La relativité et la théorie des nombres

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Mohamed Sghiar

To cite this version:

Mohamed Sghiar. La relativité et la théorie des nombres. 2009. �hal-01174146v4�

LA RELATIVITÉ ET LA THÉORIE DES NOMBRES

(Déposé dans les hal, ref : hal-01174146) M. Sghiar

9 allée capitaine J.B. Bossu, 21240, Talant.

[email protected] 10 octobre 2016

ABSTRACT : I use the theory of relativity to prove the Riemann hypothesis, Goldbach’s conjecture, De Polignac’s conjecture, the Legendre’s conjecture, the Syracuse problem, the problems of Mer- senne and Fermat primes, and the Fermat’s last theorem

RESUME : J’utilise la théorie de la relativité pour prouver l’Hypo- thèse de Riemann, la conjecture de goldbach, la conjecture de De polignac, la conjecture de Legendre, la conjecture de Syracuse, les problèmes sur les nombres de Fermat et de Mersenne, et le dernier théorème de Fermat.

——————–

Keywords : Theory of relativity, the Riemann hypothesis, Goldbach’s conjec-

ture, De Polignac’s conjecture, the Legendre’s conjecture, the Syracuse pro-

blem, the problems of Mersenne, Fermat primes , Fermat-wiles theorem.

Sommaire

Avant tout 4

Introduction 5

Notations et Définitions 8

1 Théorèmes fondamentaux 9

2 La conjecture de Alphonse de Polignac 12

3 La conjecture de Goldbach 14

4 L’hypothèse de Riemann 16

5 Existence et formes de certains nombres premiers 19

6 La conjecture de legendre 23

7 Utilisation de la conséquence de la preuve de l’Hypothèse de

Riemann 24

8 Meilleur localisation des nombres premiers 27

9 Existence et localisation des premiers jumeaux 28

10 Des premiers de la forme (n + 1)

− n

± 1 + p 29

11 Problème de syracuse 30

12 Problème des nombres de Fermat 32

13 Problème des nombres premiers de Mersenne 34

14 Un nombre infini de premiers de la forme 2 + n

35

15 Un nombre infini de nombres premiers de la forme 1 + n

36

16 Une preuve relativiste du Théorème de Fermat-Wiles 37

17 Conclusion 40

Avant tout

Une particule élémentaire est indécomposable et acquiert de la masse lors de la translation du repère de l’observateur tout comme un nombre premier : indécomposable et augmente de valeur sous l’action d’une translation....

Cette analogie m’a permis de démontrer des propriétés des particules élé- mentaires composantes de l’univers des nombres...

Pour les mathématiciens qui ne souhaitent pas l’utilisation de la formule physique λ = √

1−(^v

c)²

, rassurez vous, dans toute cette œuvre : On peut

utiliser λ = %(v) trouvé dans le Théorème fondamental 1.1, on pourra même

l’utiliser dans la sixième preuve de l’Hypothèse de Reimann (voir [7]) car C

est inclut dans le C -espace vectoriel C < E

>

où i est premier.

Introduction

La fonction ζ de Riemann (voir [6] et [7] ) est une fonction analytique com- plexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers.

La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres pre- miers et se trouve au carrefour d’un grand nombre d’autres théories.

Hilbert et Pólya ont spéculé que les valeurs de t telle que 1/2 + it soit un zéro de la fonction zêta de Riemann doivent être les valeurs propres d’un opérateur hermitien, et ceci serait une voie pour démontrer l’hypothèse de Riemann (voir aussi [7] pour sa résolution).

À ce moment, c’était une petite base pour une telle spéculation. Néanmoins Selberg au début des années 1950 a démontré une dualité entre la longueur du spectre d’une surface de Riemann et les valeurs propres de son laplacien. Ceci, que l’on appelle la formule des traces de Selberg avance une ressemblance frappante avec les formules explicites, donna une certaine crédibilité à la spéculation de Hilbert et Pólya.

Dans les années 70, Hugh Montgomery [6] rechercha et trouva que la distribu- tion statistique des zéros sur la droite critique possède une certaine propriété.

Les zéros ne tendent pas à être trop fermement ensemble, mais à se repousser.

En visitant l’Institute for Advanced Study en 1972, il montra ce résultat à Freeman Dyson, un des fondateurs de la théorie des matrices aléatoires,- qui sont très importantes en physique - se rendent compte que les états propres d’un hamiltonien, par exemple les niveaux d’énergie d’un noyau atomique, satisfont à de telles statistiques.

