’obser-vateur fixe est
donnée
nonpar )
AC,
maispar §
AD. Cal-Dans lepetit
triangle
BCD,
on trouve la relationLa nouvelle
période
T est doncégale
à :T =
1
AC( ~
1 -~32)
==To
~i ~ . - ~9
c
et la
fréquence v
des ondess’exprime
par :ana-lytiquement
dans le ierparagraphe,
mais maintenant nousvoyons mieux comment ils se relient à la
conception géné-~
rale de
l’espace-temps
etpourquoi
ledéphasage
desmouve--ments
périodiques
ayant
lieu en despoints
différents del’espace
dépend
de lafaçon
dont est définie la simultanéité par la théorie de Relativité.CHAPITRE II
Principe
deMaupertuis
etprincipe
de Fermat.I. - BUT DE CE CHAPITRE
Nous voulons dans ce
chapitre
tâcher degénéraliser
lesrésultats du
chapitre
premier
pour le cas d’un mobile dont lemouvement n’est pas
rectiligne
et uniforme. Le mouvement varié suppose l’existence d’unchamp
de forceauquel
le mobile est soumis. Dans l’état actuel de nos connaissances ilsemble y avoir seulement deux sortes de
champs
leschamps
degravitation
et leschamps électromagnétiques.
La théorie de Relativitégénéralisée
interprète
lechamp
degravitation
comme dû à une courbure de
l’espace-temps.
Dans lapré-sente
thèse,
nous laisseronssystématiquement
de côté toutce
qui
concerne lagravitation,
quitte
à y revenir dans unautre travail. Pour nous
donc,
en ce moment, unchamp
deforce sera un
champ
électromagnétique
et ladynamique
du mouvement varié sera l’étude du mouvement d’un corpspor-tant une
charge électrique
dans unchamp électromagnétique_
Nous devons nous attendre à rencontrer dans ce
chapitre
d’assez
grandes
difficultés parce que la théorie deRelativité,
guide
très sûrquand
ils’agit
de mouvementsuniformes,
estencore assez hésitante dans ses conclusions sur le
mouve-ment non uniforme. Lors du récent
séjour
de M. Einstein àParis,
M. Painlevé a soulevé contre la Relativité d’amusantesqu’elles
faisaient toutes intervenir des accélérations alors que la transformation de Lorentz-Einstein nes’applique qu’aux
mouvements uniformes. Les
arguments
de l’illustre mathé-maticien ontcependant
prouvé
une fois deplus
quel’appli-cation des idées Einsteiniennes devient très délicate dès l’instant où l’on a affaire à des accélérations et, en
cela,
ilssont très instructifs. La méthode
qui
nous apermis
l’étudede l’onde de
phase
auchapitre premjer
ne vaplus
ici nousêtre d’aucun secours.
L’onde de
phase qui
accompagne le mouvement d’unmobile,
si toutefois on admet nosconceptions,
a despro-priétés qui
dépendent
de la nature de ce mobilepuisque
safréquence,
parexemple,
est déterminée parl’énergie
totale. Il semble donc naturel de supposer que, si unchamp
deforce
agit
sur le mouvement d’unmobile,
ilagira
aussi surla
propagation
de son onde dephase.
Guidé par l’idée d’une identitéprofonde
duprincipe
de la moindre action et de celui deFermât,
j’ai
été conduit dès le début de mesrecher-ches sur ce
sujet à
admettre que pour une valeur donnée del’énergie
totale dumobile
et par suide de lafréquence
deson onde de
phase,
lestrajectoires dynamiquement possibles
de l’un coïncidaient avec les
rayons
possibles
de l’autre. Celam’a conduit à un résultat fort satisfaisant
qui
seraexposé
auchapitre
III,
savoirl’interprétation
des conditions de stabi-litéintraatomique
établies par Bohr.Malheureusement,
il fallait deshypothèses
assez arbitraires sur la valeur des vitesses depropagations
V de l’oncle dephase
enchaque
point
duchamp.
Nousallons,
aucontraire,
nous servir icid’une méthode
qui
nous semblebeaucoup plus générale
etplus
satisfaisante. Nous étudierons d’unepart
leprincipe
mécanique
de la moindre action sous ses formes Hamilto.nienne et
Maupertuisienne
dans ladynamique classique
etdans celle de la Relativité et d’autre
part
à unpoint
de vuetrès
