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Remarques sur la théorie du rayonnement
J. Solomon
To cite this version:
REMARQUES
SUR LATHÉORIE
DU RAYONNEMENT
Par J. SOLOMON.
Sommaire. 2014 On a cherché de façon générale à raccorder les expressions classiques et
quantique pour l’énergie émise par un système accéléré, par exemple au cours d’un choc. On sait qu’en mécanique quantique intervient la constante de la stucture fine. Après
avoir rappelé (§ 2) les différents problèmes qui amènent à son introduction, on rappelle
les bases de la théorie du rayonnement des particules accélérées en mécanique classique en particulier sous forme relativiste (§ 3). Ceci amène à discuter la notion d’accélération
en mécanique quantique. On indique une démonstration particulièrement simple du théo-rème d’Ehrenfest (§ 4). Un exemple simple (choc d’un électron et d’un neutron) montre la nécessité de faire intervenir le quantum élémentaire d’action (§ 5). Ceci amène à discuter les limites d’applicabilité de la théorie classique au cours des chocs (§ 6). La longueur déterminante se trouve être non la longueur d’onde de de
Broglie $$ 0127/mv
mais bien0127/2 mv sin 03B8/2
03B8 étant l’angle de choc. La discussion d’une mesure du rayonnement au cours d’un choc amène alors à l’introduction cherchée de la constante de Planck (§ 7). L’expression trouvée,relativement indépendante de la loi de choc, permet de suivre le passage entre théorie
classique et théorie quantique. Une
première
application des résultats précédents est faite à la loi de Coulomb dans le domaine des faibles vitesses (§ 8). Des difficultés inhérentesaux propriétés du champ de Coulomb s’y présentent qu’on discute On retrouve la formule de Kramers, à un facteur numérique près. On discute ensuite le cas des chocs à grande
vitesse, tels qu’ils se présentent dans les questions relatives au rayonnement cosmique
(§ 9). On montre que le rayonnement devient fort important lorsque l’énergie des particules incidentes est de l’ordre de (137)2 m0 c2. On insiste sur le fait que des passages vers les états d’énergie négative sont alors possibles, ce qui peut avoir certaines vérifications expérimentales. Une application d’ordre très différent est faite à la mesure des champs
électrique et magnétique (§ 10). On y discute de manière approfondie les possibilités de
mesure au moyen d’un corps d’épreuve dont on mesure l’impulsion. On montre que,
con-trairement à ce qu’ont prétendu Landau et Peierls, une telle expérience donne une erreur
supérieure à celle qu’exige la théorie électromagnétique quantique de Heisenberg et Pauli. On discute les raisons de ce désaccord. On discute enfin (§ 11) la possibilité de suivre d’encore plus près la théorie classique, en particulier d’introduire la notion de force de
rayonnement en mécanique quantique.
1. Introduction. - Le but du
présent
travail estd’apporter
une contribution à laquestion
desrapports
de la théorieélectromagnétique classique
et de lamécanique
quan-tique.
Si,
eneffet,
les travaux fondamentaux de Bohr etHeisenberg (1)
ont clairement misen évidence la
façon
dont sedéveloppe
lamécanique quantique
àpartir
de lamécanique
classique,
liaison résumée sous le nom de «Principe
deCorrespondance » ,
il n’en appa-raît pas moins.intéressant depoursuivre
cetteanalyse
dans ses détails. C’est là uneques-tion
qui
se pose de manièreparticulièremeni frappante
en cequi
concerne la théorie dela réaction de
rayonnement
enmécanique quantique.
Il suffit en effet de comparer lesméthodes
qu’empruntent
la théorieclassique
et la théoriequantique
pour traiter unproblème
tel que celui de lalargeur
des raiesspectrales.
Dans lepremier
cas, eneffet,
ilsuffit
(2)
d’introduire dans leséquations
du mouvement d’un oscillateurharmonique
unterme
correspondant
à une forcedissipatrice, répondant
au fait que l’oscillateur rayonnede
l’énergie électromagnétique,
pour obtenir enquelques
lignes
la théorie de lalargeur
de la raiespectrale
émise.(l) Voir p. ex. le livre de Heisenberg. (2) Cf. p. ex. H. A. LOREIfTZ, The théorie
of
eleclrons (1916), p. 259.Dans la théorie
quantique
(’),
aucontraire,
il est nécessaire de considérer lerayonne-ment comme un ensemble d’oscillateurs
harmoniques
aveclesquels
l’oscillateurélectro-nique
considérépeut
entrer en interaction. De la sommation sur toutes les transitionspossibles,
ondéduit,
après
des calculs fortcompliqués,
les formulesclassiques
pour l’amortissement de l’oscillateur matériel.Remarquons, d’ailleurs,,
que ceci n’est pas à l’abri de touteobjection.
On sait en effet quesi,
dans cesconditions,
l’on calculel’énergie (2)
de l’oscillateurharmonique,
on trouvequ’elle
est infinie. Ceci tient à ce que l’on n’a pas ledroit de considérer comme
séparés
lesystème électronique
et lerayonnement, qui
sonttoujours couplés.
Une mesure del’énergie
de l’oscillateur nécessite une interaction(3~
avec un troisièmesystème
(oscillateur)
qui
troublecomplètement
l’interaction avec lerayonne-ment considéré. A vrai
dire,
uneanalyse
desphénomènes qui
suivrait deplus près
lathéorie
classique
nepeut guèrp
nous donner mieux. Cette théorieclassique
repose en effet essentiellement sur la distinction entresystème
électronique
et forcesélectromagnétiques
appliquées
et c’estjustement
cette distinctionqui
est àl’origine
de la difficulté dontje
viens de
parier.
