Les problèmes relatifs à la rotation dans la théorie de la relativité

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Les problèmes relatifs à la rotation dans la théorie de la

relativité

André Metz

To cite this version:

EXPOSES

ET MISES

AU POINT

_{BIBLIOGRAPHIQUES}

LES

PROBLÈMES

RELATIFS

A LA

ROTATION DANS

LA

THÉORIE

DE LA

RELATIVITÉ

Par ANDRÉ METZ.

Sommaire.. - Les

problèmes

de rotation n’ont pas fait

jusqu’ici,

du

_point

de vue _relativiste,

_l’objet

d’études d’ensemble détaillées; ils ont seulement été abordés ou traités partiellement dans des Mémoires ou des Notes (qui

pouvaient

présenter tous les défauts de

l’improvisation)

à propos

d’expé-riences effectivement faites, ou de dispositifs

proposés

à titre de _questions

_théoriques.

Le présent article vise à combler cette lacune.

Ces

problèmes

exigent, en _{Relativité, l’emploi} des notions connues de _{temps propre} et de longueur propre et, en _outre, de la notion de

_temps

d’un solide le

long

d’une courbe décrite sur ce _{solide, temps}

qui

dépend de cette courbe et de la manière dont elle est décrite.

Le problème des deux mobiles circulant en sens inverse sur le pourtour d’un

_disque

est d’abord traité de manière rigoureuse, à titre de

_premier

_exemple fixant les ordres de grandeur des effets à observer et les

_{possibilités}

de résultats « cruciaux entre la théorie de la Relativité et la

_Mécanique

classique.

Les _expériences effectuées

_jusqu’ici

sont ensuite examinées en détail : d’abord la _plus

_simple,

celle de Sagnac, où deux rayons lumineux décrivant en sens inverse

_{(dans l’air)}

un circuit

_polygonal

entraîné par un

_disque

_mobile, se

_rejoignent

et forment des interférences;

puis l’expérience

de _Harress, où un circuit du même genre est décrit par la lumière dans des

prismes réfringents;

enfin, celles de Dufour et Prunier

_qui,

_partant du

_dispositif

de _Sagnac, en varient les conditions de

_plusieurs

manières

et notamment en introduisant des parcours dans des milieux

réfringents

fixes, ou en combinant des portions de trajet fixes avec des

portions

entraînées avec le

_disque.

Toutes ces

_expériences

mettent en évidence des effets du «

_premier

ordre » en

v/c.

Elles ont

géné-ralement été considérées d’abord par leurs auteurs comme _{des preuves de la théorie de l’éther.}

En réalité, elles sont

_{interprétées}

aussi bien dans la Théorie de la Relativité, et sans aucune

hypo-thèse auxiliaire

(comme

celle de l’ « entraînement partiel de l’éther par la matière

réfringente

», suivant la formule de

_Fresnel).

Les démonstrations données ci-dessous sont presque toutes

originales; plusieurs

d’entre elles sont inédites.

JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.

_13,

1952,

1. L’extension aux mouvements de rotation de la « Relativite restreinte )). - Les

probl6mes

concernant les mouvements non

_rectilignes

ne sont pas examines dans la Relaiivité restreinte

_proprement

dite : ils constituent une «

_{généralisation}

» de cette

th6orie,

qui

necessite des considerations

particuli6res

et forme transition avec la Relativité

_gineralisie.

C’est,

en

effet,

apres

avoir 6tabli que la

géométrie

d’un

_disque

en rotation n’est pas euclidienne pour des observateurs entrain6s avec le

disque -

c’est le

«

_paradoxe

d’Ehrenfest )) -

qu’Einstein

a 6tendu ce

résultat,

en vertu du «

_{principe d’equivalence}

_», au cas

des

_champs

de

_{gravitation [1].}

11 convient d’insister sur la

_{signification}

de ce

«

_paradoxe

» et sur le

_{probl6me general}

du

_disque

tournant,

avant de

_pouvoir

r6soudre les

_questions

posées

a la

_sagacit6

des

_physiciens

au

_sujet

des corps en rotation _{par des}

_experiences

r6elles ou fictives et par des discussions

_qui

n’ont

_guère

cess6

_depuis

une

trentaine d’annees.

Ces

_questions

_ont,

_jusqu’ici,

ete

trait6es,

au

_point

de vue

relativiste,

assez

_rapidement,

par des savants surtout

_préoccupés

d’aller de 1’avant et

_qui

laissaient

parfois

dans 1’ombre des

_points

delicats. Le moment semble venu d’introduire le maximum de clart6 et de

rigueur

dans un domaine

_{jusqu’ici quelque}

_peu

négligé

a cet

_6gard.

Les formules de la Relativite restreinte ont ete 6tablies en

_supposant

des mouvements de translation uniforme. Elles

_peuvent

etre étendues aux cas des mouvements varies

_(dont

font

_partie

les mouvements de

_rotation)

a condition de diviser ces mouvements

en elements

_{spatio-temporels correspondant}

a des distances infiniment

_petites

et des

_temps

infiniment

courts,

auxquels

on

_applique

les formules de Lorentz et en faisant ensuite des sommations des resultats obtenus.

Rappelons

que l’on

appelle longueur

propre d’un

element lin6aire faisant

_partie

d’un solide la

_longueur

telle

_qu’elle

est mesurée par un observateur

_operant

avec des

_{regles gradu6es}

immobiles _par

_rapport

a ce solide.

D’une

_facon

_analogue,

on

_{appelle temps}

_{propre d’un}

mobile Ie

_temps

tel

_qu’il

est _{mesure par} une

_horloge

parfaite

entrain6e avec ce mobile. C’est

_{l’int6grale}

des

_temps

616mentaires

_{correspondant}

aux

mouve-ments successifs de ce mobile.

On sait que, dans le cas d’un

mobile,

1’ « intervalle

d’univers n ds est

_6gal

a

c dt, t

6tant l’intervalle de

temps correspondant

dans un

_syst6me

de reference lie au mobile. Sur un _parcours

_determine,

c’est-a-dire _que le

_temps

_{propre est}

_6gal

a 1’arc de

«

_ligne

d’univers >> diyisé _{par la vitesse de la} lumiere.

2. Le

probleme

general

du

_disque

en

rota-tion

_[2].

- Consid6rons

un

_disque

D en rotation _par

rapport

a un

systeme

de Galilee S et soit v sa vitesse

circonférentielle. Un observateur entraine av ec D

dispose

de

_règles

_jradu6es

tres courtes _par

_rapport

au diametre du cercle : en nzettant ces

_règles

bout à bout

le

long

du

pourtour

du

disque,

il le recouvre enti6-rement au moyen de l’

regles

de

_longueur

unite. Si un observateur de S fait de cette

figure

une

_photographie

instantanee

(par rapport

a

_S),

il

trouve,

pour la

longueur

totale,

la valeur 2;: r. Mais en faisant cette

operation,

il a attribue h chacune des

petites

règles

la

longueur

« contractee »

t/

- v2 .

