Les atomes hydrogénoides dans l'ancienne théorie des quanta

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Les atomes hydrogénoides dans l’ancienne théorie des

quanta

P. Copel

To cite this version:

LES

ATOMES

HYDROGÉNOIDES

DANS

L’ANCIENNE

THÉORIE

DES

_QUANTA

Par P. COPEL.

Sous-Directeur de l’Ecole des Mines de Saint-Etienne.

Sommaire. 2014 Si. dans l’étude du _{problème des deux corps,} on a utilisé comme _paramètre l’anomalie excentrique dans la _mécanique classique, et un _{paramètre analogue} dans la

mécanique de la relativité, les calculs de quantification prennent une forme très _simple, tant pour la détermination de l’énergie que pour celle des trajectoires et du mouvement.

Introduction. --- Dans la

cinquième

édition de l’ « Atombau und

Spektralli-nien »

_(1931),

Sommerfeld,

_après

avoir

_négligé

le mouvement du noyau, étudie le mou-vement de

_{l’électron,}

dans les deux

_Mécaniqnes,

en utilisant

_{l’équation}

aux dérivées ,

partielles

d’Hamilton-Jacobi. Cette

_équation

a la même forme dans les deux

_mécaniques,

,avec, bien

entendu,

des coefficients

plus compliqués

dans la

mécanique

de h relativité que

dans la

_{mécanique classique.}

Cette méthode

_présente

les

_avantages

suivants :

11 _{Elle montre que la}

_séparation

des variables est obtenue

_quand

on utilise les coordonnées

_polaires

»

2° Elle conduit à des calculs

_analogues

dans les deux

_{mécaniques ;}

3° La

_première

_{grandeur qu’elle}

permet

de calculer est

_l’énergie

de l’électron sur sa

trajectoire, grandeur qui

seule

_présente

un intérêt

_pratique;

~° Elle

_permet

_{théoriquement}

de calculer tous les éléments de la

_trajectoire

et le mouvement sur cette

_trajectoire;

Mais :

1° On

_peut

trouver des

_points

de

_{départ plus}

élémentaires

_(équations

de

_Lagrange,

~ou,

mieux,

intégrales premières

du

mouvement) ;

2° On est

_conduit,

_{même pour le calcul de}

_{l’énergie,}

à des

_intégrales

définies assez

compliquées ;

3° On renonce

_{praticluement}

à

_employer

cette méthode

_jusqu’au

_{bout pour} calculer les éléments de la

_trajectoire

et le

mouvement

sur cette

_{trajectoire ;}

4° On

connait,

pour l’étude du

problème

en

_{mécanique classique,}

des méthodes

beaucoup plus simples,

notamment

_{l’élégant}

calcul de Léon Brillouin

_(La

théorie des

quanta

et l’atome de Bohr -

_{Conférences-Rapports 1.9~»).}

On ne

_peut

malheureusement pas

appliquer

en relativité les deux

_ingénieuses

_remarques

_qui

ont

_permis

à L. Brillouin de

simplifier

le

_problème

en

_{mécanique classique.}

Il est dans

_l’esprit

de l’ancienne théorie des

_quanta

d’étudier le

_problème

_posé,

avec

les

_paramètres

les

_plus

commodes,

avant

_{d’appliquer}

les conditions de

_{quantification.}

on sait

_{qu’en Mécanique classique}

et en

_Astronomie,

le

_{paramètre qui s’impose}

dans le

problème

actuel est l’anomalie

_excentrique

u. Il est curieux

qu’il

ne _{soit pas} venu à l’idée de:i

_physiciens

d’en tenter

_l’emploi

_(1).

(1) Xous devons toutefois signaler que 31. Boll et Ch. Salomon _{(Introduction} à la théorie des _quanta, I)oin ₁₉₂₈₎ utilisent l’anomalie excentrique pour le problème képlérien en _{mécanique classique.} Mais,

ils introduiseiit M _après s’ètre servis, comme Sommerfeld, de l’équation de Hamilton-Jacobi.