D’ailleurs,
comme nous le verrons, une telleanalyse
nécessiterait unegénéralisation (~1) importante
de lamécanique quantique
actuelle. Celle-ci eneffet,
consis-tant
simplement
en l’introduction de la non-commutabilité desgrandeurs
canoniquement
conjuguées
dans leséquations
deHamilton,
n’est pasplus générale
que le domaine d’appli-cabilité de celles-ci en théorieclassique
et enparticulier
nepeut
s’appliquer qu’à
dessystèmes
conservatifs(en englobant,
bienentendu,
sous cettedénomination,
lessystèmes
non conservatifs que l’on
peut
transformer ensystèmes
conservatifs paradjonction
simple
d’un autre
système
convenablementchoisi).
Comme il n’en est évidemment pas ainsi pourun
système électronique qui
rayonne(sauf appel
à unsystème
d’oscillateursharmoniques
derayonnement,
comme dans les travaux usuels que nous avonsdéjà
citésl,
il n’est paspossible
actuellement de suivrecomplètement
dans ce cas la théorieclassique.
Toutefois il est
possible
de traiter nombre deproblèmes
par cetteméthode,
et c’est cequi
nous occupera dans cequi
va suivre.’
2. La constante de la structure fine. - On sait
t
l’importance qu’attache Bohr (5)
à la constante de la structure fine.
C’est en effet la
petitesse
de xqui
fait que, les dimensions de l’atomed’hydrogène
étant mgrandes
vis-à-vis des dimensionsclassiques
de l’éleciron(dans
lerapport
de 1à 22
soit«
environ
(1:7)1,
il estpossible
d’introduire sans modifications le formalisme de la théorieélectromagnétique
classique
dans la théoriequantique
de l’atome. D’autrepart,
et c’est là laquestion
que nous allonsdiscuter,
lapetitesse
de x conditionne lapetitesse
des réactions derayonnement
dans lesystème
atomique (les
deuxquestions
éfant d’ailleursliées).
C’est cela en effet
qui
permet
deparler
d’étatsstationnaires,
c’est pour cela que les raiesspectrales
sont fines. Defaçon
plus précife,
dans unsystème
atomique,
seul le niveaufondamental ne rayonne absolument pas ; les autres niveaux ont une «
largeur "
propre,la
combinàison
des deuxlargeurs
conditionnant lalargeur
des raiesspectrales.
Lerapport
de lalargeur
d’un niveau àl’énergie
de ce niveau est engénéral
de l’ordre de z3~la
struc-ture
-fine,
d’ordrerelativiste,
estproportionnelle
àx2).
°
(I) v. WBISSKOPF et E. wtGNEti, Z Fhysik, 63 (1930), 54; 65 (1930), lg; v. WEISSKOPF, Ann. der Phys., 9,
(1931), 23; L. ROSSNFELD, Z. Phy.q’k, 71 (1931), 2î3.
(2) I. WALLER, Z. phySik , 62 (1930), 6-13; L. RosENFELD, Z. 70 (1931), 454.
(~) Cf. un cas analogue dans la théorie des fluctuations du rayonnement noir : BV. HEtSENBERGy Berichte
de Leipzig, 83 (1931), 3. °
(~)
Cf.
P. A. M. DIRAC, 2. Sow. 3 (1933), 64.370
Considérons un autre
problème : d’après
une formule due à Kramers(1),
l’énergie-moyenne
rayonnée
par un électronpassant
à l’unité de distance d’un noyau decharge
Ze-est :
d’autre
part,
laprobabilité
pourqu’un
électron soit diffusé sous unangle supérieur
à 6 apour
valeur,
d’après
la formule de Rutherford :Comme la
plus grande part
del’énergie rayonnée provient
des chocs àgrande
varia-tion de
vitesse,
doncayant
lieu sous unangle
considérable,
on voitqu’à
un facteurnumé-rique près, l’énergie rayonnée
en moyenne estOn retrouve la
proportionnalité
déjà indiquée
pour lalargeur
des raiesspectrale.-lorsqu’on
remarque que dans un atomed’hydrogène
la vitesse de l’électron sur son orbite cafondamental
est
°On arrive encore à un résultat
analogue lorsqu’on
considère le passage d’uneparticule
électrisée à travers une
barrière]
depotentiel.
Ces transitions vers des états de mêmeénergie
rendentcompte
de ladésintégration
a(théorie
deGamow-G-rn.rney-Condon),
commede l’extraction des électrons
métalliques
par leschamps
électriques
élevés. D’autrepart,
de telles transitionspeuvent
s’accompagner
derayonnement
d’énergie électromagnétique.
Laprobabilité
de telles transitions a été calculée pour lapremière
fois parHeisenberg
etPauli
(’)
àpartir
del’électrodynamique quantique
etest,
relativement à laprobabilité
desv’ passages ordinaires
(sans rayonnement) plus
faible
dans unrapporta. 2013.
.
ci
En
résumé,
lesphénomènes
derayonnement
électromagnétique
se traduisent enméca-nique quantique
par l’intervention de la constante de la structure a. Ce que nous nousproposerons de rechercher
ici,
c’est lafaçon
dont lesexpressions précédentes
del’énergie
rayonnée
se rattachent à la théorieclassique.
Ceci nouspermettra
de nous rendrecompte
du rôle de la constante de Planck dans les formules enquestion.
3. Le
rayonnement
dans la théorieélectromagnétique classique.
--- Apartir
de la théorie de
Maxwell,
des raisonnementsclassiques
(3)
montrent quel’énergie
et laquantité
de mouvementrayonnées
pendant
l’intervallle detemps (ii , ts)
sontdonnées
part(’) H. A. KRAMERS, Phil. Mag., 46 (1923), 836.
(2) W. HEISEBBERG et W. PAULI, Z.
Physik,
56 (1929), 4 ; J. R.OPPENIIEINER, Phys.