Done

C2

On a admis

_{implicitement,}

dans ce

_{raisonnement,}

que le

disque

etait

_plein

et sans fissure a la vitesse consideree. _{Le resultat obtenu montre que} si un

_disque

de rayon constant passe de l’immobilit6 a la rotation dans un

_système

de Galilee en restant sans

fissure,

il

_{f aut}

_que sa

_{circonférence}

_s’atlonge

_(mesurée

en

«

_longueur

_propre

_»)

_et

_si,

au

_contraire,

on

_assujettit

chacun des elements du

_pourtour

du

_disque

a

_garder,

malgre

le

mouvement,

la meme

_longueur

propre,

tt

_taut

_{que le disque}

_craque.

Cette derniere assertion est rendue

plus

6vidente encore _{par les considerations suivantes : Soit} une voie

circulaire de

_grand

_rayon, sur

_laquelle

se trouvent un

grand

nombre n de _wagons de

longueur unite,

attaches

ensemble,

sauf le nième

_qui

_{n’est pas attach6} au

premier,

de sorte

qu’ils

forment une chaine circulaire

ouverte.

_{Supposons qu’au}

repos, le nième touche le

premier.

Mettons le train en marche instantanément

a la vitesse v sans

_changement

de

_longueur

_propre

_{(1) :}

cela veut dire _{que le}

_premier

et le deuxieme wagon se mettent en mouvement simultan6ment par

rapport

au

_premier

_wagon

ayant

la vitesse v ; que le troisi6me

se met en mouvement simultanémenl avec le

_deuxieme,

(1)

Cela

_exige

_{que tous les wagons soient automoteurs} et

soient mis en marche suivant un programme pr66tabli, car

le mouvement ne _peut se _{transmettre d’un wagon a} un autre

instantanemenf si l’on compte uniquement sur des vehicules

(locomotive,

ou voitures

motrices)

pour entrainer les autres. En outre, cela

exige

que tous les wagons soient munis d’un

dispositif

compensateur de longueur que l’on fait fonctionner

suivant un programme

pr66tabli,

autrement les wagons ne

pourraient

garder

leur longueur propre pendant la mise en

marche (celle-ci ne _pouvant se faire instantanément d’une extremite a I’autre),

A noter que le wagon que nous appelons le « _premier » (il est effectivement le premier mis en _{marche pour le}

_systeme

de reference de la voie) est, dans le sens de la marche, à

l’arrière du train. En termes ferroviaires, c’est le wagon de queue (et non _{le wagon de tete)} et tout se _{passe, pour la voie,} comme si la rame etait _refoulée, avee compression des voitures r6duisant la _longueur totale du train.

Mais on doit insister sur _{le fait que} c’est l’exécution du programme (horaire établi et execute a une fraction infini-t6simale de seconde _{pros) qui,} aid6e par la manceuvre des dispositifs compensateurs, produit ce resultat et non l’action des _{attelages, qui pourraient} etre supposes inexistants.

par

rapport

a celui-ci

_{ayant acquis}

la vitesse v,

etc.,

jusqu’au

nieme.

On voit alors

_qu’il

se

_produit

un intervalle entre

le nieme. et le

_premier.

En

effet,

le

_phenomene,

vu de la

v oie,

produit

la memo

_impression

_{que dans le} cas d’un train en marche

instantanélment à une vitesse v sur une voie

_rectiligne

et sans

_changer

de

_longueur

_propre

_{(l’instantanéité}

6tant r6alis6e par

rapport

au train a la vitesse

_{v) (2)}

pour le

systeme

de référence de la

_voie,

le mouvement

parait

se _propager de Farriere du train vers 1’avant

-

en meme

_temps

_que se

_produit

la contraction

lorentzienne sur

_chaque

_{wagon 2013} de sorte que le

wagon de queue est

deja parti depuis

un certain

temps

au moment OÙ

_(par

_rapport

à la

_voie)

le _wacfon de tête

se met en marche. A

_partir

de

_la,

la

longueur

du

Fig.

I.

train,

mesuree par

rapport

a la

voic,

reste constante si la vitesse v reste la meme.

Cet intervalle

_est,

mesure par

rapport

a la

_voie,

mesure en unites entraînées avec le

_train,

il est

Pour reventr au cas du

disque

tournant,

retenons le

_rapport

de la circonférence au _rayon

_qui,

mesure

par des observateurs entrain6s avec le

_disque,

est

On en a

_parfois

deduit que le rayon devrait se

contracter. 11 en serait

ainsi,

en

_effet,

dans le cas d’une roue _{dont les rayons seraient}

_61astiques

ou

(2)

La constance de la _{longueur propre} est _{obtenue par les}

memes artifices que dans la Note precedente. Le mouvement

parait se propager de l’arriere vers l’avant avee la

vitesse c

v

pour les observateurs de la voie.

Ilne difterence importante existe entre le cas de la voie circulaire et celui de la voile rectiligne : dans ce dernier _cas, les wagons partent eiisenible pour un

_système

de Galil6e

plastiques,

c’est-a-dire

_susceptibles

d’extension et de

contraction,

tandis que la

jante,

au

_contraire,

serait

extr6mement

_{rigide, poss6dant}

une cohesion

_parfaite

et une

_aptitude

a conserver ou a

_{reprendre toujours}

et,

malgr6

tout,

la meme

_longueur

propre.

Mats,

lors meme que ces conditions _seraient suppo-s6es

_r6alis6es,

il faudrait consid6rer cette contraction

s6par6ment,

avant de traiter le

probleme

par les formules de la Relativite

_(de

meme si l’on voulait tenir

compte

d’une extension

_m6canique

_due,

_par

exemple,

a la force

_centrifuge).

En

effet,

ces formules

_stipulent

que les éléments

perpendiculaires

au mouvement restent inalt6r6s.

Si le rayon est constant et si la cohesion de la

matiere du

_{disque l’empêche}

de se

fissurer,

il y a,

pour tous les elements de cette

matiere,

du fait de la

rotation,

une contrainte dont 1’effet est une extension . de

_longueur

propre dans le sens

_{perpendiculaire}

au

rayon, dans la

proportion

_{- - ) v}

6tant la vitesse

/ V2

t/’I--

c2

de 1’element considere.

3.