1

Ils donnent,

au §

186 des expressions exactes, en _{fonction de u,}

de - (qu’ils

_appellent et _{de d} (qu’ils appellent 8). Mais, lorsqu’ils reprennent cette _{question au ~ 243,} ils _{écrivent que ii est}

_{proportionnel}

à z, .alors que c’est w (ou encore sin _{u) qui} est _{proportionnel} au _temps. Il en résulte que les formules

.qu’ils écrivent à ce _{paragraphe correspondent} à un oscillateur plan, au lieu â’étre relatives au _problème

képlérien.

639

En

fait,

si l’on

_part

des

_expressions

de r et

_{de 9}

_{que l’on trouve dans tous les traités}

de

_Mécanique

ou d’Astronomie

_{(par exemple,}

H.

_Andoyer,

Cours d’-lstroiioInie.

tome I,

pages 258 à 210 - Hermann

1923),

on voit immédiatement que les calculs de

quantifi-cation ne font intervenir que les

_intégrales

~~^

Ù If et

’027:

cos u d ll. I,e calcul ne

com-porte

aucun artifice et est aussi

_rapide

_{que celui de L. Brillouin.}

Nous

_{prendrons cependant}

le calcul à son

_début,

_{pour montrer que il s’introduit} naturellement dans les

_calculs,

_{indépendamntent}

de sa

_{si,qnification}

et nous

verrons

_qu’un

_{paramètre analogue}

s’introduit naturellement dans les calculs de la rela-tivité. Ainsi

_{apparaîtra plus}

clairement le

_{parallélisme complet qui}

subsiste entre les calculs

_classique

et relativiste.

Nous

_{négligerons,}

comme

_Sommerfeld,

_{le mouvement du noyau.} On _{sait que, pour} en tenir

_compte,

il suffit

_pratiquement

de

_remplacer

la masse ln de l’électron _par

m ...,

étant la masse _{du noyau.}

Nous

_adopterons

les notations de Sommerfeld

(loc.

cit.),

sauf en ce

_qui

concerne

l’énergie

de l’électron en relativité

restreinte,

qui,

dans notre

calcul,

contiendra

_l’énergie

.a,u _{repos, constante}

_égale

à

_rnoc2.

Les calculs seront conduits de manière à

_donner,

aussi

_rapidement

que

possible,

l’énergie

de l’électron sur sa

_trajectoire,

_quitte

à revenir ensuite sur la détermination des .autres éléments.

Mécanique

classique.

-

a)

Avant

_{quantification.}

-

L’énergie cinétique

de l’électron est

~i l’on utilise la variable auxiliaire définie _{par la relation}

h étant une constante dont nous choisirons

_plus

tard la valeur.

Le mouvement est déterminé _par la connaissance de deux

_{intégrales premières :}

l’intégrale

des forces vives et

_{l’intégrale}

des

aires,

’

Iv est l’énergie

totale

_qui

est

_{constante, »}

est la constante des aires. Eliminons dt entre

~3)

et

_{(4) :}

-

-Fixons maintenant la valseur de à en

_posant

( ~ ) On peut remarquer que, si l’on multiplie les deux membres _de(5) par r2, puis dérive par rapport

é li, on obtient _après division par

7

une équation du second ordre à coefficients constants, d’où une inté-du

girale en cosinus.

Sommerfeld _emploie cet artifice chaque fois _qu’il rencontre une _équation de ce type. Mais cette méthode

est loin de _{s’imposer, puisque l’équation} différentielle du premier ordre dont on _part est à variables

réparés et se ramène immédiatement à une intégrale connae. Elle a en outre l’inconvénient d’introduire une constante _{d’intégration supplémentaire qu’on} ne _pourrait faire _{disparaître qu’en} revenant à _{l’équation}

et _posons en outre

L’pquat!0n

devieiit 1

équation

tl u

_pi,eiiiier

ordre -,’l -,’écrit

(Fou

en n’écrivant _{pas la constante}

_d’inUraUon

_grâce

à un _{choix convenable de} de u

"

ou

si loti pose

La relation

_(~)

_permet

de

_{calculer ç}

en fonction de ii

si l’on pose

provisoirement .

()lien

_tire,

en

_{intégl’unt}

f8) et

₍₁₁₎

sont t les

_équaHons

_{paramétriques}

d’uiie

_ellipse

en coordonnées

_pol;iiirs,

lf.

etant un des

_foyers,

le

_paramètre

étant ranomalie

_excentrique.