Rev., 35 (1930), 939.Il est
important
de noter que ce résultat estindépendant
de toutehypothèse
sur larépartition
descharges
de l’électron.Lorsque
la vitesse v est faible devant la vitesse de lalumière,
(4)
se réduit àDans le cas
général,
leséquations
(4)
et(5)
se mettent sous une formequadridimenr
sionnelle
élégante
(1)
de lafaçon
suivante :+
où bi
représente
l’accélération d’universds étant l’élément d’univers
avec
et en notant la relation
En théorie
classique,
ces résultats sont valables sous les restrictions suivantes(2).
Pour lesobtenir,
on adéveloppé
les coordonnées x du mobile en fonction dutemps :
Il
et
supposé v
suffisammentpetit
pour que,pendant
letemps
que met uneperturbation
e
électromagnétique
àparcourir
un espaceayant
les dimensionsclassiques del’électron
me
le
système
ne se soitdéplacé
que defaçon
insensible. Onpeut
dire si l’on veut quel’élec-tron doit
transporter
sonchamp
de manièreadiabatique pendant
son mouvement. On voit facilement que ceci estéquivalent
à la condition que les forcesagissant
sur l’électron... ,... M2 C4
soient sensiblement inférieures
à e3
eSi nous passons maintenant à la
mécanique
quantique,
on est de suite tenté de mettre en doute les résultatsprécédents.
Undéveloppement
tel que(11)
semble faire directement.appel
à la notion detrajectoire
et n’estplus
licite dans le domaineenvisagé.
Tout au moinsun tel
développement
n’aplus
unesignification
aussisimple
qu’en
mécanique
clas-sique.
Deplus,
la notion d’accélération semble nécessiterquelques
éclaircissement~
pour
justifier
sonemploi
enmécanique quantique.
C’est ce que nous allons faire toutd’abord.
(’) G. BECK, Z. Physik, 75 (f932), 4’16.
4.
L’accélération
enmécanique
quantique. -En
mécanique
classique,
la vitesseet l’accélération sont définies
simplement
comme les coefficients différentielsdt’
d t2.
dt’ d t2
*
En
mécanique quantique,
nous passerons donc par la définitiongénérale
de la dérivéetemporelle
d’unegrandeur
A :- ~ n "- .--.
où est
l’opérateur
hamiltonien relatif auproblème,
désignant
le crochet dePois-son des
opérateurs A
et Bn - -.
Nous ne considérerons tout d’abord que le cas non
relativiste,
enprésence
d’unchamp
électrique.
On a dans ces conditions :On en
tire,
enappliquant (12)
àl’opérateur
xrelation
identique
à cellequi
unit enmécanique classique
la vitesse et laquantité
de.
mouvement.
Appliquons
à nouveau(f2)
à x, on trouve immédiatement :c’est-à-dire la relation
classique
entre la force et l’accélération. C’est là évidemment ladémonstration la
plus
simple
du théorème bien connu d’Ehrenfest(1) :
A
partir
de(15),
il est facile de trouver les relations de commutation de l’accélérationavec les coordonnées de la vitesse :
Nous n’insisterons pas sur le cas où à côté du
champ électrique
existe unchamp
magnétique.
Il nous suffira de mentionner que dans ce cas les différentescomposantes
dela vitesse ne sont pas
commutables,
cequi
peut
compliquer quelque
peu les calculs.Si,
par
exemple,
lechamp
magnétique
estconstant,
etdirigé
suivant l’axedes z,
on a(2) :
où X est l’intensité du
champ magnétique.
Les choses se
présentent
defaçon
un peuplus compliquée lorsqu’on remplace
l’hamil-tonien deSchrôdinger
H par
l’hamiltonien de Dirac D :(1) P. EHRENFEST, Z.
Physik,
45 (1927), 455.soit,
lorsque
lechamp
estpurement
électrique
Par
application
de(12),
on trouve :C’est là le fait sur
lequel
on adéjà
souventinsisté,
de la division duconcept
devitesse en vitesse
électrodynamique
et en vitessecinématique,
etqui
a donné lieu auxbeaux travaux de
Schrôdinger (1).
Par nouvelledérivation,
on trouveraitc’est-à-dire
quelque
chose de très différent de(15).
Il faudrait sans aucun doute yappliquer
lesprocédés
deSchrôdinger
dedécomposition
enopérateurs pairs
etimpairs
pour retrouver(1~).
Si parcontre,
onpart
directement de la définition(14),
on retrouve pour vx la
propriété
(15).
Nous n’insisterons pasplus
sur cesdifficultés,
comptant
y revenirprochainement.
En
résumé,
au moins dans le domaine nonrelativiste,
leconcept
d’accélération estparfaitement
défini par les relations(15), (16)
et(1 ?).
Revenons maintenant à la démonstration en
mécanique
quantique
de la formule(6).
A tout
instant,
lechamp
émispeut
être considéré comme résultant de lasuperposition
desrayonnements
d’undipôle,
d’unquadrupôle,
etc... Notresupposition
essentielle sera dansces conditions que seul le
rayonnement
dudipôle joue
un rôle sensible. On s’assure sanspeine
de ce que cette condition est sûrement réalisée si la vitesse de l’électron ne varie pastrop
rapidement (condition analogue
de cellequi
est à la base du calcul en théorieclassique).
Décomposons
dans ces conditions le mouvement accéléré de l’électron en une série de sauts discrets.(On
peut
parexemple
supposer l’électron dans uneboîte,
cequi
assure la+
quantification
discrète de ses étatsd’énergie
totalepositive).
Soit alors r,, lamatrice-coor-donnée d’un de ces
sauts,
liée à l’émission d’unrayonnement
defréquence
v. Leschamps
électrique
etmagnétique qui
ycorrespondent
sont(2) :
+
n
représentant
le vecteur normal. On en déduit pourl’énergie rayonnée
pour toutes lesfréquences.
-Or à la
limite, r,,
devient le coefficient de Fourier de la coordonnée r°(t)
etce
qui
démontre(6). (6)
étantdémontrée,
les relations(4)
et(5)
s’en déduisentsimplement
par une transformation de Lorentz.(1) E. SCHRODIIYGER, Ann. Inst. H. Poincaré, 2, 269 (193").