Dyson a vu que la distribution statistique trouvée par Montgomery était

exactement la même que la distribution des paires de corrélations pour les

valeurs propres d’une matrice hermitienne aléatoire. Le travail postérieur a

fortement élevé cette découverte, et la distribution des zéros de la fonction

zêta de Riemann est maintenant reconnue pour satisfaire les mêmes statis- tiques que les valeurs propres d’une matrice hermitienne aléatoire, les statis- tiques de ce que l’on appelle l’ensemble unitaire gaussien. Ainsi, la conjecture de Pólya et Hilbert possède maintenant une base plus solide. Ceci m’a inspiré ce qui suit :

Un nombre entier relatif x (de Z ) est dit premier si il ∈ {0, / 1, −1} et si les seuls diviseurs de x sont {+1, −1, x, −x}.

La conjecture de Goldbach, adressée dans une lettre à Euler en 1742, elle est comme suit :

La conjecture de Goldbach : Tout nombre pair strictement supé- rieur à 2, peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers positifs.

Cette conjecture a fait l’objet de recherches par plusieurs théori- ciens des nombres et a été vérifiée par ordinateur pour tous les nombres pairs jusqu’à 1.1 × 10

à la date du février 2008.

Conjecture de Alphonse de Polignac : ∀m ∈ 2 N , il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs dont la différence vaut m.

Pour le preuve de la conjecture de De Polignac qui fut énoncée par Alphonse de Polignac en 1849 [1], l’idée fondamentale est de voir un nombre premier p

comme l’état d’une particule élémentaire de masse p

donc de niveau d’énergie E

, et de voir un nombre non premier

p

comme une représentation de l’énergie de l’ interaction entre les particules de l’ensemble des α

particules p

, où i ∈ {1, ..., n} qui sont à l’état :

α

E

où E

est le niveau d’énergie de p

.

En relativité, la translation T

agit linéairement sur les masses, par T

(X) = λX où λ = √

1−(^v_c)²

, dans le Théorème fondamental 1.1, je démontrerai que

T

agit aussi linéairement sur le C -espace engendré par les niveaux d’énergie E

- Linéairement indépendants -.

Ensuite, j’utiliserai les mêmes techniques relativistes pour prouver la conjec- ture de Goldbach 3.1.

Quant au preuve de l’hypothèse de Riemann. On a pas besoin d’utiliser la quantification de l’énergie. Le résultat se déduit juste du fait de la déforma- tion de l’espace et des propriétés de la fonction ζ.

Puis par les mêmes techniques, je démontrerai que pour tout entier k ≥ 2 soit il existe une infinité de premiers p

de la forme 1 + y

= p

, soit il existe une infinité de premiers p

de la forme 3 + y

= p

, et pour k = 2

, je démontre qu’il existe une infinité de premiers p

de la forme 1 + y

= p

. Et je donnerai également une réponse positive à la conjecture de Legendre généralisée.

Dans le Théorème 5.1, je donne une amélioration du Théorème 6.1 (la conjec- ture de Legendre).

Et pour vérifier le résultat ii- du Théorème 5.1, j’ai écris un code en langage C++ que j’ai utilisé pour un test allant jusqu’au N = 10

.

Les mêmes techniques m’ont permis aussi de démontrer la conjecture de Syra- cuse [2] encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d’Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1 et dont Paul Erdos a dit [4] " les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes ".

J’ai résolu aussi les problèmes sur les nombres de Fermat et de Mersenne [3], Ceci montre l’importance des techniques relativistes utilisées.

Enfin, même le célèbre Théorème de Fermat-Weils [8] ne peut échapper à ces techniques relativistes, j’en donnerai donc une démonstration relativiste.

J’espère que la communauté des mathématiciens finisse par admettre ces

techniques.

Notations et Définitions

Notons E le C -espace vectoriel (E

)

, i premier = 2.

Si x =

α

E

, où E

est le niveau d’énergie du nombre premier p

. Alors, on pose : %(x) =

p

le poids de x.