_{Remarques generales}

au

_sujet

_des

pro-blemes de rotation. - On

_peut

tirer des

conside-rations

_{qui precedent}

_{les remarques suivantes :} a. D’une

_{façon g6n6rale,}

un solide ne

_peut

conserver une

_{parfaite rigidite}

dans des mouvements

_varies,

selon la theorie de la Relativite. C’est

_pourquoi

les

problemes qui

font intervenir ces mouvements doivent

comporter,

dans leurs

_6nonc6s,

des

_details,

notam-ment au

_sujet

des

coh6sions,

des

_{rigidités impos6es,}

des contractions ou extensions

_permises,

details

_qui

n’etaient pas

exig6s

dans la

_M6canique

rationnelle

classique.

b. Les « extensions » et « contractions » des

lon-gueurs et des

_dur6es,

_qui

sont toutes « relatives » et

parfaitement r6ciproques

tant

_qu’il

est

_question

de translations

_{uniformes, prennent,}

dans certains cas

de mouvements

varies,

une realite

_indeniable,

se tra-duisant notamment par des diff6rences de

longueurs

ou des

_d6r6glages

_temporels

lors de rencontres

_(qui

sont des « coincidences

_{spatiotemporelles}

», done des

réalités ind6niables dont doit tenir

_compte

toute

théorie).

On sait

_{depuis longtemps}

_{que les mouvements}

varies

_peuvent

etre mis en _{evidence par des}

pheno-m6nes

_physiques

mesurables a l’int6rieur meme des

systemes

en mouvement

_(par

_exemple,

les effets de

la « force

_{centrifuge »}

_{pour les}

_rotations),

et la célèbre

experience

du

_pendule

de Foucault a _{montre que 1’on}

pouvait

ainsi mettre en evidence la rotation de la terre. La theorie de la Relativite

amrme,

en

_outre,

que des

dicalages

spatiaux

et

_{temporels peuvent}

être

lies a des mouvements varies

et,

en

_particulier,

a des rotations.

c. Une des

_plus

_grandes

difficultés des solutions des

problèmes

de rotation est

_{1’impossibilite}

de définir

un

_{temps univoque}

et

coherent,

au _moyen

_d’horloges

li6es au _corps en rotation considere

_[1].

Certes,

chaque point

de ce _{corps - disons : du}

«

_{disque »}

-

a son

_temps

_propre. D’autre

part,

tout mobile

_qui

parcourt

un

trajet

par

rapport

au

_disque

a

_egalement

son

_temps

_propre.

Mais on

_peut

définir aussi

_(et

c’est encore une notion

différente)

un

_temps

du

_disque,

le

_long

de ce

_trajet.

En

effet,

le mobile a, a

_{chaque instant,}

une certaine

position

par

rapport

au

_{disque; pendant}

un intervalle

de

_temps

élémentaire

_(d6fini

_par

_rapport

au

_{sy steme}

de

_Galilée),

il

_parcourt

une distance infiniment

_petite

et nous _pouvons

_appliquer

les formules de transfor-mation de Lorentz a ce mouvement. On trouve ainsi un

_temps

elementaire du

_disque

_(en

meme

_temps

qu’une

distance sur ce

_disque

et une vitesse par

rapport

au

_{disque) (3)}

et en faisant une

sommation,

on

_peut

définir le

_temps

le

_long

du

_trajet.

Ce

_temps

_depend,

en

_general,

non seulement du

_trajet

_parcouru, mais encore de la

_façon

dont il est parcouru

(nous

en avons vu un

_exemple

a _propos des wagons sur la voie

circu-laire).

4. Méthodes de resolution des

_{probl&mes.}

-Possibilités de

_différences

entre la thiorie

_classiqlie

et la

Relativité. - Un certain nombre de

_problemes

ont

ete

_poses

concernant des

_disques

tournants a la suite

d’experiences

effectivement

_faites,

ou

_projetees,

ou

simplement

envisag6es.

Toutes ces

_experiences

avaient d’abord ete consid6r6es par leurs auteurs comme

cru-ciales entre la Relativite et la theorie «

_classique

»

(th6orie

de

_l’éther,

avec

_application

de la

_Gin6matique

classique).

Toutes concernent des mouvements de mobiles ou

des

_propagations

d’ondes,

qui

ont lieu sur des

_disques

animes de mouvements de rotation.

Les

_{probl6mes correspondants peuvent}

etre tralt6s par

plusieurs

m6thodes :

10 Les raisonnements et les calculs ont lieu dans le

syst6me

de reference de Galilee

initial,

celui du

labo-ratoire.

Cette methode a

_1’avantage

d’utiliser

_toujours

un

temps

univoque

et

coherent ;

mais elle

peut,

dans

certains _cas, suivant les donn6es du

_{probl6me pose,}

se révéler

_inapplicable

ou donner lieu A des

compli-cations telles

_qu’il

devient

_preferable

d’en

_employer

une autre.

2° Les raisonnements et les calculs ont lieu en consid6rant des elements du

_disque,

que l’on

prend

successivement comme reference. On est alors conduit a introduire le «

_temps

du

_disque

le

_long

d’un

_trajet

_»,

defini ci-dessus

_{( § 3, c).}

Cette

m6thode,

qui s’impose

pour certains

pro-bl6mes,

est

_plus

delicate en raison de la necessite de

(3) Certains auteurs ont

introduit

des « vitesses _{par rapport}

au disque » consid6r6es dans des

systèmes

de reference (ou

« vues par des observateurs »)

qui

ne _participent pas au

mouvement du _disque. Ces « vitesses n _{s’obtiennent par}

addi-tion ou soustraction (sans tenir _compte de la formule de

composition) des vitesses considérées : vitesse du mobile (ou de la propagation envisagee) par rapport au _systeme de

reference en

_question

et vitesse du _point du disque

corres-pondant,

toujours par rapport au meme syst6me de

r6f6-rence. C’est ainsi que 1’on peut avoir, dans certains cas, une

propagation de la lumière « anisotrope » et meme une vitesse

de la lumiere plus grande que c.

manier des

_temps

differents les uns des autres et dont

certains

peuvent

etre des resultats

_{d’intégrations}

de

caractère peu commun.

Ces deux m6thodes sont les

_{principales qui}

aient 6t6

employees jusqu’ici

pour les

probl6mes

en

_question.

Bien

entendu,

rien

_n’empeche

d’en

_employer

d’autres et notamment de choisir d’autres

systemes

de

r6f6-rence, ou _{de passer d’une methode} a une autre au cours du meme

_probl6me.

Certains auteurs ont

_publi6,

a _propos

_{d’experiences}

celebres,

des raisonnements et des calculs tenant

compte

du

_temps

du

_systeme

du laboratoire et de

coordonn6es

_d’espace

mesur6es sur _{le corps} en

mouve-ment,

d’ailleurs sans tenir

_compte

du radical

_i

- -

c2

correspondant

a la « contraction »

[3], (3). C’est

Ih

proprement

raisonner dans la theorie de 1’ether et les

resultats _{obtenus par} cette « troisi6me methode »

ne

_peuvent

etre donn6s comme conformes a la

Rela-tivit6

_qu’avec

les

_{justifications}

n6cessaires.