5.
L’introduction
duquantum
élémentaire d’action. - En théorieclassique,
pour
parvenir
à une évaluationapproximative
del’énergie rayonnée (6),
onpeut procéder
de la manière suivante. Soient vi et v2 les vitesses du
corpuscule
électrisé auxinstants
ett2. Posons
1 1 1 .
L’énergie
rayonnée
est évidemment laplus
faiblepossible
lorsque
l’accélération estuniforme. On a alors
Par
suite,
l’énergie rayonnée
est au moinségale
àet en sera d’autant
plus
voisine que lesegment
considéré detrajectoire
seraplus petit.
Considérons alors le
rayonnement
d’un électronpendant
son choc avec un neutron ensup-posant
que l’interaction de ces deuxparticules puisse
être décrite par une fonctionpoten-tielle
appropriée, quelle
que soit saforme,
le fait essentiel étant que touteinteraction
cessee2
lorsque
les deuxparticules
sont à une distancesupérieure
à c étant un coefficient.’ril 0 C
numérique
quel’expérience
(1)
montre être peu différent de l’unité. Letemps
de choc test,
en théorie
classique
de l’ordrede lii,, CI vsoit
pourYho
el v
Comme v
peut
aller pour de tels chocsjusqu’à ,
on voitqu’une partie
trèsimpor-c 5
tante de
l’énergie
incidente de l’électronpourrait
êtrerayonnée
au cours du choc. Ceci est en contradictioncomplète
avec les résultats résumés au début de notretravail,
résultatsqui
montrent quel’énergie rayonnée
au cours d’un choc est engéneral
bienplus
faible,
lapetitesse
de cetteénergie
étant conditionnée par lapetitesse
de la constante a. Celle-cin’intervient pas dans le calcul
précédent.
Si nous revoyons alors les différentes
étapes
de cecalcul,
nous nous apercevonsqu’une
des
étapes
est absolument liée à la théorieclassique
et nepeut
êtretransposée
en théoriequantique.
C’estlorsqu’e
nous avons dit que letemps
du chocest ~.
Cecisignifie,
ennic v
effet,
unappel
direct à la notion detrajectoire qui
n’est paspossible
ici,
lalongueur
d’ondeh e2
des électrons
incidents -
étant engénéral
trèssupérieure
à e)
(ce
qui
d’autrepart
mv nao c
conditionne,
comme l’a montré Bohr(’),
la très faibleprobabilité
de leur diffusion par leneutron).
D’autrepart
la relation(1~)
doit êtresujette
àsuspicion,
car, nous l’avons vu, l’accélération et la vitesse ne sont pas commutables.Voyons
tout d’abord cette secondequestion.
Pour que l’erreur liée à la non commutation de y et de u,
puisse
êtrenégligée,
il fautévidemment que ., ,... TY
(1) Cf. J. SOLOtfON, J. Phys., 4 (1933), 210.
Soit p l’extension linéaire du domaine dans
lequel
a lieu lechoc, V est
de l’ordre dee
- , donc
p ,
D’autre
part,
nous le verronsplus
loin(relation
(22), p
a pour valeur dans le domainequantique -2 h
.
Parsuite,
on doit avoirOr,
nous le verronsplus
loin(relation (24) ), ’t
ajustement
pourvaleur,
dans le domaineuanti ue h
q . Parsuite,
nousavons:le
droit de ne pas tenir pcompte
p de la noncom-mutabilité de y et de w dans les calculs
qui
vont suivre.6. Domaine
d’applicabilité
de lamécanique
classique. -
Nous considéronsdonc un
champ
électrostatique
d’extension linéaire p, et nous faisons tomber sur lui desparticules
électrisées. A l’instantt1,
nous mesurons leur vitesse vi, à l’instant t2 leur vitesse v,. Dans(20),
rdésigne
letemps
dechoc,
c’est-à-dire l’intervalle detemps
leplus
court à
partir duquel
la vitesse de laparticule
apris
sa valeur finale v2. Pourpouvoir
appliquer
(~O),
il faut donc être sûr que f1 - t2 == 1" est cet intervalle detemps
minimum.On est donc amené à penser
qu’il
suffira de constater que la distance parcouruependant
l’intervalle de
temps
estprécisément égale
à l’extension duchamp
p. Nous sommes donc ici enprésence
d’une mesure simultanée de vitesse et deposition
d’uncorpuscule
et larelation fondamentale de
Heisenberg.
A
nous montre
qu’il
estimpossible
de mesurer à la fois avec uneprécision
infinie ces deuxgrandeurs.
La mesure de laposition
ducorpuscule
à l’instant ti entraîne une indétermina-tion sur sa vitesseaprès
la mesure. On serait tenté de croire que cesphénomènes
n’entrenten
jeu
quelorsque
lalongueur
d’onde de laparticule
incidente est du même ordre de gran-deur que l’extension duchamp p.
Il n’en est rien en réalité : cette condition n’est pas suffi-sante(1)
~ )
et c’est lalongueur
~
qu’il importe
de comparer avecp à
cepoint
de vue. En1r.mw
p Peffet,
il nous faut encore tenucompte
de la diffusion naturelle dupaquet
d’ondes.Suppo-sons que le
paquet
d’ondes se meuve lelong
de l’axe z avec la vitesse vz.Soit 8 v.
l’incerti-tude sur lacomposante
perpendiculaire
de la vitesse. Il s’ensuit que, mêmeavant
le chocétudié,
lepaquet
d’ondes a unangle
de diffusion Toute déviation inférieure àVz
cet
angle
n’est pas observable. Soit 0l’angle
dedéviations,
on doit avoir :Si l’on tient
compte
de(21)
ceci n’estpossible
que sisoit encore
En
remarquant
encoreque 1.z
doit être inférieur à p pour que la mesure enquestion
ait un sens, nous obtenons finalement
On arrive au même
point
de vuequand
on tientcompte
dutemps
nécessaire à lamesure des vitesses. Soit ot l’intervalle de
temps
que dure la mesure de v. On sait que cettedurée finie de la mesure entraîne une
imprécision
p del’ordre
de h
entrel’énergie
avant et 1 tl’énergie après
la mesure. Si Õ v est l’incertitudecorrespondante
sur la vitesse.D’autre
part,
pour que la mesure ait un sens, il faut qued’où,
en combinant avec(23)
la conditionrelation
qui
semble àpremière
vueéquivalente
à(2fl).
