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Submitted on 1 Jan 1931
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Sur quelques difficultés de la théorie des quanta
J. Solomon
To cite this version:
J. Solomon. Sur quelques difficultés de la théorie des quanta. J. Phys. Radium, 1931, 2 (10), pp.321- 340. �10.1051/jphysrad:01931002010032100�. �jpa-00233071�
SUR QUELQUES DIFFICULTES DE LA THÉORIE DES QUANTA;
par J. SOLOMON.
Sommaire. 2014 On montre tout d’abord que les équations du champ électromagné- tique qui ont été proposées par L. Rosenfeld et l’auteur peuvent être mises sous une forme qui met bien en évidence leur analogie avec celles de Dirac. Il est très commode pour cela d’utiliser la théorie des « spinors » dont les principes sont rapidement examinés.
L’invariance de la théorie vis-à-vis des transformations de Lorentz apparaît alors d’une manière très évidente. On examine ensuite deux questions d’importance physique bien plus
considérable. C’est d’abord la question de l’énergie propre électrostatique de l’électron.
On montre que, pour un électron isolé, en présence du rayonnement, il est possible de supprimer d’une façon invariante cette énergie, mais l’évaluation de l’énergie d’inter- action entre l’électron et le rayonnement reste infinie. La dernière question examinée
est celle des états d’énergie négative qu’entraîne l’équation de Dirac On montre que les transitions en question ont lieu dans une région très voisine des particules élémentaires
( de
l’ordre de h/moc. Les champs qui y règnent sont extrêmement intenses, et il est trèsprobable que l’équation de Dirac n’y est plus applicable On en tire diverses consé- quences, en particulier pour la théorie de la structure du noyau.
Depuis plus d’un an, les efforts qui ont été multipliés pour arriver à la constitution d’une théorie quantique de l’interaction entre les électrons et le rayonnement, théorie qui
satisfasse aux postulats de la théorie de la relativité, sont restés infructueux. On se rend
compte actuellement que ce n’est pas là une question purement formelle, mais qu’il est pro- bable que de profondes modifications de nos conceptions actuelles sont nécessaires.
D’autre part, tous les essais précédents reposent sur la théorie relativiste de l’électron de Dirac, théorie qui a rendu compte avec un rare bonheur d’un grand nombre de phéno- mènes, mais qui amène à la considération inacceptable d’états d’énergie négative infiniment probables. Si les deux questions ne semblent pas liées en apparence, il semble peu probable qu’il soit possible de constituer une théorie correcte quant à la première difficulté, et qui
conserve les transactions vers les états d’énergie négative. C’est à l’étude de ces problèmes qu’est consacré le présent travail. S’il ne prétend pas renfermer la solution de ces difficultés
fondamentales, du moins, espérons-nous, il contribuera à les situer et à les délimiter plus
exactement.
I. L’analogie entre les équations de Maxwell et les équations de Dirac.
i. - J’ai récemment (1) indiqué avec L. Rosenfeld une nouvelle théorie quantique de l’électro1l1agnétisme qui, par l’utilisation de grandeurs de champ complexes non observables, permet, en se laissant guider continuellement par l’analogie avec la théorie de Dirac, d’obte-
(1) L. ROSE:WELD et J. l’hys., t. 2 (1931), p. 19; un exposé détaillé de cetle théorie paraîtra prochainement aux Annales de
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01931002010032100
nir une décomposition correcte du champ en photons, sans énergie au zéro absolu.
Soient ces grandeurs (les notations seront partout les mêmes que dans notre travail précité). Les équations de Hamilton s’écrivent
de forme évidemment très différente de celle des équations de Maxwell. On obtient d’ailleurs
celles-ci simplement par addition et soustraction. Comme, je viens de le dire, nous nous
sommes continuellement laissés guider par la théorie de Dirac, il semble singulier que les
équations auxquelles on aboutit diffèrent tant des équations de Dirac, ou de celles de
Maxwell. Nous nous proposons de montrer dans cette première partie de notre travail qu’il
est t facile de mettre les équations (1) sous une forme très voisine de celle des équations
de Maxwell, et qui met bien en évidence leur invariance relativiste.