Quelle

que soit la m6thode

employee,

une diff

6-rence entre les resultats

_pr6vus

par la Relativite et par la theorie

_classique

ne

_peut

_provenir

_{que des}

formules

de

_{transformation}

d’un

_système

de r6f6rence

a un

_autre,

formules _{utilis6es pour} les calculs

_partant

de donn6es

(positions,

temps,

vitesses)

evaluees dans

un

_syst6me

et aboutissant a des elements évalués par

rapport

h un autre

_système.

Aucune difference n’est donc

_possible

si tout

- donn6es et resultats - _se calcule dans le meme

systeme

(nous

verrons

_plus

_{loin que c’est le} cas _pour

certaines

_{experiences).}

11 faut d’ailleurs _{remarquer que} si les

_propagations

en cause sont des

_propagations

de lumiere dans le

vide ou dans

1’air,

les

_applications

des deux

theories,

tout en demandant des calculs

_{qui peuvent}

etre

diff6-rents,

sont forcement

_iquivalentes

au

_premier

ordre

(par

rapport

a la vitesse du

_disque).

Si done on ne

peut

pas pousser tres loin la

_{precision exp6rimentale}

(comme

cela a ete le cas

_jusqu’ici

_{pour toutes les}

experiences

concernant des

_rotations),

elles aboutissent aux memes resultats observables.

Ceci est d’ailleurs

_general,

_quel

_{que soit le corps} considere

(qui

n’est pas forcement un

_disque)

et son

mouvement

_(qui

_{n’est pas} forcement une

_rotation).

En

effet,

si

_d’apr6s

la theorie

_classique

une onde

lumineuse

parvient,

au

_temps

_origine,

en un

_point

M de ce _corps et si nous choisissons des coordonn6es

telles que l’axe des x soit dans la direction de la vitesse v du

_point

_M,

la vitesse de cette onde est un

vecteur

_qui

a _pour

_grandeur

c _{et pour}

_projections

_c;r,

c,., cz. Sa vitesse par

rapport

au _corps considere

(toujours

dans la theorie

_classique)

a _pour compo-santes cx - v, c , cz; sa

_grandeur

n’est

_plus

c, mais celle de la « resultante » des deux vecteurs vitesse

(de grandeurs

c et

_v).

Au bout du

_temps

élémen-taire

_dt,

la meme onde arrivera au

_point

dont les

coordonn6es,

par

rapport

au _corps en

_mouvement,

sont

D’apres

la

Relativite,

au bout du meme

_temps

df

dn

_{système galil6eii}

du

laboratoire,

cette onde

arri-(3) Voir plus loin _(chap.

_VIII)

_{a propos de}

_{l’interprétation}

de _{1’experience} de _Sagnac.

vera au

_point

dont les

coordonn6es,

par

rapport

au corps

considere,

sont

le

_temps

est note de

_fapon

differente

et l’o n a

c’est-A-dire que la vitesse de la lumiere a _pour

gran-deur c _par

_rapport

au _corps considere

_(meme

gran-deur que dans le

systeme

de

_Galilée).

Si nous comparons ces résuItats a ceux de la theorie

_classique,

nous voyons que, par

rapport

au

corps en

_mouvement,

la vitesse de la lumière et le

temps

ont des valeurs tres differentes dans les deux theories. Mais le

_point

ou arrive la lumiere est le meme et est note de la meme

_façon

au

_point

de vue des coordonn6es

2,?

d’espace,

si l’on

_n6glige

le terme du second ordre

( c2

c-qui correspond

a la « contraction de Lorentz ».

Ce sont

_donc,

au

_premier

_ordre,

les mimes evene-ments

_qui

sont notes dans la theorie de 1’ether avec

le

_{temps t}

« universel » et la vitesse dela lumiere

modi-fi6e

_{(« compos6e}

» avec la vitesse du corps suivant la

regle classique)

et dans la theorie relativiste avec le

temps f’

du

_syst6me

de reference entraine par ce

corps et la vitesse de la lumi6re « _invariante ».

Une sommation de resultats 616mentaires de ce genre le

_long

d’un

trajet

ne

_peut

rien

_changer

dans

1’ensemble.

Finalement,

les memes effets sont

_pr6vus

sur le corps en

_mouvement,

en ce

_qui

concerne la lumiere

dans le vide ou dans l’air -

toujours

au

_premier

ordre - par les deux

_theories,

mais ils sont attribués

par la theorie

classique

aux differences des vitesses

de la lumi6re et _{par la theorie de la Relativite a} la

modification du

_temps

lui-meme.

Cette convergence des resultats des deux theories ne

_{s’applique qu’a}

la vitesse c.

Elle n’est

_{deja plus}

valable pour les vitesses de la

lumi6re dans les corps

r6fringents,

qui

sont nettement

plus petites

que c. La theorie

_classique

doit alors faire

_appel

a

_{l’hypothèse}

de I’ « entrainement

_{partiel »}

de Fether

₍₅₎

pour

expliquer

les

_phenomenes

observes

dans ces _corps.

_Moyennant

cette

_hypothese

auxiliaire,

la convergence est r6tablie.

11

_n’y

aurait aucune _convergence pour des vitesses de

_mobiles,

ou des

_{propagations, différentes}

de la

lumière,

et des

_exp6riences

faites sur cette base

(5)

Rappelons

que cette

hypothèse,

emise par Fresnel a la suite

d’exp6riences

d’Arago, etait deja une introduction partielle de la Relativité, car elle consistait essentiellement à

16galiser

rimpossibilite constatee de mettre en evidence le

« _{vent d’éther par} des _experiences du _premier ordre sur les corps r6fringeiits.

pourraient

etre cruciales si elles

_pouvaient

etre montees de

_façon

a donner des resultats accessibles aux mesures de laboratoire.

5. Cas des mobiles circulant sur la

circon-férence du

_{disque. -}

On

_peut

consid6rer comme

probleme typique

de ce _genre celui

_qui

a ete

_pose

par F. Prunier

[4] :

deux

_{mobiles, partant}

d’un meme

point

0’ sont

supposes

circuler en sens inverse sur le

pourtour

d’un

disque,

a des vitesses

_6gales

par

rapport

a ce

_disque.

Si _{celui-ci est immobile par}

_{rapport a}

un

_systeme

de

Galilée,

les rencontres successives des mobiles ont

_toujours

lieu en ce meme

_point

0’ du

disque (et

au

_point

de la circonference diamétralement

oppose).

Si le

_disque

est anime d’un mouvement de rotation

autour de son

_centre,

les rencontres ont

_toujours

lieu

au meme

_point

0’ du

_{disque d’apr6s}

la

_Cin6matique

classique.