7. La formule du
rayonnement
enmécanique
quantique. -Après
lesdévelop-pements
précédents,
il nous sera facile d’en arriver à ia formule unrayonnement
enméca-nique quantique. D’après
l’inter w’le detemps
est affecté d’une erreur(nous
supposons que l’on fasse les mesures de manière à réaliser laplus grande précision
possible,
cequi
transforme desinégalités
telles que(23)
enégalités).
Comme,
pour que la mesure ait un sens, on a forcément ~v U1, la limite inférieure de l’erreur sur r estOn arrive au même
résultat,
enremarquant
que le domainespatial
de choc nepeut
être déterminé avec une
précision supérieure
à lalongueur
d’onde de laparticule qui
s’enva J..’
_
; letemps
de choccorrespondant
est -
l _ L
soit
(24),
mais cecinaturelle-rnw v
ment ne
s’applique
qu’au
casquantique
extrême. Defaçon
générale,
on pourra dire que ladurée de la mesure ne
peut
être inférieure àPortons maintenant cette valeur de ’t’ dans
l’expression
del’énergie rayonnée.
Onen
posant
Le
premier
terme(entre
croéhets)
correspond
bien àl’expression quantique
(3).
Le second termecorrespond
tout d’abord aux différentespossibilités
de choc(suivant
la valeur dew)
etd’autre
part
aux dimensions duchamp
considéré parrapport
à lalongueur
wiv
Remarquons
enparticulier
que pour les fortes déviations(à
grande
variation devitesse),
c’est-à-dire les seules
qui
contribuent sensiblement à l’émission durayonnement, w
est del’ordre
de v,
et le coefficient(28)
est de l’ordrede 20132013.
.p
+
On voit que,
lorsque -
est très inférieurà p,
r’ estapproximativement égal
à r etm ICI
l’on retombe sur le résultat
classique
Au
contraire,
lorsque X
est trèssupérieur
à p, le coefficient(28)
est de l’ordre de3
9- (-) ,
soit
pour les fortes déviations(w -
v) :
On voit donc
qu’elle
estl’origine
de la formule(3 bis),
parconséquent
de la constante de la structure fine. et comment on passe defaçon
continue del’expression
classique
(29)
àl’expression
quantique (3
bis).
Les calculsprécédents
montrent deplus pourquoi
on n’a pasle droit de faire sans
plus
hégal
à zéro dans(3
bis).
Dans ce cas eneffet,
estnégligeable
devant p et l’on retombe sur
( ~9).
Des raisonnements
analogues
peuvent
rendrecompte
de cequi
se passelorqu’une
par-ticule électrisée traverse en
rayonnant
une barrière depotentiel.
Si laparticule
traverse cette barrièrequoique
sonénergie
soit inférieure au maximum decelle-ci,
celatient,
commeil est bien
connu, à
l’existence duquantum
élémentaired’action,
qui
se manifeste parl’existence d’un 3
longueur
d’onde de L. deBroglie.
Si lalargeur
de la barrière est du même ordre degrandeur
que cettelongueur
d’onde,
il y a uneprobabilité
assez sensible de trouverla
particule
en dehors de la barrière(le
facteur de transmission est uneexponentielle
de- "f forme e
_ a
,,
où a est unegrandeur dépendant
de la forme de la courbe depotentiel).
Onpeut
dire en gros que l’indéterminationqui
existe sur laposition
de laparticule
est de l’ordre deÀ,
soit de l’ordre degrandeur
des dimensions de la barrière. Onpeut
donc dire si l’on veut que lapénétration
de laparticule provient
de l’indétermination sur saposition
et que lerayonnement
d’énergie électromagnétique qui l’accompagne
est unphénomène
d’ordre
supérieur,
lié à l’indétermination consécutive sur la vitessependant
la transition.8.
Application
auchamp
de Coulomb. - Onpourrait
naturellement être tentédit pour retrouver la formule de Kramers
(2).
Laquestion
est malheureusement assezdiffi-cile,
à cause des caractèresparticuliers
duchamp
de Coulomb. On sait en effet que dans cechamp
l’onde incidente estperturbée,
même à l’infini defaçon
sensible(on
connaîtl’impor-tance de ce fait lors de
rapplicatioll
de la méthode de Born pour le calcul deschocs),
de sorte que si nous mesurons dans un intervalle detemps
les vitesse initiale etfinale,
nous ne connaîtronsqu’une partie,
d’ailleurs fortimportante,
del’énergie électromagnétique
émise. Pour être sûr de tout connaître del’énergie
émise,
il faudraitaugmenter
indéfiniment Il est toutefois intéressant de se rendrecompte
dansquelle
mesure les formules(20)
et(26)
s’approchent
du résultat correct. ,Soit 0
l’angle
dechoc, w est
donné parl’énergie
électromagnétique
rayonnée pendant
un choc sousl’angle
0 est doncp est la
longueur caractéristique
duchamp
considéré. Comme nous l’ayonsdit,
c’est un traitparticulier
duchamp
coulombien que son action s’étendejusqu’à
l’infini defaçon
trèssensible. Dans la théorie
classique,
c’est-à-dire pour hégal
àzéro,
iln’y
a donc pas delongueur caractéristique
p. Ceci est enrapport
immédiat avec le fait que dans la théorieclassique
les dimensions des atomes ne sont pasdéterminées,
que c’est seulement dans lathéorie
quantique
(h
petit,
mais différent dezéro),
que les atomes ont des dimensions déterminées. Ceci nous amène sansplus
dejustification,
à poserle coefficient
numérique
a devant être déterminé parcomparaison
avecl’expérience.