2. Equations de Hamilton avec courant de convection. - On tient compte de l’exis-
tence d’un courant de convection en ajoutant à l’hamiltonien du rayonnement pur
l’hamiltonien de Dirac :
où les x sont les matrices bien connues de Dirac et où ~A (ll. ---_ i ,2,3) et P4 forment le qua- drivecteur potentiel électromagnétique. On tire de là, en formant les crochets de Poisson,
les équations de Hamilton suivantes :
où sj, désigne le courant :
Dans le cas où un électron seulement est présent,
oû P est le point courant, (/ le point où se trouve l’électron ; la signification de cette der- nière expression dans la théorie classique est claire : passage d’une charge e avec la vitesse
ci.
Les équations ( ~) peuvent encore s’écrire vectoriellement :
auxquelles on adjoint les conditions de divergence.
oÙ 2 est la densité de charge, conditions que l’on montre assez facilement se propager avec le temps en vertu des équations de Hamilton (2).
n
Il est alors facile de voir que les relations (4) et (5) expriment que la divergence (à quatre dimensions) d’un certain vecteur à six composantes est égale au quadrivecteur cou- rant-charge. Ce vecteur à six composantes (ou tenseur antisymétrique du deuxième ordre)
est le suivant :
Les relation s (4) et (5) prennent alors la forme
Ainsi est démontrée l’invariance relativiste des équations précédentes. Il s’ensuit évi- demment que la fonction de Lagrange Ç correspondante est invariante vis-à-vis des trans- formations de Lorentz ; autrement dit
est un invariant intégral du groupe de Lorentz.
3. Application de la théorie des « spinors ». - Les relations précédentes peuvent être écrites d’une façon très élégante au moyen delà théorie des « spinors » introduite récem-
ment par Van der yvaerden (1) et qui constitue l’expression la plus simple et la plus natu-
relle des propriétés d’invariance vis-à-vis de la transformation de Lorentz.
On peut résumer cette théorie de la façon suivante. Considérons les deux transforma- tions linéaires conjuguées
de déterminant 1. Un couple de grandeurs se transformant con me est appelé « spinor »
de rang un : soit a~ (k = 1,~) ; de même, si les deux grandeurs se transforment comme
(ç7, 1§ ) , il est noté ak. Si cluatre quantités se transforment comme les produits ~1 Ç1, El ’2, Ç2 Çh Ç2 ~2’ elles forment un « spinor » de rang deux et sont notées ali (k, l = 1, 2) ; on
définit de même des « spinors » aài et La généralisation pour les « spinors » de rang
supérieur à 2 est évidente.
D’autre part, les transformations (7) appliquées aux deux « spinors » Sj, r,k, laissent invariante l’expression
ce qui permet d’introduire des spinors contrevariants ak par :
Dans fces conditions, la relation entre les spinors de rang deux et les quadri-
vecteurs d’univers A peut ètre formulée de la façon suivante : il existe un spinor de rang deux tel que
et réciproquement :
A chaque transformation (7) effectuée sur les c correspond une transformatio)) de Lorentz effectuée sur les A. On montre que l’on obtient ainsi toutes les transformations de Lorentz et la représentation précédente (qui renferme comme cas particulier la théorie des tenseurs)
se montre particulièrement adaptée au groupe en question.
(1) VAN DER ’V.BERDEX, Golt. J.Yachrichlen (1929), p. 100. -Nous suivons de très près l’exposé qu’en ont donné tout récemment Laporte et L’hleubeck. (Phys. Rev. 37 (1931), p. 1380).
Par analogie avec (9), on définit un spinor opérateur différentiel par
Revenons maintenant à la théorie électromagnétique. Par (6), nous avons introduit un
tenseur 11 de rang "2, ce qui ferait penser à prelnière vue qu’il faille chercher à introduire un
spinor d’ordre quatre, mais le fait que AI est symétrique gauche permet d’abaisser à deux l’ordre du spinor en question de la façon suivante.