D’apres

la theorie de la

Relativité,

ils se

rencontrent,

apres

un tour

chacun,

en un

_point

_0’1

différent de

_0’,

_puis,

_apres

deux

_tours,

en un autre

point

0’2

different de

_0/1,

etc.

P.

_Langevin

a donne 1’essentiel de la theorie

rela-tiviste de ce

_{probl6me [5]}

et le calcul

_approximatif

du retard d’un des mobiles sur l’autre.

Cette theorie

_peut

etre faite en se

_p1açant

dans le

systeme

de

Galilee,

c’est-a-dire en

_appliquant

la

« première

m6thode »

_{(§ 4)}

_[6].

A noter

_qu’il

ne

_s’agit

pas de

propagation

lumineuse et l’ordre de

_grandeur

de la vitesse des mobiles _{n’est pas donne} a

_priori.

11 y a donc lieu d’6tre extrêmement

_prudent

dans les

«

_{approximations »}

_quelles

_qu’elles

soient. La methode

employee

permet

ici un calcul tout a fait

rigoureux.

Soit 0 le

_point

de

_depart

des mobiles dans ce sys-teme : 0’

_coincide,

a

_l’origine

des

_temps,

avec

_0;

il se meut ensuite avec une vitesse u

₍

vitesse circon-ferentielle du

_disque)

par

rapport

au

_point

0. Soit v’

la vitesse du

_premier

mobile

_M1

_par

_rapport

au

disque.

Ce mobile a, par

rapport

au

_systeme

de

Galilee,

la vitesse

Le second mobile

_M2

a, par

rapport

au

_disque,

la vitesse - v’

_et,

_par

_rapport

au

_syst6me

de

Galilee,

la vitesse

11 v aura une nouvelle rencontre des mobiles

_lorsque

la

difference

_{des parcours des deux mobiles}

_sera

ou

_21,

ou

_3I,

etc.

_(I

etant la

_longueur

de la

circon-ference.

La différence I

_correspond

a la

_premiere

_rencontre,

au

_voisinage

du

_point

diametralcment

_oppose

a 0’. La différence 21

_correspond

au

_point

_0’i.

Cette rencontre aura lieu au

_temps

t du

_syststeme

S,

tel que

c’est-a-dire

Apres simplifications

et resolution par

rapport a f,

on trouve

Le mobile

_M1

a _parcouru

_alors,

au

_total,

le chemin

_vi

t dans le

_systeme

S;

le mobile

_M2

a _parcouru

_{VI t -}

2l. Leur

_point

de rencontre

_0B

est done a la distance

de 0

_(mesurée

le

_long

de la

_{circonference)}

_vlt,

ou

_vlt

-

1,

ou vlt

-

21,

etc. et _sa distance _au

point

0’

_(dont

la distance au

_point

0 est

_ut)

est

C’est 6videmment la seconde

_qui

donne la valeur

absolue la

_plus

faible. Soit

Le calcul

donne,

apres simplifications,

Cette formule

_appelle

_{les remarques} suivantes : Si u

_(vitesse

circonférentielle du

_disque)

_peut

etre

regard6e

comme très

_petite

_par

_rapport

a c et si v’

(vitesse

des mobiles sur Ie

_disque)

est

_6galement

Ms

petite,

1’effet est du second ordre.

11 n’en est pas de meme

si,

dans des

_experiences

analogues,

on

_remplace

les _{mobiles par} des effets de

propagation

dont la celerite est de 1’ordre de la

vitesse de la lumiere.

Mais,

comme on 1’a vu, dans le cas de la lumiere

elle-meme,

les

_experiences

ne sont _{pas cruciales}

_(5).

D’autre

_part,

il est tres difficile de r6aliser des mouvements tres

_rapides

avec des mobiles matériels

proprement

dits. On se trouve alors dans le dilemme suivant : ou bien

_(cas

de la

_lumi6re)

les

_experiences

sont moins

intéressantes,

ou bien

_(cas

des mobiles

materiels)

la vitesse v’ est tres

_petite

vis-h-vis de c

et 1’effet est du second

ordre,

donc tres difficilement observable.

M. Prunier a 6tud!6 diff6rents

projets

visant a

remplacer

les _{mobiles par} des

_propagations

de courants

6lectriques

ou _{par des}

_propagations

d’ultrasons sur

. Ie

pourtour

d’un

disque

tournant a tres

grande

vitesse.

La mise au

_point

de ces

_experiences

suscite de _grosses difficult6s. Il serait

grandement

desirable que ces

difficultes

_puissent

etr e

surmont6es,

pour que l’on

puisse

disposer

du

_{t6moignage d’experiences}

propre-ment

_cin6matiques

et ne

_dependant

_{pas de la} lumiere. (5) Comme on ne _{peut pas} faire

parcourir

a la lumi6re une

circonférence, on _{remplace cene-ci par} un _trajet

_polygonal

(c’est Ie cas des experiences d6crites plus loin), mais les

6. Le

_probl6me

des

_disques

avec _engrenages.

2013 Alexandre Dufour avait

imagine

un

dispositif qui

devait,

dans sa

_pensee,

etre

equivalent

a celui du

disque

avec deux mobiles circulant en sens inverse

_[7],

[8], [91 :

Un

_disque

horizontal D

_porte

et entraine avec lui

un moteur

_qui

fait tourner d’un mouvement

uniforme,

autour d’un axe horizontal

_(fixe

_par

_rapport

a

_D),

un

_pignon

dent6 E. Celui-ci

_engr6ne

avec deux

couronnes dent6es horizontales entre

_lesquelles

il est

place

et

_qui

sont solidaires de deux

_disques

_Dl

et

_D2

mobiles autour du meme axe _{que le}

_plateau

D. A. Dufour

_pensait

r6allser ainsi

_1’egalite

des

vitesses,

par

rapport

au

_plateau

D,

des éléments des

_pourtours

des deux

_disques

_Dl

et

_D2.

P.

_Langevin

a montré

_qu’il

n’en etait rien

_d’apres

la

_Cin6matique

relativiste

[10].

En

_effet,

les

_disques

6tant

_supposes

sans fissures a leurs

vitesses

respec-tives,

il faut

_qu’ils

subissent les extensions

_pr6vues

plus

haut : les elements du

_pourtour

du

_{disque Dl}

Fig.

3.

subissent

done,

en

longueur

propre, une extension

dans la

_proportion

V;

ceux du

_disque

_D2

dans

/

vï 1--c2 la

_proportion

V2 2

_{1 -}

_C2

%

C2

En raison de _{1’existence des engrenages,}

_chaque

fois que

Di

avance d’une dent sur le

_pignon

_{E, D2}

recule

d’une

dent,

c’est-a-dire d’une meme fraction de

cir-conf6rence. Au bout de n

_operations

de ce _genre

(n

6tant le nombre de dents de

_chaque

_couronne),

les dents

_{primitivement}

en contact avec le

_pignon

reviennent done au contact. Les rencontres succes-sives de

_points

_{tels que}

_M,

et

_M2

_marquees

respec-tivement sur les couronnes

_D,

et

_D2

doivent donc

toujours

se faire au-dessus des memes

_points

de D

_(7).