’

b)

Q’uantification.

-- Comme la

trajectoire

est une courbe fermée, noii; écriruns la condition de

_quantum

d’Emstem :

Or

lin

_{i>empla>aiit >ii}

’ outre

2013

_par sa valeur tirée de

,4),

on obtient tl/

tire la valeur de 11 - :

641

Mécanique

de la relativité. - a) > Avant

_{quantification.}

Si nous _posons comme

t .

nous aurons eilcor(l

Le

_champ

dans

lequel

se

_déplace

l’électron est constant et ne

_dépend

_que de ï. Nous

aurons encore deux

_intégrales

_premières

du

mouvement, !

unie

_exprime

_que totale est

_constante,

l’autre

_correspond

à

_{l’équation}

de

_Lagrange

relative à ÿ : :

IJI

représentant

la )nasse

_{maupeituisicnne qui est liée}

à la tuasse ait _{repos par}

Remplaçons

dans

_{(1 î’) iït}

_par sa valeur tirée de

₍₁₅₎

Pt _par sa valeur tirée de

_(1f),

on obtient en

_{multipliant parc’ r2,}

@

Fixons la valeur de b en

_posant

et. posons en outre

et t

L’équation

(18)

prend

forme

_{(2~) analogue}

à

₍₈₎

pour solution

si i ron _posu ,

> On

peul

corh’e

₍₂₎

sous la forme

de La 11101ne _{itiatiière que}

₍₁₁₎

et

_qui

n’est

_{généralement}

_pas fermée.

_{D’après (23),}

r varie entre a

_{(1 2013~)}

et a

_(i

₊

_1).

La courbe

_remplit

l’aire

_comprise

entre les deux cercles

_ayant

_{pour centre le noyau} et

pour-rayon

respectivement a

-

E)

et a

_{(1 + E).}

b) Quantification.

- En vertu de

la remarque

précédente,

on aura à écrire les. deux conditions de

_{quantification :}

et

car,

lorsque

u varie de 0 à

2x,

» effectue une libration

_complète.

Comme _{n’est autre que que la constante h,} la

_première

condition donne

ce

_{qui permet}

de

calculer i,

en

_remplaçant

dans

_{l’équation (21) :}

La seconde condition s’écrit :

On

tire!!!:..

de

₍₁₆₎

et d r de

_{(23) :}

dt

D’où,

en

_remplaçant

une

fois b d u par

ou

Les

_équations

₍₁₉₎

et

₍₂₀₎

’

expriment L)

et a en fonction de W seul. On aura donc PT b

en

éliminante-

et a entre

_(19),

_(-20)

et

_(27).

W2 intervient alors d’une

façon

linéaire et on

b tire :

Forme des

trajectoire.

Etude du mouvement. -

_{Mécanique classique.}

Etude du mouvement sur la

_trajectoire.

- On tire d t de

l’équation (4)

643

On en

_tire,

en

_{intégrant :}

est la

_période

du mouvement.

Mécanique classique après quantification.

- La relation de

quantification

d’Einstein

a

_permis

de calculer Il’. La relation

₍₇₎

donne a, la relation

₍₈₎

’

donne, puis

(31)

donne la b

période

du mouvement.

Mais on ne

_peut

calculer b _{que si} on s’est fixé la valeur

_del).

Si l’on admet que les

trajectoires

de la

_{mécanique classique}

sont obtenues comme

limites des

_trajectoires

de la relativité

_lorsqu’on

_augmente

indéfiniment la valeur de c, on est conduit à écrire les deux conditions de

_{quantification :}

1>t

Ou

peut

remplacer

la dernière par celle que l’on obtient en

_ajoutant

les deux

relations-ci dessus. On retrouve alors la condition de

_{quantum d’Einstein,}

_{si l’on pose}

~ La

première

condition fixe la valeur

de p, qui

est donnée comme en relativité par

(26).

On

en tire b et e

Mécanique

de la relativité. Etude du mouvement. - On obtient dt en

_remplaçant

dans

_{(16) m}

par sa valeur tirée de

₍₁₅₎

D’où en

_intégrant

avec

T

représente

le

temps

qui

s’écoule

pendant

une

libration

_complète

de r.