Considérons à côté de M le tenseur associé
où est nul si deux indices sont égaux, et est égal à --Ii 1 suivant que les indices forment une permutation paire ou impaire de la suite 4234. On obtient à partir de Mun ten-
seur auto-associé par :
~~" - _YI m~, y
C’est ainsi que l’on a pour N par exemple :
avec
Dans ces conditions, on définit un « spinor >> symétrique de rang deux, nu par
D’après (9), on peut faire correspondre au quadrivecteur courant-ellarge s’ un spinor
de rang deux : Skl et les équations de Ilamilton s’écrivent maintenant :
On peut encore tirer de là l’expression de l’analogue dans notre théorie du tenseur de Maxwell. On montre aisément qu’il lui correspond le spinor d’ordre quatre
Ce spinor, par suite de la disposition des deux facteurs qui le déterminent ne peut
évidemment contenir de termes donnant lieu à une énergie inf inie au zéro absolu : tous les termes sont en lYs les indiquant le nombre de photons d’énergie de
numéro r (1).
Enfin nous indiquerons brièvement la forme que prennent les équations de Dirac dans
eette représentation. Si l’on définit par fl un spinor correspondant au quadrivecteur potentiel électromagnétique et si aux quatre fonctions d’onde If de Dirac on fait corres- pondre deux spinors de rang i : ~~,;2 et ~l, les équations en question s’écrivent :
En comparant avec (IL), on peut voir quelle est l’étendue de l’analogie entre les équa-
Lions de Dirac et nos nouvelles équations de l’électromagnétisme. La représentation dans l’espace des spins de ces deux groupes d’équations permet de donner son sens à leur ana- logie depuis longtemps déjà remarquée : elle provient de leur propriété commune d’inva-
riance vis-à-vis des transformations de Lorentz.
II. -- L,’énergie électrostatique propre de l’électron.
i. - Généralités. - Comme il est bien connu, la théorie électromagnétique classique
est incompatible avec la notion d’électron ponctuel. A celui-ci en effet est rapportée
l’énergie
Si l’on suppose l’électron au repos, H est nul, l;’ estle champ de Coulomb d’expression
et l’intégrale diverge par suite de la singularité à l’origine. Paur éviter cette conclu- 47t r2
z;ion on suppose que l’électron n’est pas ponctuel, qu’il a des dimensions finies, d’ailleurs
très petites. Supposons-le sphérique et soit ro son rayon :
Si l’on admet que l’énergie au repos moc‘J est entièrement d’origine électrostatique, on
est conduit à prendre pour rayon de l’électron
qui est de l’ordre de 10-1~’ cm, c’est-à-dire d’un ordre de grandeur très vraisemblable, ce qui est essentiel. Le facteur
1
n’a par ailleurs pas grande importance car les hypothèsesr 0
qu’il est possible de faire sur la forme ou sur la répartition de l’électricité à l’intérieur de e2
l’électron sont très variées. Seul est essentiel le facteur que l’on pouvait d’ailleurs mo c2
(1) Ce tenseur comme celui de Dirac n’est pas symétrique. Nous renverrons pour la question de sa symé- trisation à notre travail : Z. Physik. 71 (1931), p. 162. _
prévoir à priori, car, comme on le vérifiera facilement par des considérations de dimensions,
la seule longueur qu’il soit possihle de former avec les grandeurs fondamentales de l’élec-
tronique classique e, iîzo, c est justement qui apparaît ainsi comme une longueur carac-
moc
téristique de la théorie électronique classique. Mais les difficultés ne sont pas par là com-
plètement supprimées : l’hypothèse de l’électron non ponctuel apporte avec elle de grosses
complications, liées d’une part à l’incertitude qui subsiste, comme je viens de le dire, sur la
distribution de l’électricité ai intérieur de l’électron et d’autre part à la question de la stabilité
du modèle électronique ainsi déterminée. C’est ainsi que, d’après Poincaré, il est nécessaire
d’introduire une pression exercée par l’éther sur l’électron, pression ne reconnaissant pas
une origine électromagnétique, et qui rend compte de la stabilité de l’électron. Ainsi la théorie électronique classique permet d’échapper au paradoxe de l’énergie électrostatique
propre infinie, mais ceci en introduisant une notion arbitraire : celle de rayon de l’électron et une notion physique inexplicable : la pression de Poincaré.