Pour calculerl’énergie
moyennerayonnée
au cours d’unchoc,
il fautintégrer
(30)
sur toutes les directions8, après
l’avoirmultiplié
par la section efficacecorrespondante,
donnée par laloi
5de Rutherford
où Ze est la
charge
du noyau diffusant. On trouve sanspeine
quel’énergie
moyennerayonnée
est .On sait d’autre
part
que la formule de Kramers n’est autre quesoit
Comme nous l’avons vu
plus
haut(
‘
7) ~
est l’extension linéaire du domaine de choc"
mw
en
mécanique
quantique.
Le facteur1,4.2 7r
qui apparaît
dans(33)
tire sonorigine
dans le fait que nous devons faire une observation trèslongue
pour être sûr d’avoir toutel’énergie
rayonnée
pendant
le choc.On
peut
encore à cesujet
faire l’observationsuivante.
Pourcomprendre
que la théorieclassique
soit si peuapplicable
dans le cas duchamp
deCoulomb,
il suffit de remarquerqu’il
nepeut
y avoirrayonnement
sensible quelorsqu’il
y aéchange important
dequan-tité de mouvement, donc
d’énergie.
Orl’énergie
transmise au cours d’un choc à ladistancé p
n’est autre que
donc tous les chocs
accompagnés
derayonnement
sensible ont lieu à une distance del’ordre de la distance minima des deux
particules
a. Or lalonoueur h
a pour valeur MW .. h .. . minimum2 in v ’
soit
mv 2 G vet est par suite très notablement
supérieure
à la distanceclassique
20132013
(tant
0,03).
et est par suite très notablement
supérieure
à la distancenav2
tantque -
>0,03 .
mv c
/
Par
suite,
dans les conditions où il y arayonnement sensible,
lamécanique
classique
n’est pasapplicable.
Rosseland
(1)
a été lepremier
àappliquer
la relation(4)
au cas d’un électronquittant
le noyau
(désintégration ~).
La vitesse de l’électron étantconsidérable,
on poseLa conservation de
l’énergie
s’écritd où l’on tire
et l’on obtient ainsi
ro étant la distance du noyau à
laquelle
l’électron commence à rayonner. Enprenant
1’0 = cm, on obtient W = 2.105 volts
correspondant
à uneénergie
de -
~0,7.
~
c ’
Malgré
les recherches lesplus soigneuses,
lespectre
y enquestion
n’a pu être mis en évi-dence. Nous en voyons maintenant la cause, elle tient àl’application
abusive de la notion detrajectoire
1( dt =
Naturellement,
ce que nous venons de diren’explique
en rienc q pq
pourquoi
lesrayons
enquestion
ont unspectre
diffusd’énergie
sansrayonnement y
con-comitant. C’est là une difficulté autrement
profonda
surlaquelle
les raisonnementsprécé-dents ne
permettent
aucune conclusion.En
résumé,
les considérationsprécédentes
nouspermettent
decomprendre
pourquoi
l’énergie
rayonnée
au cours d’un choc est dans unelarge
mesureindépendante
de la loid’interaction
qui
y intervient.Sitôt que les dimensions du
champ
« actif » deviennent trèspetites,
l’existence d’unelongueur
d’onde des électrons se faitsentir,
de sortequ’une
diminution continuelle des dimensions duchamp
finit par être sans action sensible surl’importance
del’énergie
rayonnée
au cours du choc.9. Cas des chocs à
grande
vitesse. -Le fait que des considérations aussi
simples
nous
permettent
de retrouver à un facteurnumérique près (et
par ailleurs peu différent del’unité)
la formule de Kramers nous aencouragé
àappliquer
cette méthode à un casqui
n’avait pas encore été
étudié,
le cas durayonnement
au cours du choc de deuxparti-cules extrêmement
rapides,
tellesqu’elles
seprésentent
dans lerayonnement
cos-mique.
En théorie
classique,
la distance minimad’approche
des deuxparticules
est donnéepar
soit encore
Pour les
particules cosmiques,
ypeut
être de l’ordre de 100(énergie
de 5.10’électrons-volts),
la distance minimad’approche
est donc très inférieure au rayonclassique
de l’élec-tron. Onpeut
donc se demander si dans ces conditionsl’électrodynamique classique
restevalable,
en d’autres termes si la loi - inconnue et arbitraire - de distribution descharges
électriques
dans l’électron ne doit pasjouer
dans l’interaction des deuxparticules
un rôle essentiel. Enréalité,
si l’on tientcompte
de la contraction deLorentz, un
électronapparaît
àl’autre,
pour de telles vitesses comme une feuille trèsmince,
de sorte que la limited’applicabilité
de lamécanique
relativiste(abstraction
faite desphénomènes
derayonnement
qui
sont évidemment extrêmementimportants
dans ce caslimite)
en est reculée d’autant. Nous reviendrons un peuplus
loin sur les limitesd’applicabilité
de la théoriequantique
relativiste.Les calculs ont lieu de la manière la
plus simple possible
lorsqu’on part
de la forme relativiste invariante.- +
Comme
bi
bi
est invariant vis-à-vis du groupe deLorentz,
onpeut
l’évaluer dansn’importe quel système
et nous choisirons pour ce faire lesystème S’
danslequel
l’électronest au repos au début du choc.
D’autre
part,
il nous seraégalement
commode de considérer unsystème
de référence S*par
rapport
auquel,
avant lechoc,
les deuxparticules
ont desquantités
de mouvementC’est par
rapport
à cesystème
de référence que, comme l’a noté Bohr(1),
l’application
del’argument
decorrespondance prend
sonaspect
leplus simple.