Notons

l’ensemble des classes définies par la relation % sur E : x%y ⇐⇒

%(x) = %(y), nous notons x la classe de x et %(x) = %(x)

Remarque : On sait en relativité que la masse d’une particule est multipliée

par un scalaire λ si elle animée d’un mouvement de translation uniforme, en

relation avec cela, je démontre les deux Théorèmes fondamentaux 1.1 et 1.2 :

1 Théorèmes fondamentaux

Théorème 1.1 (Théorème Fondamental 1) Si χ est une action agissante sur

, alors

= λ, ∀x ∈

si et seulement l’action χ est une translation sur

.

Avec λ = %(v), où v est le vecteur (ou vitesse) de translation.

Lemme 1.1 (Lemme fondamentale)

i-

et un groupe additif pour la loi x + y = x + y ii- %(x + y) = %(x)%(y)

Preuve du Théorème 1.1 : Si

= λ (une constante) :

Si χ(x) = x + v(x), alors %(χ(x)) = %(x)%(v(x)) (d’après le lemme 1.1). Ce qui prouve l’existence et l’unicité de v tel que χ(x) = x + v, ∀x ∈

.

Inversement si χ est une translation sur

:

On a : χ(x) = x + v, ∀x ∈

, soit %(χ(x)) = %(x)%(v), et

= λ = %(v).

Application :

Théorème 1.2 (Théorème Fondamental 2) Soit m ∈ N , m ≥ 2. Si T

est la translation définie de Z → Z par x → x + m, alors T

se prolonge en une application linéaire T sur l’espace E, et dont T

| Z est une restriction sur

où D

est la droite D

= {E

+ z(E

− E

), z ∈ C } avec :

i- T (E

) =

n

E

(En tant que classes) où n

∈ N , ∀i.

ii- %(T (E

+ z(E

− E

))) = %(T

(E

+ z(E

− E

))), ∀z ∈ C .

iii- Pour tout élément n de Z

, il existe z ∈ C tel que : %(E

+z(E

−E

)) = n.

iv- %(T (

α

E

)) = %(T

(

α

E

)) où n, α

∈ N .

v- Si F

=

α

E

où α

∈ N .

Alors : T (F

+ z(F

− F

)) = T

(F

+ z(F

− F

))∀i, j ≥ 1 (En tant que classes).

Preuve du Théorème 1.2 : Première démonstration :

Rappelons qu’on a représenté un nombre

p

par l’état :

α

E

où E

est le niveau d’énergie de p

.

Pour tout élément n de Z

, il existe z ∈ C tel que : %(E

+ z(E

− E

)) = n : En effet, en appliquant le lemme 1.1 ci-dessus, pour n ≥ 1 il suffit de prendre z =

n pi

ln^pj

pi

, et si n ≤ −1 on prend z =

−n pi

ln^pj

pi

+

ln^pj

pi

Identifions tout élément E

+z(E

−E

) de D

par %(E

)× ~ 1+%(z(E

−E

))× ~ 1.

D’abord la translation T

se prolonge sur la droite D

= {E

+z(E

−E

), z ∈ C } par : T

(E

+ z(E

− E

)) = E

+ (z + m

)(E

− E

) avec m

=

j/pi)

. En appliquant la preuve du Théorème 1.1 précédent sur cette droite, T

agira sur

par l’action T

(z × ~ 1) = λz × ~ 1

Soit T l’application linéaire définie sur E par : T (E

) = T

(E

), et par T (E

) = T

(E

) + λ(E

− E

), ∀i.

on a bien : T (E

) = T (E

) + λ(E

− E

), ∀i, j.

T

|

est la restriction de T sur

: En effet : T (E

+ z(E

− E

)) = T (E

) + λz(E

− E

)

Et T

(E

+ z(E

− E

)) = T

(%(E

) × ~ 1 + %(z(E

− E

)) × ~ 1) .

Soit T

(E

+ z(E

− E

)) = λ(%(E

) + %(z(E

− E

))) × ~ 1 = λ%(E

) × ~ 1 + λ%(z(E

− E

)) × ~ 1 = T

(E

) + λz (E

− E

) (en tant que classes)

Il s’ensuit par récurrence que %(T (E

)) = %(T

(E

)), ∀i car par hypothèse : T (E

) = T

(E

) et on a : %(T (E

+ z(E

− E

))) = %(T

(E

+ z(E

− E

))).

Et %(T (E

)) = %(

n

E

) où n

∈ N , ∀i

Montrons maintenant que : %(T (

α

E

)) = %(T

(

α

E

)) où α

∈ N .

En effet :Il résulte du lemme 1.1 et du fait que %(T (E

)) = %(T

(E

)) .

D’où le résultat.