(7)

Que deviennent les dimensions propres des elements du

pignon

E ? Le

_pignon

est une

_petite

roue dent6e _qui, elle aussi, doit rester sans fissures

pendant

le mouvement.

Or, ses elements inf6rieurs ont, par rapport au

_svst6me

de GaIll6e, la vitesse v1; ses elements sup6rieurs, la vitesse

V2-L’intégrité

de cette petite roue dentee est 6videmment

sauve-gardee si tout se passe normalement pour les observateurs du système de Galilée, c’est-h-dire si les 616ments inférieurs sont,

en

_longueur

propre, 6tendus dans la

proportion I : V 1- ’*

et

les elements

superieurs,

dans la

proportion i

I - v Mais

c. cette condition n’esf pas indispensable et, en fait, elle ne

peut se realiser en raison de la r apidite avec laquelle ces

elements s’6changeiit entre eux. Tous les elements du _pignon prendront donc une extension moyenne.

11 en r6sultera que le pignon engr6nera mal avec les dents

de _D, et de D2 qui ont subi, de leur cote, les extensions respec-tives _precitees. On se trouvera done dans le cas _{d’engrenages}

d6fectueux

(distances

entre les dents du pignon trop courtes

D’autre

_part,

les _{vitesses mesurees par des}

obser-vateurs de D

_(aux

environs du

_{pignon E,}

_par

_exemple)

des

_points

de

_Dl

et de

_D,

sont

diflerentes.

Leur

_rapport

est,

d’apres

P.

_Langevin

On se trouve donc dans un cas nettement different

de celui des

_problemes

_precedents.

Une difficulte

_signalee

par F. Prunier

[9]

r6sulte du

passage a la limite

_lorsque

les

disques augmentent

de rayon sans

_changer

les vitesses

circonf6ren-tielles

_(g).

Le

_rapport

_{precedent (entre}

les vitesses mesur6es par l’observateur en

_E)

ne

_depend

_que

de u, de v, et de v,. II demeure donc constant

lorsque

le ray on varie.

A la

limite,

la rotation devient une translation.

Devra-t-on dire _{que cet observateur pourra} ainsi

mettre en

_evidence

son mouvement de translation ? Ce serait une

_consequence

directement

_oppos6e

au

principe

meme de Relativite.

En

r6alit6,

ce _que décèle

l’observateur,

ce n’est _pas son

_niouvement,

ce sont les extensions des dimensions

propres de

Dl

et

_D2,

ou

_plus

_{exactement le fait que} ces extensions sont differentes.

Supposons qu’avec

les memes vitesses

eirconfé-rentielles on

_remplace

les

_disques

avec _{engrenages par} d’autres de

_plus

en

_{plus grandes, puis}

_{par des secteurs}

dent6s de

grands

rayons, enfin par des engrenages

rectilignes.

Si l’on maintient les extensions

_précitées,

la relation de

_Langevin

subsiste et 1’observateur en E continue a constater une difference entre la vitesse

(mesur6e

par

lui)

des _engrenages

_sup6rieur

et inf6rieur. Mais ce n’est pas son mouvement

_qu’il

met ainsi en evidence.

Cependant,

ces extensions ne

_s’imposent

nullement

dans le cas des _engrenages

_{rectilignes (ni}

meme dans le cas de secteurs dent6s de

_grand

_{rayon et}

_d’angle

tres

_{petit), puisqu’elles}

ont ete introduites « _{pour que}

le

_disque

entier reste sans fissure ». On

_peut

done ne

pas les maintenir. Mais si on ne les maintient pas, il

_n’y

a

_plus

continuité dans un _{« passage} a la limite » : :

on se trouve devant un

_probleme

different : deux

engrenages

rectilignes

Dl

et

_D2,

_{mus par} un

_pignon

E. Les vitesses de

_Dl

et de

_D2

sont

égales

et

de

signe

contraire pour un observateur en E. Si celui-ci

est,

a son

_tour,

en mouvement par

rapport

à un

_systeme

S,

les vitesses par

rapport

à S s’obtiennent par les for-mules

_generales

_qui,

elles,

ne

_comportent

aucun

syst6me

ni aucun observateur

_privil6gi6.

Cet

_exemple

illustre

_{l’importance}

que

revetent,

dans les

_problemes

de solides

tournants,

les notions de contraintes et d’extensions des

_longueurs

propres, dues a la cohesion de la matiere.

7. Cas d’un

_trajet

_quelconque

sur le

_disque.

ou trop longues pour les distances entre les dents des engre-nages

qu’il

devrait

_mouvoir)

_{et il pourra} en resulter, si les d6fauts sont trop grands, un blocage complet du m6canisme. Mais, tant

qu’il

marchera, le

principe

de son fonctionnement 6noiic6 plus haut doit, en raison de 1’existence des _dents,

s’appliquer

strictement : ,( _{Lorsque Dl} avance d’une dent

sur E, D2 recule d’une dent ».

(8)

La solution de cette _difficult6, est extraite de Andre

230

- Nous _{avons vu}

que les calculs du

paragraphe 5

ne

_{s’appliquent rigoureusement}

_{que si les mobiles} coiisid6r6s

(ou

les

_{propagations)}

circulent sur _le

pour-tour du

_disque.

Dans le cas de

_trajets

différents

_(c’est

Ie cas

pour la

plupart

des

_experiences

r6alis6es

_{jusqu’ici),}

ces calculs

ne

_peuvent

_{donner que des ordres de}

_grandeur.

Un calcul

_{plus precis}

_peut

se

faire,

dans ce _cas,

par la deuxième m6thode

indiqu6e plus

haut

_(§

_4),

c’est-a-dire _par l’interm6diaire du

_temps

du

_disque

le

long

du

_traiet

_parcouru,

_temps

défini de

_proche

en

proche

sur ce

_trajet.

Soit

_M’M1

un element de ce

_trajet

sur le

_disque.

La vitesse du

_point

M’ du

_disque

_par

_rapport

au

systeme

de Galilée est v = _{0) r,} r

_d6signant

la

lon-gueur CM’ et w la vitesse

_angulaire.

Soit dt le

_temps

616mentaire de ce

_syst6me

de

Galilee

_{correspondant}

a ce

trajet,

et dt’ le

temps

d’un

autre

_systeme

_ayant

la vitesse v par

rapport

au

premier.