Comment se transforment les notions précédentes en mécaniqne ondulatoire J? Dans les débuts de cette théorie, L. de Broglie et Schrodinger pensaient que le modèle corpusculaire
due l’électron devait être remplacé par un modèle ondulatoire, étendu dans l’espace, caracté-
risé par l’amplitude 0/ (x, y, z. t). L’évolution ultérieure de la théorie n’a pas confirmé ce
point de vue et a conduit à admettre que les électrons sont ponctuels, mais que nous ne pou-
vons suivre leur comportement individuel : nous connaissons seulement une statistique de
leurs propriétés, définie par le carré du module de ~. Quant à l’énergie électrostatique propre de l’électron, la question ne se pose pas de la même façon suivant que l’on tient compte ou
non de la théorie de la relativité.
Jordan et Klein (i) ont étudié le point de vue non relativiste. Ils partent de l’équation
de Schrodinger et trouvent, tout comme dans la théorie classique que l’énergie électrosta-
tique propre de l’électron est infinie par suite de son caractère ponctuel. Ylais ’c’est un fait
remarquable que l’on peut profiter de la non permutabilité des grandeurs qui interviennent
,
dans l’hamiltonien du problème (l’ordre des facteurs n’étant nullemenl déterminé par la
.
théorie) pour supprimer le terme d’énergie propre. Ainsi la théorie quantique non relativiste des champs nous donne une élimination correcte de l’énergie électrostatique propre de l’électron. En un sens, on peut dire que cette solution est plus satisfaisante que celle
qu’apporte l’électronique classique. Nous allons voir qu’il va en être tout autrement lorsque
nous allons passer à la théorie relativiste.
5. L’énergie électrostatique propre de l’électron dans la théorie quantique relati-
viste des champs. - Cette théorie a été développée par Heisenberg et Pauli (2) et a abouti
au résultat décevant que l’on connaît : l’énergie électrostatique propre de l’électron est infinie mais il ne semble pas possible d’en obtenir une élimination analogue à celle qu’ont indiquée Jordan et Klein. Voyons tout d’abord comment s’introduit cette difficulté dans
notre nouvelle théorie du champ.
L’énergie électrostatique de l’électron isolé sera évidemment exprimée dans la fonction
. de Hamilton par les termes longitudinaux, eux-mêmes en rapport étroit avec la condition de divergence. Nous allons calculer leur contribution en suivant une méthode due à Oppen-
heimer (3) et nous allons voir qu’elle est infinie.
Partons de ,
où A désigne toujours le point où se trouve l’électron. Développons séries de
fonctions fondamentales, puis passons de {(2 et f ’Ûs~ et ~~’ ~’1. On obtient : (t) 0. Z. (192~), p. 7:’a.
(2) HEISBXBEIG et ,Y. PAULI, Z. t. 56 (929), p. 1; t. 59 (193U), p.
’
3) J. IL OPPE5I1EDIER, Phys. llev. t. 35 (1930), p. 461.
En multipliant les deux membres par iv, (P) et intégrant, on obtient
De même :
Si maintenant nous considérons la fonction de Hamilton
1
la
partie 9 2:
bs b+ S indique évidemment l’énergie électrostatique de l’électron. Elle? ... ..r 3 3 b
s
s’écrit immédiatement :
Comme il est bien connu, I diverge, et l’énergie électrostatique de l’électron est
...i.J B’/(t)12
t n Iinfinie. Il est aisé de voir qu’on peut en quelque manière attribuer cette singularité au
caractère ponctuel de l’éle~tron (caractère qui est bien mis en évidence par la forme de densité électrique utilisée). En effet, si on n’effectue pas tout de suite les intégrations, la
somme précédente s’écrit
Posons
En formant le laplacien de G (P, P’) et utilisant l’équation différentielle à laquelle
satisfont w, et tut, il vient (1).
"
équation qui se résout immédiatement au moyen de la formule de Iiirchhoff et donne (en supposant L suffisamment grand) :
(1) Ap désigne le laplacien pris par rapport aux coordonnées du point P.
où rpp’ désigne la distance des points P et P’. Donc
ce qui montre bien que dans le cas présent. c’est le caractère ponctuel de l’électron qui est
en question.
