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Bijection de Cantor et Conjecture de Goldbach

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Bijection de Cantor et Conjecture de Goldbach

Denise Vella-Chemla 24 janvier 2013

La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre pairnplus grand que 2 est la somme de deux nombres premiers.

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Cantor a exhib´e une bijection deN×NdansN.

Un argument similaire permet de mettre en bijection l’ensemble des sommes de deux nombres premiers et l’ensemble des entiers naturels, comme visualis´e sur le graphique ci-dessus.

On peut ´egalement mettre en bijection l’ensemble des d´ecompositions de Goldbach de la forme 3 +pj, avecpjpremier impair avecNou bien avec l’ensemble des d´ecompositions de Goldbach de la formepi+ 7, avecpi premier impair.

On peut aussi en proc´edant `a un double comptage par ligne ou par colonne mettre en bijection un ensemble tel que{3 + 3,3 + 5,3 + 7,5 + 5,5 + 7,7 + 7} avec lui-mˆeme selon la bijection suivante, par exemple :

3 + 37→3 + 7 3 + 57→5 + 7 3 + 77→7 + 7 5 + 57→3 + 5 5 + 77→5 + 5 7 + 77→3 + 3

Mais cela ne semble pas permettre d’aboutir `a quoi que ce soit au sujet de la conjecture de Golbach.

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