Deuxième démonstration :

Soient i et j deux entiers distincts ≥ 1, et z ∈ C . T (E

+ z(E

− E

) = T (E

) + λz (E

− E

) Or E

+ z(E

− E

) = (

ln^Pi

Pj

+ z)(E

− E

) En tant que classes car %(E

+ z(E

− E

)) = %((

ln^Pi

Pj

+ z)(E

− E

)) Donc T

(E

+ z(E

− E

)) = λ(

ln^Pi

Pj

+ z)(E

− E

) ∀i, j ≥ 1, i 6= j Pour i = 1 .

Par hypothèse T (E

) = T

(E

) , donc T (E

) et T

(E

) appartiennent à D

. Il s’ ensuit que T (E

) + λz(E

− E

) et T

(E

+ z(E

− E

)) = λ(

ln^P1

Pj

+ z)(E

− E

) appartiennent à D

.

Or T (E

) + λz(E

− E

) = λ(

ln^P1

Pj

+ z)(E

− E

) : car T (E

) = T

(E

) = λ(

ln^P1

Pj

)(E

− E

)

On en déduit que : T (E

+ z(E

− E

)) = T

(E

+ z(E

− E

))∀j ≥ 1, et par suite :

T (E

) = T

(E

)∀i ≥ 1, et en reprenant la démonstration pour i 6= 1, on voit que :

T (E

+ z(E

− E

)) = T

(E

+ z(E

− E

))∀i, j ≥ 1

Et T (E

) =

n

E

où n

∈ N , ∀i résulte de T (E

) = T

(E

)∀i ≥ 1.

Posons F

=

α

E

où α

∈ N .

Comme ci-dessus, on voit que : T (F

+z(F

−F

)) = T

(F

+z(F

−F

))∀i, j ≥ 1(En tant que classes).

Et par suite : %(T (F

)) = %(T

(F

))∀i ≥ 1.

2 La conjecture de Alphonse de Polignac

Démontrons d’abord La conjecture de De Polignac qui fut énoncée par Al- phonse de Polignac en 1849 [1].

Théorème 2.1 (La conjecture de Alphonse de Polignac [1]) ∀m ∈ 2 N , il existe une infinité de paires de nombres premiers consécutifs dont la diffé- rence vaut m .

Notons P l’ensemble des nombres premiers.

Dans la suite, pour simplifier, je confonds :

P_i=k

i=1

α

E

et

p

, et, T

(

α

E

) et T

(

p

).

Preuve

Première démonstration :

Posons : T

(E

) =

n

E

où n

∈ N (Par le Théorème fondamentale 1.2 -quantifiant l’énergie-).

Si p

= T

(

p

), alors : En se plaçant sur la droite (F, E

), où F =

Pk

i=1

α

E

, on déduit du Théorème fondamentale 1.2 que :

%(E

) = %(T

(F + z(E

− F ))) pour z = 0.

Soit %(E

) = %(T

(F )) qu’on notera pour faciliter E

= T

(F ).

Donc E

= T

(

α

E

) =

α

T

(E

) =

i=1

(

α

n

)E

.

On déduit qu’il existe i tel que E

= T

(E

), et il existe donc une particule p

telle que T

(p

) = p

.

Supposons qu’il existe un entier N assez grand tel que :T

(P ∩[N, +∞[)∩P =

∅ .

Alors : T

(P ∩ [N, +∞[) ⊂ P

où P

= N \P .

Or T

(P

∩ [N, +∞[) ⊂ P

: Car si non, il existe p

∈ P tel que p

=

T

(

p

), et comme ci-dessus, on déduit qu’il existe i tel que E

= T

(E

),

soit T

(p

) = p

.

On en déduit que : T

([N, +∞[) ⊂ P

, ce qui est impossible car P est infinie et T

est continue, donc ∀N ∈ N assez grand, T

(P ∩ [N, +∞[) ∩ P 6= ∅ . Et la conjecture de De Polignac s’en déduit.

Remarque :

Sous l’action de T

, :

1- Dans i- du Théorème 1.2, on a quantifié l’opérateur T et T

, de plus Si T

(p

) est un premier p

, ce cas correspond donc au passage de la particule p

d’un état d’énergie E

à un état d’énergie E

, avec :

%(E

) − %(E

) = p

− p

= m ceci ressemble à la quantification de l’énergie des particules d’un atome en physique.