Soit v la vitesse relativedes deux
particules
dans lesystème
d’observation S(celui
danslequel
une desparticules
est au repos au début duchoc),
et soit u la vitesse de S~ parrapport
à S. On voit sanspeine
que
-- _
Les
grandeurs
mesurées dans lesystème
’S* seront affectées dans cequi
suivra d’uneastérique.
Après
un choc sousl’angle
0*,
le carré de laquantité
de mouvement transférée estOn en déduit pour le
temps
de choc «quantique
» dans lesystème 8*
On
peut
en effetsimplifier
beaucoup
les calculs en utilisant une remarque de Bohr(~);
on obtient la force dans le domaine relativiste enremplaçant partout
la vitesse upar y*u
et,
lorsqu’on
calcule lecomposante
de la forceperpendiculaire
à latrajectoire
enremplaçant
la
charge
e par pour lacomposante
parallèle
à latrajectoire
aucontraire,
il faut laisserla
charge
non modifiée.D’autre
part,
on s’assure sansdifficulté,
que si e estl’énergie
transmise au cours duchoc,
l’angle
0 suivantlaquelle
laparticule,
d’abord au repos, est mise en mouvement est donnépar la
relation (3)
/--Dans le cas du
rayonnement
cosmique qui
nous occupe, pour les chocspouvant
donnerlieu à
rayonnement, 2
est trèssupérieur
àmoc2,
de sorte quel’angle
0 est trèspetit :
l’élec-tron est donc mis en mouvementparallèlement
à latrajectoire
de l’électroncosmique,
de sorte que nous sommes essentiellement enprésence
du deuxième cas. Enappliquant
la substitution de u par,~~u,
on obtient immédiatement(37). L’énergie
émise dans lesystème
~S*est donc .
Pour les
particules envisagées,
il
se confond avec c, d’autrepart
8~ est trèsgrand.
Parsuite,
l’énergie
maximarayonnée
est de l’ordre deD’autre
part,
moc2
y*
estl’énergie
de laparticule
dans lesystème
S~. Dans lesystème
d’observationS, l’énergie rayonnée
sera(1) N. BOHR, Convegno di Fisica ivueleare (’1931), p. 125.
(1) N. BOHR, Phil. Mag. 30 (1915), p. 593.
(:3) W. HE(SBBBEftG, Ann. d. Phys., 13 (1932), 430.
On voit
qu’elle
n’est sensible quelorsque
"(’/If
n’estplus
trèspetit
devant137,
soit enrevenant au
système S,
lorsque y
n’est pas trèspetit
devant 2.~~.37)2.
A cette valeurde y
correspond
uneénergie
énorme maisqui
semble bien réalisée pour certains constituants. très durs durayonnement
cosmique.
Pour ces constituantsdonc,
maisprobablement
seule-ment pour
cela,
il n’estplus permis
de considérer le choc des deuxparticules
comme unproblème mécanique,
lerayonnement
émis au cours du chocjoue
un rôle essentielpour
l’application
desprincipes
de conservation del’énergie
et de laquantité
de mouvement.La condition
.--
~
est
susceptible
d’uneinterprétation physique simple.
Dans lesystème S~,
lalongueur
d’onde-t*
n’est autre en effet que~-
Par suite la
longueur
d’onde de laparticule
estégale
au rayonclassique
de l’électron.Telle est donc la restriction
(1)
àlaquelle
est soumis notre calcul etqui remplace
les restrictions du calcul que nous avons énoncées au début de ceparagraphe.
,
On
peut
naturellement utiliser les calculsprécédents
pour trouver une formulequi
généralise
la formule de Kramers pour les électrons trèsrapides.
Pour cefaire,
il fautremplacer
la formule de Rutherford par la formule de Moller(2),
seuleapplicable
dans cedomaine.
D’après
cette dernièreformule,
le nombre de chocs danslesquels
un électron estdiffusé sous un
angle
compris
entre e et 0-~- d
0 estla relation entre les
angles 6
et Q* étant donnée parPour le cas
qui
nousintéresse,
celui desparticules
cosmiques
(y
trèsgrand),
lès formulesprécédentes
se réduisent à :. , ..r’B...u...r-B.
d’où pour la
généralisation
de la formule de Kramers :soit environ
et dans le
système S
En
résumé,
l’énergie électromagnétique
diffusée en moyenne décroît assezrapidement
quand
l’énergie
de laparticule
incidenteaugmente.
Il n’est pas nécessaire de
répéter
ici que ces résultats ne sont valablesqu’à
uncoeffi-cient
numérique
près,
maisl’exemple
du cas nonrelativiste,
où ce facteur est assez peu différent de l’unité nous engage à supposer que les résultatsprécédents
nepeuvent
êtremultipliés
que par un facteur inférieur à dix parexemple.
La conclusion des calculs
précédents
est donc que lerayonnement
au cours des chocs entre électronscosmiques
et électrons est engénéral
assez faible. Ce n’est que pour desénergies
tout à fait considérables de l’ordre de(137)2.
nioc2
que cesphénomènes
entrent enjeu
defaçon
marquée.
La théorie
quantique,
sous sa formeactuelle,
nepeut
guère
nous faireprévoir l’aspect
desphénomènes
au-delà de cette limite. Une observationpourtant
nousparait
être de nature àindiquer
les difficultésthéoriques qui
seprésentent
alors. On saitqu’au
cours d’unchoc,
la conservation de laquantité
de mouvement et del’énergie empêchent
que l’un desélectrons ne passe à un état
d’énergie
négative.
Aucontraire,
lorsqu’une
troisièmeparticule,
un
photon
parexemple,
est enprésence,
le passage de l’une desparticules
vers un état dénergie négative
devientparfaitement possible
C’est évidemment cequi
se passe lors d’unchoc avec
rayonnement.