Ce dernier résultat, si semblable à celui que nous avons obtenu à partir de la théorie
classique, fait penser tout naturellement à utiliser pour l’éviter une conception analogue, à
introduire en mécanique ondulatoire la notion de rayon de l’électron. Mais une telle concep- tion se heurte à de très grosses difficultés, liées à l’impossibilité de la mettre en accord avec
la théorie de la relativité. Nous y reviendrons à la fin de ce travail. En tout cas, on peut
considérer comme très probable que la solution des difficultés envisagées ne doit pas être cherchée dans l’introduction aussi brutale d’une longueur minima (1).
3. L’énergie électrostatique propre et la nouvelle théorie du champ. - Nous avons
vu qu’il était possible dans la théorie antérieure de supprimer l’énergie électrostatique
propre de l’électron, mais que cette suppression ne présente pas les caractères de l’inva- riance relativiste, de sorte que l’on doit s’attendre, comme l’a en effet trouvé Oppenheimer(2),
à retrouver les manifestations de cette énergie lorsque l’on passe aux effets du second ordre. Nous allons voir que, au moins dans le cas de l’électron isolé, notre théorie nous permet de procéder à une suppression invariante de ce terme.
Il est important maintenant de remarquer que la question de l’énergie électrostatique
ne semble pouvoir présenter aucune signification physique en mécanique quantique. Si
cette énergie existe, elle doit nécessairement avoir une valeur finie et est comprise dans
l’évaluation de l’énergie au repos 1120 c’ de l’électron. Nos équations en tiennent donc compte déjà et c’est une erreur de la théorie que de la compter encore une fois. Nous sommes donc amenés à penser que peut-être un changement formel permettra d’éliminer correctement cette énergie.
Quelles sont donc les modifications qu’il faut faire subir à notre schéma? Si nous
considérons le calcul du paragraphe précédent, il semble difficile d’y changer quelque
chose : la condition de divergence est nécessitée par le principe de correspondance, l’expres-
sion de la charge est très naturelle. Nous sommes donc conduits à chercher dans une
nouvelle modification de la fonction de Hamilton la solution du problème. A partir
de ce moment, et pour des raisons qui seront indiquées plus loin, nous ne considérerons
plus que le cas d’un électron isolé en présence du rayonnement.
Comme l’énergie électrostatique propre de cet électron est représentée par
nous cherchons à supprimer le terme We dans H. Il est évident que cela ne signifie pas que l’électron n’est pas à l’origine d’un champ de Coulomb, car nous conservons toujours 1a
condition de divergence qui exprime justement ce fait, mais que ce champ n’a pas de réper-
cussion énergétique sur la fonction de Hamilton de l’électron isolé. Autrement dit, nous n’écrivons pas que les b(2 et b+3t~ sont nuls, mais que la somme JVe ne figure pas dans àe.
Il nous reste à mettre cette hypothèse sous une forme invariante au point de vue relati-
viste.
(i) Il en est de même des considérations indiquées récemment par Born (Z. Physik, 69 (4931), 141) qui
sont au fond équivalents à celles auxquelles nous faisons allusion.
(2),I. R. ÛPPENIIEIMEU, Phys. Rev. 35 (’193(l), p. !~G1.
Dans la théorie du rayonnement pur, nous avons pris pour fonction de Hamilton
mais il est éviclent qu’on peut également utiliser
qui se ramène immédiatement à la première par une intégration par parties. Nous n’avons
employé la première forme que pour des raisons de simplicité. Lorsqu’il y a présence d’un
électron, il en est différemnent si l’on tient compte de la condition de divergence. On a en effet, en faisant une intégration par parties :
Donc
Le terme supplémentaire, grâce à une nouvelle intégration par parties, se met sous la
forme
Si l’on tient compte de ce que
où p est la densité de charge, Fie potentiel électrostatique,
et l’on reconnaît dans le second terme l’expression classique de l’énergie électrostatique.