La

_quatrieme

formule de Lorentz donne

dx’ 6tant la coordonn6e mesurée

_{parall6lement}

a la

vitesse v, c’est-h-dire

perpendiculairement

a CM‘ :

c’est donc la

_projection

de

M’ M’,

sur la direction de la vitesse v.

d’ou le

_d6calage

_temporel

616mentaire

v4.

les termes non ecrits 6tant en

v4,

ou d’un ordre

sup6-rieur.

Le

_premier

terme

s’6erit i- C2 dx’

Comme r dx’ est deux fois 1’aire del

_balayee

par

CM,

ce

_premier

terme est

_6,al

a -

2 c2 "

dc-C.

c-Le second terme n’est pas forcement

négligeable

par

rapport

au

_premier

_(9),

car si nous

_appelons

v’ la

(9)

Certains auteurs, dans des calculs _{analogues (c f .}

LAX-GEVIN, C. R. Acad. Sc., 1935, 200, 5o), n’en ont tenu aucun

vitesse du mobile par

rapport

au

_disque

Ce second terme est done exactement de l’ordre du

premier

si v’ est du meme ordre que v.

_Toutefois,

il est

_n6glicreable

si le mobile est

_remplace

par une

propagation

lumineuse.

Sur 1’ensemble d’un

_trajet

_parcouru sur le

_disque,

le

_{d6calage temporel}

total est

Il y a lieu. toutefois de _{remarquer que} 1’on ne

compare pas - du moins dans les

experiences

r6ali-s6es

jusqu’ici -

le

_temps

du

_disque

avec le

_temps

du

_systeme

de

Galilee,

mais le

_{temps t’1}

du

_disque

le

_long

du

_trajet

d6crit dans un certain sens, avec le

temps t’2

du

_disque

le

_long

du meme

trajet,

decrit en sens inverse.

Si ces

_trajets

sont decrits de

_facon

_sym6trique,

les

seconds termes se

_d6truisent,

au moins en

_premiere

approximation

et l’on

_peut

écrire

_(avec

cette

approxi-mation)

c’est-A-dire

_qu’au

meme

_{temps t}

du

_systeme

de

Galilee

_{correspondent}

des

_temps

t’ différents tota-lis6s le

_long

des

_trajets

parcourus. En

consequence,

si les vitesses sont les

_memes,

les distances par-courues le

_long

de ces

_trajets

seront differentes et l’un des mobiles

_(ou

des

_{propagations)}

considérés sera en

avant de I’autre.

On

_peut

aussi

avoir,

dans certains _cas,

_avantage

a comparer les

tem:ps t1 et t2

du

_systeme

de Galilee

correspondant

a des

_temps

t’

_6gaux;

_par

_exemple,

si l’on veut connaitre le

_d6calage,

dans le

_temps,

de

l’arrivée de deux mobiles

_{(ou propagations)}

au bout de deux

_trajets

_6gaux

_{parcourus a la meme vitesse.} Les seconds termes

_{disparaissent}

encore et l’ on a

Nous _pouvons

_appliquer

ces resultats au cas des

mobiles circulant en sens

_inverse,

avec des vitesses

6gales,

sur la eirconf6rence du

_disque.

L’aire é’L est

6gale

a rr2. En

_{appelant u}

la vitesse

circonférentielle,

Dans la formule

_(2),

(approaimativ

ement )

(en

realite,

c’est la valeur de

f dt’,

mais dt et dil

ne _{différent que par des}

_quantités

d’ordre

supérieur).

compte et ont 6crit seulement Ie premier terme, disant qu’ils operaient « au _premier ordre en w ». Cette maniere de

proceder

Le

premier

terme de cette formule

(2)

est

alors 2013 201320132013

et le

second - ] ;

il est dn memo ordre que le

c- i,

premier

si v’ est du meme ordre que u. 11 est

n6ali-geable

si v’ est

_egal

a c ou

_approche

de cette valeurs. La formule

₍₃₎

donne

c’est-a-dire que l’un des mobiles aura _parcouru,

pendant

le meme

_{temps t}

du

_systeme

de

_Galilee,

4 rll

-;;;-

de

_plus

_{que l’autre.} Au moment ou le mobile no 1 arrive au

_point

_0’,

le second 1’a

d6pass6

de

Les deux mobiles ont du se croiser en

_0’1,

a

mi-dis-tance. Done

On retrouve ainsi le r6sultat du calcul

rigoureux

du

paragraphe

5.

8.

_{L’exp6rience}

de

Sagnac. --

L’expérience

de

Sagnac,

qui

date de

1913

[11],

est la

_plus

c6l6bre des

experiences

mettant en _{evidence la rotation par} un

effet

_optique.

_Rappelons-en

le

_dispositif

dans ses

lignes

essentielles.

Un faisceau lumineux issu d’une source S est

_envoy6

sur une lame semi-reflechissante

L,

de sorte

_qu’une

partie

du

_faisceau,

r6fl6chie successivement _{par des}

miroirs,

accomplit

un

_{trajet polygonal}

sur un

_disque,

tandis que I’autre

partie

suit le meme

trajet

en sens

inverse. Les deux faisceaux se referment sur la lame L et coincident

_{géométriquement}

a

_partir

de

_la,

jusqu’a

un

_appareil

_{photographique}

P.

Lorsque

le

_disque

est

_immobile,

les interferences

entre les faisceaux

_qui

arrivent en P forment des

franges qui

sont

_{photographiees}

par

l’appareil.

Si le

_disque

est mis en

_mouvement,

les

_franges

se

d6placent

et la

_photographie

_permet

de mesurer ce

deplacement

de

_façon

_precise.

A noter que, dans

1’experience

originale,

la source

et

_{l’appareil photographique}

6taient

_egalement

lies

au

_disque.

L’interpretation

de cette

_experience

a d’abord ete

donn6e par son auteur comme une « _{preuve de la}

realite de 1’ether lumineux » et une « demonstration

de 1’effet du vent relatif d’ether ».

Ce

_qu’elle

a demontre

r6ellement,

c’est _que « la lumiere se _propage dans

_1’espace

avec une vitesse

ind6pendante

du mouvement d’ensemble de la source

et du

_{systeme optique}

». En

_effet,

le r6sultat observe

est exactement celui que l’on

peut

calculer en se

placant

dans le

_{sy steme}

de reference du laboratoire

(« premiere

méthode

_»)

et en tenant

compte

de

l’allon-genlent

du

trajet

d’un des faisceaux lumineux par la

rotation,

ainsi que du raccourcissement de 1’autre.

Or,

ce mode de calcul se

_justifie

aussi bien dans la theorie de Fether que dans la

Relativite,

pourvu que l’on admette

_{qu’il n’y}

a aucun entrainement des ondes lumineuses par le mouvement de la source ou des

appareils optiques quels qu’ils

soient

_(tout

se _passe

dans le mème

_systeme

de reference et il

_n’y

a aucune

application

de fortnulc’s de

transformation).