2- Dans le théorème fondamental 1.1, on a :

%(χ(x))

%(x)

= λ, ∀x ∈

si et seulement l’action χ est une translation sur

. Avec λ = %(v), où v est le vecteur (ou vitesse) de translation.

Ceci ressemble à ce qu’a été trouvé par Albert Einstein : λ = %(v) = √

1−(^v_c)²

et

0

= √

1−(^v_c)²

De plus, λ = %(v) augmente avec le vecteur (ou vitesse) de translation v si v

est un entier.

3 La conjecture de Goldbach

Théorème 3.1 (La conjecture de Goldbach) Tout nombre pair stricte- ment supérieur à 2, peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers positifs.

Preuve de la conjecture de Goldbach :

On va encore appliquer le Théorème fondamental 1.2.

Si m est un entier pair ≥ 4, posons : P (m) = {p

/ 2 ≤ p

≤ m}, où p

est premier.

Supposons que : T

(−P (m)) ∩ P = ∅ .

Alors : T

(−P (m)) ⊂ P (m)

où P (m)

= [0, m]\P (m)

Or T

(−P (m)

) ⊂ P (m)

: Car si non, il existe p

∈ P (m) tel que p

= T

(−

p

), et comme ci-dessus, on déduit qu’il existe i tel que E

= T

(E

), soit T

(−p

) = p

.

On en déduit que : T

([−m, 0]) ⊂ P (m)

, ce qui est impossible car T

ne sera pas bijective.

Donc T

(−P (m)) ∩ P 6= ∅ .

Et la conjecture de De Goldbach s’en déduit.

Corollaire 3.1 Si m est un entier pair ≥ 4, alors m = p

− p

avec 2 ≤ p

≤ p

, et, p

et p

sont des nombres premiers.

Preuve :

La preuve est similaire sauf qu’il faut s’assurer de l’existence de nombres pre-

miers dans l’intervalle T

[0, m] = [m, 2m], or ceci est assuré par le Postulat

de Bertrand (ou théorème de Tchebychev) :

Postulat de Bertrand (ou théorème de Tchebychev démontré en 1850 ) : Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, alors il existe toujours au moins un nombre premier p tel que : n p 2n

Commentaire : Ainsi, avec ce corollaire 3.1, on voit que l’idée de représenter les niveaux d’énergie des particules élémentaires par des nombres premiers puis d’appliquer la Théorie de la relativité est bien solide et plausible.

FIN DE LA PREUVE DE LA CONJECTURE DE GOLDBACH

4 L’hypothèse de Riemann

Après avoir donné dans [7] cinq preuves de l’hypothèse de Riemann, je donne dans cette article une sixième preuve relativiste du célèbre problème de l’hy- pothèse de Riemann dont a dit le mathématicien allemand David Hilbert :

"Si je devais me réveiller après avoir dormi pendant mille ans, ma première question serait : l’hypothèse de Riemann a-t-elle été prouvée."

Théorème 4.1 (L’hypothèse de Riemann) Tous les zéros non triviaux s de ζ satisfont à la condition Re(s) =

.

L’hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le ma- thématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta ζ de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2.

La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe et définie, pour Re(s) > 1, par la série de Dirichlet : ζ(s) =

La fonction ζ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf 1. Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes repré- sentations de la fonction ζ. Parmi elles :

ζ(s) =

− s

du.

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l’intégrale est convergente pour Re(s) > 0.

La fonction ζ satisfait à l’Équation fonctionnelle : ζ(s) = 2

π

sin

πs 2

Γ(1−

s)ζ(1 − s)

valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1. Ici, Γ désigne la fonction gamma.

Posons : ζ

2

(z) = ζ(z +

)

Tout point de C est considéré comme une particule, et l’application : z −→

z +

est considéré comme une translation agissant sur les particules.

On en déduit par application de la relativité, en considérant que cette trans- lation suivant l’axe (OX) s’effectue à une vitesse v, on doit avoir :

ζ(z +

) = ζ(λRe(z) + iIm(z)) où λ = √

1−(^v

c)²

ou λ = %(v) :

On peut utiliser λ = %(v) car C est inclut dans le C -espace vectoriel C <

E

>

où i est premier. Ce qui évitera d’utiliser λ = √

1−(^v

c)²

que certains mathématiciens n’aiment pas utiliser.