Notre proposition est donc démontrée. D’ailleurs on pouvait prévoir ce résultat si l’on remarque que, seuls les rotationnels de F et entrant en jeu, la partie longitudinale du champ électrique ne doit pas intervenir dans l’expression de l’énergie. Enfin, on retrouve-
rait facilement par le calcul direct la nouvelle fonction de Hamilton :
Examinons maintenant rapidement quelles sont les modifications apportées à la
théorie précédente par la nouvelle forme de hamiltonien. On trouve immédiatement pour
équations d’Hamilton :
.!-
1
. 1
évidemment différentes des relations (2), mais on vérifie facilement qu’elles n’en sont pas moins identiques, en opérant par addition et soustraction, aux équations de Maxwell. Il
est évident dès lors que toutes les conséquences qu’on en déduira seront identiques aux conséquences des équations de Maxwell. On retrouvera par exemple la même expression
pour l’impulsion totale du champ.
Bien plus intéressante est la question de l’invariance relativiste du procédé. La nou-
velle fonction de Lagrange est
où em est la fonction de Lagrange d’où se déduisent les équations de Dirac. Nous avons vu
dans la première partie de ce travail que
est invariante vis-à-vis des transformations de Lorentz. D’autre part, il en est de même
pour (c’est la propriété fondamentale des équations de Dirac). Par conséquent, pour
que d satisfasse à cette condition, il faut qu’il en soit de même pour
ou encore pour
C’est ce qui n’a pas lieu en général lorsque plusieurs électrons sont en interaction.
Mais si, comme nous le supposons ici, il n’existe qu’un électron dans le champ, par suite de la forme particulière de la densité de charge et du potentiel, l’invariance est réalisée.
Ce terme prend en effet la forme
où Q est le point où se trouve l’électron, P le point courant. Par une transformation de Lorentz relative à des axes se mouvant par rapport aux premiers avec la vitesse ~c le long
de l’axe Ox, cètte expression se transforme en
d’où la proposition en question suit, si l’on tient compte des propriétés de la fonction a.
Pour former maintenant l’équation générale à laquelle doit satisfaire la fonctionnelle décri- vant l’ensemble du champ électromagnétique et de l’électron, nous utiliserons l’artifice suivant : Supposons l’électron au repos (’), seuls interviennent son champ électrostatique
et le rayonnement. La fonction hamiltonienne correspondante est
°
où est l’hamiltonien de Dirac non perturbé
(1) Ici encore naturellement la condition qu’il n’existe qu’un électron est essentielle.
Faisons maintenant une transformation de Lorentz correspondant à une vitesse (vn vy, v=)
sur le système. Si nous considérons le quadrivecteur d’univers
(où S représente le vecteur d’impulsion du champ), on a, après la transformation, en dési- gnant par des lettres accentuées les nouvelles grandeurs
où l’on a posé
Or le vecteur S se clécompose en
où P est le vecteur de Poynting, A le potentiel vecteur : Donc
Or il est évident que
sera la partie électromagnétique du nouvel hamiltonien. Avec les nouvelles variables et ce sera
Quant à
elle représente l’énergie d’interaction entre l’élection et le rayonnement, mais elle n’est pas encore mise sous sa forme définive. C’est qu’en effet jusqu’ici il n’a pas été question
de quanta. Nous mettons cette énergie sous une forme quantique conforme au principe de correspondance en y remplaçant les liv par leurs analogues en mécanique quantique.
Comme l’a montré Breit (1), on peut assimiler la matrice à
-,
et les autres matrices e.y , i, y, V,, V, vz En remarquanl que
Y Y? Il Il Il E remarquant que
on peut aussi assimiler pL à ,~~. Par suite, le terme d’interaction prend la forme
Finalement, notre équation fondamentale s’écoule de la façon suivante
(1) G. BREIT, Proc. Acad., 14 (i928), p. 553. - Voir aussi : 1‘. Focii, Z. Physik, 55 (1929),
p. 12 i ; J. V. Physik, t. 48 (1929), p. 868; E. ScnRuDiNGER, Berl. Berichte, 24 (1930), p. 418;
V. FocK, Z. Physik, t. 68 (t931), p. 522.