Fig.

6.

Max von Laue en a donne le detail

_[12],

_[13]

en

admettant que le circuit

optique

se compose d’un carr6

_parfait

inscrit dans le

_disque,

_LM1M2M3L,

L

_d6signant

la lame

_{semi-transparente}

et

_{Ml, M2}

et

_M3

les

miroirs,

et en calculant les

_longueurs

des

_trajets

LM’1,

M’1 M,2 M’2 M’3, M’3 M‘

(tous 6gaux)

lorsque

l’appareil

est en mouvement

_{(fig. 5}

et

_6).

En

fait,

le circuit _{utilise n’est pas forcement} un

carr6

_(dans

ses

_{experiences, Sagnac}

utilisait un

pentagone

irr6gulier).

La demonstration ci-dessous

s’applique

a un

_{polygone quelconque.}

Fig. 7.

Soit

_LM1

un element de

_{trajet rectiligne}

sur Ie

disque,

de

_longueur

t. Pendant

qu’il

est parcouru par la

lumière,

c’est-a-dire

_pendant

Ie

temps -?

Ie

_{point M1}

c

vient en

_M1

sur la cireonference de centre C et

_passant

par

M1,à

une distance M

_M,

=

ro

_en

désignant

par r

232

la distance

_CM1

et ,> la vitesse

_angulaire.

Le

_trajet

de la lumiere est

allongé

de

LM’,

-

LM1,

soit

pL 6tant

1’angle M1M1,

L. Done

Fallongement

s’ecrit

Si nous abaissons de C la

_{perpendiculaire}

CK

sur

_LM1,

nous _{remarquons que}

_{l’angle M1CK =}

_:.1

_(10).

Donc

L’ allongement

est alors 2w

aire CLlB11

.

c

Sur 1’ensemble du

circuit,

il est

done

L’t

d6si-c

gnant

1’aire du

_polygone.

Le

_trajet

_parcouru en sens inverse est raccourci

d’autant,

donc la difference des deux

_trajets

est /4 0) a

c

ce

_{qui correspond}

a un

_d6calage

_temporel

de

4 w el

C2

entre les ondes des deux faisceaux a leur arriv6e sur

la

_glace

_qui

termine leurs _parcours sur le

_disque.

On

_{peut aussi,}

pour

l’interpr6tation

de cette

exp6-rience,

proc6der

par la « deuxieme methode » et

appli-quer les calculs du

paragraphe 7 (temps

et

coor-donn6es mesur6es sur le

_disque).

La formule

₍₄₎

donne,

pour le retard d’un faisceau I V sur l’autre

_apres

un tour

_complet,

la valeur

4weL

C2

11

_s’agit

de la

_comparaison

des

_temps

totalises sur les

trajets

des faisceaux. Comme les

ondes,

d’apres

la theorie de la

_Relativité,

ont

_toujours

la meme vitesse c

par

rapport

aux elements du

_disque

successivement

parcourus et que les

trajets

sur le

_disque

sont

_6gaux,

ce retard est aussi celui des ondes de l’un des faisceaux sur celles de I’autre. On retrouve donc la formule du

d6calage temporel,

mais,

cette

fois,

par un raison-nement

_purement

relativiste

(et

independant

de la forme du

_circuit).

Bien

entendu,

ce _{n’est pas} une difference

_temporelle

que l’on

observe,

mais le retard d’un des faisceaux

sur

I’autre,

revele par une deviation des

_franges

d’interférence. On a

_avantage

a

_exprimer

ce retard

en nombre de

longueurs

d’onde. Ce nombre est

En

fait,

il

_s’agit

d’une fraction

_plus

_petite

_que I.

L’experience

montre,

qu’effectivement,

on observe

un

_deplacement

des

_franges,

de la valeur d’une

frac-tion de

_{frange correspondant}

a cette

_expression.

Enfin,

une demonstration assez

_616gante

a ete donn6e par P.

Langevin [3]

par le

procédé appel6

plus

haut « troisi6me methode » et consistant 4 utiliser

le

_temps

du

_systeme

_galil6en

du laboratoire et les

(1°) C’est tout a fait _rigoureux si L est sur la circonf6rence de centre C et _{passant par M1 (car 1’angle} inscrit

_LM’1

M1 est

egal a la lnoitié de _l’angle au centre _LC:.BI1). C’est tres

_approche,

de toute facoii, car les droites L:.B11 et _L3I§ sont presque confondues.

coordonnees

_d’espace

d’un

_systeme

«

_{disque »}

calcul6es

exactement comme dans la

_Mecanique

_classique.

Si x, y,

R, f

sont les coordonnées dans le

_premier

système

et

x’,

y’,

z’,

f’ dans le

second,

on a

le

_temps

t restant

_{inchang6 :}

t = t’.

La

_propagation

de la lumiere est _{caract6ris6c par}

c’est-a-dire

_(en

_négligeant

les termes du second ordre

en v»

Remarquons

que

dét 6tant 1’aire du

_{triangle ayant}

pour sommet

1’ori-gine

des coordonn6es et _{pour base 1’element de rayon}

lumineux,

mesure par les observateurs lies a la

plate-forme.

En

_outre,

dl’ etant la mesure de cet element.

L’6quation

de la

_propagation

de la lumiere s’écrit

done

ou, au meme ordre

_{d’approximation,}

D’ou,

pour un _{des rayons, par}

_int6gration

Pour Ie rayon

qui parcourt

le meme chemin en sens

inverse,

on doit

_changer

le

_signe

de w. La difference

des

_temps

_d’arriv6e.

au bout d’un meme chemin

parcouru I’

se traduit donc par une difference

tempo-relle

4 (ù L’t .

relle

@ .

c2

Cette

demonstration,

qui

a ete donn6e par son

auteur comme une

_application

de la « Relativité

g6n6-ralis6e »

_est,

en

_realite,

entierement conforme a la

Mécanique

classique.

Cette maniere de faire est

justifl6e

par le fait que les deux

cin6matiques

coin-cident au

_premier

ordre

_(11).

(11)

Voici ce _{que dit a} ce _sujet P. Langevin : « Les

carac-teres de

sym6trie

du

_phénomène

de rotation et, en

_particulier,

le fait que la rotation change de sens avec l’orientation de l’observateur suivant l’axe, exigent que la marche d’horloges

portees

par la plate-forme, ainsi que les dimensions de celle-ci

et des _r6gles

_qui

lui sont liées, ne soient modifiées

qu’au

2e ordre

en w R

par rapport a la marche d’horloges ou aux

c

dimensions de _regles de meme construction liees a des

obser-vateurs sans _rotation, ces modifications ne _{devant pas changer} avec le _signe de fo, ...

« 11 en r6sulte que, si l’on represente par x, y, :7, t et x’, y’, =’, t’