On a donc :

ζ

2

(z) = ζ(z +

) = ζ(λRe(z) + iIm(z)) Or d’après l’égalité : ζ(s) = 2

π

sin

πs 2

Γ(1 − s)ζ(1 − s), les racines sont symétriques par rapport à

, donc si il exite une racine z +

de ζ avec Re(z +

) 6=

, alors il existe une racine z de ζ

2

avec Re(z) 0.

Posons s = λRe(z) + iIm(z), alors s = λRe(z) + iIm(z) est une racine de ζ qui doit vérifier (comme connu) 0 ≤ λRe(z) ≤ 1 pout tout λ assez grand, donc Re(z) = 0, ce qui est absurde.

Deuxième démonstration :

Si f est une fonction complexe, posons f

, où λ = √

1−(^v_c)²

ou λ = %(v), le λ-Transformé de f définie par :

f

(z) =

f(λRe(z) + iIm(z))

Remarquons que la translation z −→ z +l transforme ζ en

ζ

, où λ = √

1−(^v

c)²

ou λ = %(v ). (On le voit en utilisant la série de Dirichlet : ζ(s) =

).

Posons z +

= λRe(z) + iIm(z), on a :

ζ

(z) = ζ(z +

) = 0 ⇒

ζ

(λRe(z) + iIm(z)) = 0, ∀µ 1 Soit :

0 =

ζ(µλRe(z) + iIm(z)) ∀µ 1 .

Donc s = µλRe(z) + iIm(z) est une racine de ζ qui doit vérifier (comme connu) 0 ≤ µλRe(z) ≤ 1 pour tout µ 1, donc Re(z) = 0.

Ce qui prouve que les zéros non triviaux de la fonction zêta ζ de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2.

FIN DE LA PREUVE DE L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN

5 Existence et formes de certains nombres premiers

Théorème 5.1 ∀k ∈ N

, k ≥ 2, ∀n ∈ N

on a :

i- L’intervalle ]n

, (n + 1)

[ contient des nombres premiers.

ii- Etant donnés deux entiers relatifs M et S avec M+S pair, un entier k ≥ 2, alors il existe un entier m(M, S, k) = m assez grand , tels que pour n ≥ m, il existe toujours un premier p de [n

, (n + 1)

], tels que (n + M)

− n

+ S + p est premier.

iii- Soit il existe une infinité de premiers p

de la forme 1 + y

= p

, Soit il existe une infinité de premiers p

de la forme 3 + y

= p

.

iv- Si k 6= 2

∀l ∈ N , alors il existe une infinité de premiers p

de la forme 3 + y

= p

, et si k = 2

∈ N

, alors il existe une infinité de premiers p

de la forme 1 + y

= p

.

Preuve :

Soit k ∈ N

, k ≥ 2.

Supposons que ](n + 1)

, (n + 2)

[ contient des premiers.

Si l’action x → (n +1)

−n

−1+ x envoie le niveau d’énergie n

sur (n +1)

: Soit T

la translation de N −→ N : x 7−→ x + (n + 1)

− n

− 1, où m = (n + 1)

− n

− 1.

Comme ∀n ∈ N

, n

est de niveau d’énergie kE

, alors T

(n

) = n

(au sens de niveau d’énergie), et en résonnant comme dans la preuve de De Polignac, de Goldbach, et du corollaire 3.1, on voit que ]n

, (n + 1)

[ contient des nombres premiers.

Si l’action x → (n + 1)

− n

− 1 + x envoie le niveau d’énergie n

sur n

:

Comme les actions x → (n + 1)

− n

− 1 + x et x → (n + 1)

− n

+ 1 + x sur

la particule n

sont opposées par rapport à (n + 1)

, alors on prend T

la

translation de N −→ N : x 7−→ x + (n + 1)

− n

+ 1, où m = (n + 1)

− n

+ 1 et le résultat s’en déduit.

Si maintenant m = (n + M )

− n

− S, et n assez grand (ceci équivaut à dire que la particule n est lourde ), alors T

(n

) = (n + M )

, et en résonnant comme dans la preuve de De Polignac, de Goldbach, et du corollaire 3.1, on déduit le point ii- (le test sur ordinateur confirme ce résultat pour N = 10

, M = S = 1, .. et k = 2, 3, 4, 5, 6, ... Avec n ≥ 138 si k = 2 et n ≥ 1 si k = 3, 4, 5, 6)

Ce qui prouve i- et ii- Montrons iii-

Soit T = T

la translation de N −→ N : x 7−→ x + 2.