Mécanique

de la relativité

_après

_{quantification. -}

La relation

_{(£9) exprime W}

en

fonction de

₊

nr. Les relations

₍₁₉₎

et

₍₂₀₎

donnent--

_{et a,}

_puis

la relation

₍₃₆₎

donne ~

en fonction de la même

_quantité.

’

Il y a donc une

_{analogie frappante}

avec ce que nous avons trouvé en

_mécanique

clas-sique.

Mais la différence essentielle est

_qu’au

lieu du nombre entier 11

_===??=-)-

Un c’est la

combinaison

_qui

intervient.

On calcule b et E en utilisant la relation

_{(26) :}

Interprétation géométrique

de il. - Nous n’insisterons pas _sur

lïnlcrprélatitfJfi

géométrique

de Fanomaiie

_excentrique

_{(iiii*i;anique classique).}

C’est un

_angle

sur la figure 1.

Bien que l’élude

analytique

nous aU fIJonlré que If

jouail

dans les calcuLs un toul à fait

_analogue

dans les deux

_{mécéluiqucs,}

nous dOllnprOJ1R de ce

_paramètre

interprétation géométrique

très différente.

Fig. 1.

Considérons

_{(lig. f)}

le tore circulaire

_qui

est

_coupé

_par son

_{plan équatorial}

suivant les cercles de rayon a

{!

-

E)

et a

₍₁

1

_{+ -)}

_qui

délimitent la

_trajectoire

de l’électron. Un

point

ili du tore est donné sans

ambiguïté

par les

angles u et ~

marqués

sur la

_figure.

Soit H sa

_projection

sur le

_{plan équatorial.}

Il a pour coordonnées

polaires

1 = a ( 1

Fig. 2.

Nous avons ainsi une

_{interprétation}

_{géométrique}

dp

_l’angle

Il si non considérons

trajectoire

comme la

_projection

d’une courbe lracéc sur le tore.

Plaçons-nous

maintenant à un

_point

de vue un _{peu différent:} une courbe fermée tracer

sur le tore se ramène, par

déformation

continue sur la surface du

tore,

à l’ensemble de :

1° Un cercle méridien décrit un nombre entier de

_fois;

2° Un

_parallèle

décrit un nombre entier de fois. Ceci nous conduit a une

_{interprétation}

645

la

_Mécanique

ondulatoire - Hermann 19:10 -

pages à

240)

en utilisant la surface

(le

Riemann. Nous sommes tout naturellement conduits à cette

_{interprétation}

_{par le}

fait

que nous avons

remplacé

la variable r,

qui

effectue une

_libration,

_par la variable

cyclique

u.

°

, ,

_

Emploi

de l’anomalie

excentrique

en

_{physique. -}

_L’emploi

de la variable a

permet

de

_simplifier

les calculs dans presque tous les

_problèmes

_qui

_portent

sur le

mouvement

képlérien.

’

Dans

certains cas

_{(ex : quantification}

en

_mécanique

_classique)

il suffit de tout

expri-mer gn

fonction de u. Parfois aussi

_{(ex :}

_{quantification}

dans la

_mécanique

de la

_relativité)

on n’arrive à la

simplicité

maximum

_qu’en

combinant

_l’emploi

de u et _{de m.} Donnons un nouvel

_exemple

de

_l’empmi

de u seul.

En

_{appliquant l’hypothèse adiabatique}

à la recherche des

_trajectoires

limites de ~

l’électron, lorsque

l’alome est soumis à un

_{champ électrique}

extérieur tendant vers

_zéro,

Sommerfeld

_(pages

376 et

_77,

_cit.)

_{calculr la valeur moyenne}

_de

=

(voir

figùre 1

de cette

note).

Il est

_{con, l uit,}

en

_{utilisant ?}

comme

variable

à calculer les deux

_intégrales

. et

l)r la

_figure

1 nous donne

d’où _{la valeur moyenne}

Ce résultat est en accord avec celui de Sommerfeid dans la

_cinquième

édition alle-

°

mande

_{(page ~~77),}

égale au

_signe

_{près à}

celui de

_{Pëdhioa française}

_(page

_{383) à}

cause d’une faute de

signe

dans

_{l’expression}

de J’. "

,