Ceci nous amène donc à penser que dans les chocs departicules
d’énergie
de l’ordre de(1 J7)~
des transitions enquestion
doiventjouer
un rôleessen-tiel. Peut-être est-il
permis
derapprocher
de cequi précède les
bellesexpériences
de Blackettet Occhialini
(1),
qui
mettent en évidence laproduction
par les rayonscosmiques
departi-cules de
charge positive
et de masse du mème ordre que la masse de l’électron. Ces auteurs émettentl’hypothèse qu’il s’agisse
d’un choc avec un « trou » de distribution de l’électriciténégative,
suivantl’hypothèse
bien connue de Dirac(~),
maispeut-être s’agirait-il
de la trans-formation de l’électron incident ou d’un autre électronparticipant
au choc en un électrond’énergie négative.
Il fautespérer
que desexpériences prochaines permettront
depréciser
lesigne
del’énergie
desparticules
enquestion.
10. Sur la mesure des
champs
électrique
etmagnétique. -
Dans un mémoirebien connu
(1)
Landau et Peierls ont discuté en détail laquestion
de la mesure par choc del’impulsion
d’uneparticule
pour en déduire lespossibilités
de mesure duchamp électrique
et duchamp
magnétique.
Rappelons
brièvement leur calcul.De la relation d’indétermination sur
l’énergie
et
letemps
qui indique
que, si la mesure dure letealps à t,
il existe uneincertitude2013
sur
la différenceentre les valeurs de
l’énergie
avant etaprès
la mesure, se déduit pour le casparticulier
du choc de deuxparticules
la relationv et v’ étant les vitesses de la
particule
étudiée avant etaprès
le choc. En théorie nonrela-tiviste,
cecin’apporte
aucune restriction à la mesure de laquantité
de mouvement,puisque
(i) P. M. S. BLKCKETT et G. P. S. OccHiALiNi, Proc. Roy. Soc., A 139 (1933), 699.
( ~ ) P. A. M. DIRAC, Proc. Hoy. Soc., A, 133 (1931), 60.
v 2013 ~
peut
être rendu aussigrand
que l’on veut. Mais si l’on tientcompte
de la théorie dela
relativité,
les choseschangent
car v - v’ nepeut
être rendusupérieur
à la vitesse de la lumière c; on a donc dans le cas leplus
favorable :De
plus,
d’après
Landau etPeierls,
au choc est liée une variation indéterminéed’énergie
par suite durayonnement
d’énergie électromagnétique qui
résulte de la variationde vitesse
pendant
le choc.Si nous nous bornons au cas des faibles
vitesses,
d’après
(20),
l’énergie
rayonnée
estau moins
égale
à- - , . ,
-d’où une détermination
supplémentaire
l’p
sur laqualité
de mouvement :Landau et Peierls combinent alors les relations
(46)
et(48)
en lesmultipliant,
trouvantainsi pour l’erreur totale sur la
quantité
de mouvement :On est tout de suite
frappé
par le fait que la limite donnée par(49)
est inférieure à la2
1
limite
donnée par(47),
et cecid’un
facteur - 3
/ 13 .
La relation(49)
est donc moins p(
)
3 V
1 7( )
restrictive que
(47).
Ceci tient auprocédé qu’ont
utilisé les auteurs sus-mentionnés pour combiner les erreursop
et8p.
Ilsposent
en effetOr les deux indéterminations
op
et~’p
sontindépendantes.
L’indétermination résul-tante est donc donnée par ~ ...car les erreurs
figurant
dans les relations telles que(46)
et(48)
sont les erreursquadra-tiques
moyennes. L’identiténous montre que
ce
qui explique
le résultat(49).
L’égalité
nepeut
d’ailleurs avoirlieu,
car elleéquivaut
àPar
suite,
l’inégalité (49)
esttoujours
trop
faible et c’estl’inégalité
qu’il
convient de lui substituer. Si maintenant nous tenonscompte
de la formule(26)
pourl’énergie
émise,
il vient :d’où pour
où K est une fonction de
(v
-v’)
et des dimensions duchamp
considéré. Dans le cashabituel des mesures
microscopiques,
K est de l’ordre de l’unité.On
peut
enrapprocher
le résultat suivant de Mott(’) :
-.lorsqu’on
tientcompte
durayonnement,
le nombre total d’électrons diffusés sousl’angle 6
par un noyau decharge
Ze est : -.
°
formule
qui remplace
celle de Rutherford. A y est une fonction de 8 dont lavaleur,
d’après
Mott,
nepeut
guère dépasser
3 ou 4. Il en est donc de même du coefficient K de la formule(5)
lorsque
la loi du choc est la loi de Coulomb.L’application
à la mesure duchamp électromagnétique
est immédiate. Soit3p
l’incer-titude sur laquantité
de mouvement du corpsd’épreuve ;
l’incertitudecorrespondante
surle
champ électrique
àE est donnée parEn tenant
compte
de(~~),
on a : -.Il en est de même de l’incertitude âH sur le
champ magnétique :
Par
multiplication
de(54)
et(55),
on obtient :Nous avons pour cela
remplacé partiellement
leproduit
càt par l’extension àl du domaine étudié pour faciliter lacomparaison
avec les formulesqui
suivent. Si nous nousplaçons
dans des conditions de vitesse telles que le terme derayonnement
soitnégligeable,
il vient :1. :1- .1
alors que Landau et
Peierls,
à partir
de(49)
arrivent à la relation.1
en conformité avec les relations d’incertitude
d’Heisenberg
et Pauli(2).
Le résultat(~f~)
(1) N. F. MOTT, Proc Camb. Soc., 27 (1931), 255.
(a) w. HEISEKBER& et W. PAULI, Z. Physik, 56 (1929), 1; W. HEISB,-iBERG, Die Physikalischen Prinzipien de