Il est évident que si n est pair, alors T

(n

) = 2ρ(i) où i ∈ N

et ρ est une application continue de N sur N .

Or si E

est le niveau d’énergie de n, et E

celui de 2ρ(i), alors n

est de niveau d’énergie kE

, et on aura :

kT

(E

) = E

. Soit :

kT (T

(E

)) = E

Pour les i tels que 2ρ(i) = p

+ 1 = q

− 1 avec p

et q

premiers, et si y est l’entier (ou la particule ) de niveau d’énergie T

(E

), alors on aura :

1 + y

= p

ou 3 + y

= q

Montrons iv- :

Si k 6= 2

, ∀l ∈ N , alors il existe un premier impair r tel que r|k , et comme 1 + N

= 1 − (−N )

ne peut être un premier, alors le résultat s’en déduit.

Si k = 2

, l ∈ N

, comme ci-dessus on a :

T

(kE

) = E

= E

= E

Et comme on ne peut pas avoir y

= 1+p

, avec p

premier, alors y

= −1+q

. où y est l’entier (ou la particule ) de niveau d’énergie T

(E

), d’où le résultat.

Les résultats iii- et iv- sont testés par le code suivant :

1

2

# i n c l u d e < iostream >

3

# i n c l u d e < g m p x x . h >

4

u s i n g n a m e s p a c e std ;

5

# d e f i n e f a l s e 0

6

# d e f i n e true 1

7

# i n c l u d e < math . h >

8

# i n c l u d e " / usr / l o c a l / i n c l u d e / gmp . h "

9

u n s i g n e d long long int p u i s s a n c e ( u n s i g n e d long long int a ,

10

u n s i g n e d long long int b )

11

{

12

u n s i g n e d long long int i ; u n s i g n e d long long int P = a ;

13

for ( i =1; i < b ; i ++)

14

{ P = P * a ;

15

}

16

r e t u r n P ;

17

}

18

s t a t i c bool I s P r i m e ( u n s i g n e d long long int t )

19

{

20

if ( t < 2) r e t u r n f a l s e ;

21

if ( t < 4) r e t u r n true ;

22

if ( t % 2 == 0) r e t u r n f a l s e ;

23

c o n s t u n s i g n e d long long int iMax = ( int ) sqrt ( t ) + 1;

24

u n s i g n e d long long int i ;

25

for ( i = 3; i <= iMax ; i += 2)

26

if ( t % i == 0)

27

r e t u r n f a l s e ;

28

r e t u r n true ;

29

}

30

31

int main ( int argc , char ** argv )

32

{

33

long long int T = /* valeur enit è re */ ; int k = /* 2 ou ...

*/ ;

34

long long int n ; int b = // 1 ou 3

35

for ( n = 2; n < T ; n ++ ) {

36

// cout < <" n = " < < n < < endl ;

37

if ( I s P r i m e ( b + p u i s s a n c e ( n , k ) ) ) {

38

cout < < " OK pour " << n < < endl ;

39

}

40

}

41

r e t u r n 0;

42

}

6 La conjecture de legendre

Théorème 6.1 (La conjecture de Legendre) Il existe toujours un nombre premier entre n

et (n + 1)

pour tout entier n non nul.

Preuve : Ce Théorème est un cas du Théorème précédent 5.1

7 Utilisation de la conséquence de la preuve de l’Hypothèse de Riemann

Théorème 7.1 ∀α ∈ R

, α ≥ 2 , ∀n ∈ N

assez grand, l’intervalle ]n

, (n+

1)

[ contient des nombres premiers.

Lemme 7.1 On a π(x) =

+ O( √ x ln x)

Preuve : Ceci est connue comme une conséquence de la preuve de l’Hypothèse de Riemann.

Preuve du Théorème 7.1 :

Si α = 2, le résultat est démontré dans le Théorème 5.1 ci-dessus.

Si α 2 :

Du lemme 7.1 ci-dessus, on déduit : π((n + 1)

) − π(n

) =

lnu

− C(n + 1)

ln(n + 1).

Or

≥

=

.

Si ∈ R

avec

−1− 0, et si N

est un entier tel que (N

+1)

= ln(N

+1) alors :

π((n + 1)

) − π(n

) =

− C pour n = N

.

Or ce dernier terme tend vers +∞, donc π((n + 1)

) − π(n

) = 1. pour n = N

.

D’où le Théorème .

Remarque : Pour vérifier le résultat ii- du Théorème 5.1, voici un code en langage C++ que j’ai utilisé pour un test allant jusqu’au N = 10

avec k = 2, 3, 4, 5,.... Ce qui montre l’importance des tech- niques relativistes utilisées :

1

2

/* Code simple é cris et am é lior é par

3

M . Sghiar Le mardi jeudi 4 juin 2009 à 10:47

4

Test é ffectu é jusqu ’ au N = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , et pour k =2 ,3 ,4 ,5 ,6

5

*/

6

//

7

# i n c l u d e < iostream >

8

u s i n g n a m e s p a c e std ;

9

# i n c l u d e < math . h >

10

# i n c l u d e " gmp . h "

11

# d e f i n e k 2

12

# d e f i n e s 1 // s impair sup é rieur ou é gale à 1

13

u n s i g n e d long long int N = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 LLU ;

14

long int m = 9 9 9 9 9 9 0 0 0 LLU ;

15

/* m = n ( k ) = 138 Si k =2. Pour 3 ,4 ,5 ,6 prenez n ( k )

=1 , et

16

pour les autres cas n ( k ) est à d é finir

*/

17

long long int p u i s s a n c e ( long long int a , long long int b )

18

{

19

long long int i ; long long int P = a ;

20

for ( i =1; i < b ; i ++)

21

{ P = P * a ;

22

}

23

r e t u r n P ;

24

}

25

s t a t i c bool I s P r i m e ( u n s i g n e d int t )

26

{

27

if ( t < 2) r e t u r n f a l s e ;

28

if ( t < 4) r e t u r n true ;

29

if ( t % 2 == 0) r e t u r n f a l s e ;

30

c o n s t u n s i g n e d int iMax = ( int ) sqrt ( t ) + 1;

31

u n s i g n e d int i ;

32

for ( i = 3; i <= iMax ; i += 2)

33

if ( t % i == 0)

34

r e t u r n f a l s e ;

35

r e t u r n true ;

36

}

37

u n s i g n e d long long int test ( u n s i g n e d long int m , u n s i g n e d long long int T )

38

{

39

u n s i g n e d long int n =3; u n s i g n e d long int p

=5 ;

40

for ( n = m ; p u i s s a n c e ( n , k ) < T ; n ++ ) {

41

for ( p = p u i s s a n c e ( n , k ) ; p < T ; p ++ ) {

42

if ( I s P r i m e ( p ) )

43

{

44

if ( p u i s s a n c e ( n , k ) < T && p <

p u i s s a n c e ( n +1 , k ) &&

45

I s P r i m e ( p u i s s a n c e ( n +1 , k ) - p u i s s a n c e ( n , k ) - s + p ) ) {

46

cout < < " OK pour " <<n < < " v o i c i des e x e m p l e s " <<p < < " , " <<

47

p u i s s a n c e ( n +1 , k ) - p u i s s a n c e ( n , k ) - s + p <<

endl ;

48

n ++;

49

p = p u i s s a n c e ( n , k ) ;

50

}

51

}

52

}

53

cout < < " The End " << endl ;

54

b r e a k ;

55

}

56

}

57

58

int main ( int argc , char * argv [])

59

{

60

test ( m , N ) ;

61

r e t u r n 0;

62

}

8 Meilleur localisation des nombres premiers

Théorème 8.1 (Meilleur localisation des nombres premiers) Si m est un entier pair, et k un entier ≥ 2, alors il existe un entier N(m,k), tel que

∀n ≥ N (m, k), il existe un premier p ∈ [n

, (n + 1)

− m] tel que m+p est premier.

Preuve : D’abord du i- du Théorème 3.1, l’intervalle ]n

, (n + 1)

[ contient des nombres premiers.

Si T

est l’action sur les niveaux d’énergies, en raisonnant comme précé-

demment, sachant que T

(n

) = n

au sens de niveaux d’énergie, on aura :

T

(n

) = n

si n est assez grand (particule lourde) et T

((n + 1)

− m) =

(n + 1)

. Le résultat s’en déduit.

9 Existence et localisation des premiers ju- meaux

Théorème 9.1 (Existence et localisation des premiers jumeaux) Pour n assez grand, il existe toujours un couple de nombres premiers jumeaux contenus dans [n

, (n + 1)

]

Preuve :

Ce Théorème est un corollaire du Théorème 8.1 en prenant m = 2.