correction

Epreuve de

Mathématiques

BREVET BLANC

- Il sera attribué 4 points pour la présentation et la rédaction du devoir. - Les calculatrices ainsi que les instruments usuels de dessin sont autorisés.

- Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie. Durée : 2 h 00

Exercice 1 :

1. Notes sur 20 5 6 8 9 11 12 13 15 18 19

Effectif 1 2 6 2 1 4 2 3 1 1

Effectif cumulé croissant _{1 3}

₉

_{11 12 16 18 21 22 23}

2.

On calcule la moyenne de ce devoir : 1×5+2×6+6×8+2×9+1×11+4×12+2×13+3×15+1×18+1×19 23 = 5+12+48+18+11+48+26+45+18+19 23 = 250 23

 10,9 La moyenne de ce devoir est d’environ 10,9 (arrondie au dixième). 3. D’après le tableau précédent, il y a 9 élèves qui ont obtenus une note inférieure ou égale à 8.

9

23 _{ 100 =} 900

23 _{ 39. Environ 39 % des élèves ont une note inférieure à 8.} 4. Il y a 23 notes, donc si les notes sont rangées dans l’ordre croissant la note médiane est la

douzième note. (elle partage la série en deux ensembles de même effectif).

Donc la note médiane de cette série est 11 car elle partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : il y a autant d’élèves qui ont moins de 11 que d’élèves qui ont plus de 11.

5. L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite. 19 – 5 = 14. Donc l’étendue de cette série est 14.

Exercice 2 : (1,5 points) A =

(

1 4− 1 5

)

×

(

7+ 37 9

)

₌

(

5 20− 4 20

)

×

(

63 9 + 37 9

)

₌ 1 20 × 100 9 = 100 180 ₌ 10 18 ₌

5

9

Exercice 3 : (2,5 points) 1. E = (3x + 2)2 _{– (5 – 2x)(3x + 2) 2. Pour x = -2 : E = 15  (-2)}2 _{+ (-2) – 6} = 9x2 _{+ 12x + 4 – (15x + 10 – 6x}2 _{– 4x)} = 15  4 – 2 – 6 = 9x2 _{+ 12x + 4 – 15x – 10 + 6x}2 _{+ 4x = 60 – 2 – 6} = 15x2 + x – 6 = 52 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

12 points C A D B E 6,9 cm 5,7 cm 3,8 cm 4,6 cm

EC

EB

3,8

5,7

De plus, les points C, E, B et A, E, D sont alignés dans le même ordre.

Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Exercice 4a : (3 points)

Exercice 4b : (3 points)

On appelle n le nombre d’années dans lequel l’âge de Pierre sera le double de celui de Marc. Dans n ans, l’âge de Marc sera 11 + n et l’âge de Pierre sera 26 + n.

Comme à ce moment l’âge de Pierre sera le double de celui de Pierre, il faut résoudre l’équation : 2(11 + n) = 26 + n

22 + 2n = 26 + n La solution de l’équation est 4. 2n – n = 26 – 22

n = 4 Donc dans 4 ans Pierre sera deux fois plus âgé que Marc.

Remarque : 11 + n = 11 + 4 = 15 et 26 + n = 26 + 4 = 30 et 15  2 = 30. Dans 4 ans Pierre aura 30 et Marc aura 15 ans.

Exercice 5 : (2,5 points) On compare ED EA _et EB EC _: . Préliminaire : (….. points) ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES PROBLEME 12 points

1. 682 et 352 sont des multiples de 2. Donc 682 et 352 ne sont pas premiers entre eux. 2. On calcule le PGCD de 682 et 352 avec l’algorithme d’Euclide:

682 352 352 330 330 22 330 1 22 1 0 15 Le PGCD de 682 et 352 est 22 . 3. On simplifie 682 352 _{par le PGCD de 682 et 352 :} 682 352 ₌

31 × 22

16× 22

₌

31

16

1. Figure

2. On compare PN2 _{et PM}2 _{+ MN}2 _:

PN2 _{= 13}2 _{= 169}

PM2 _{+ MN}2 _{= 5}2 _{+ 12}2 _{= 25 + 144 = 169}

PN2 _{= PM}2 _{+ MN}2

donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M. 3. P(MNP) = MN + PM + PN = 12 + 5 + 13 = 30.

Le périmètre du triangle MNP vaut 30 cm . A(MNP) = b × h 2 ₌ MN ×MP 2 ₌ 12 ×5 2 ₌ 60 2 _{= 30} L’aire du triangle MNP vaut 30 cm2 .

PARTIE A : (…. points) 1. Figure (tracé de la parallèle)

2. Les droites (AB) et (PN) sont parallèles ;

Les points M, A et P sont alignés ; Les points M, B et N sont alignés. On applique le théorème de Thalès dans les triangles MPN et MAB :

MB MN ₌ MA MP ₌ AB PN _d’où MB 12 ₌ 2 5 ₌ AB 13 AB 13 = 2 5 _{donne AB =} 2 5 _{ 13 =} 26 5 _{= 5,2} Donc AB = 5,2 cm MB 12 ₌ 2 5 _{donne MB =} 2 5 _{ 12 =} 24 5 _{= 4,8} Donc MB = 4,8 cm PARTIE B : (….. points) 1. Les droites (AB) et (PN) sont parallèles ;

Les points M, A et P sont alignés ; Les points M, B et N sont alignés. On applique le théorème de Thalès dans les triangles MPN et MAB :

MB MN ₌ MA MP ₌ AB PN _d’où MB 12 ₌ x 5 ₌ AB 13 AB 13 = x 5 _{donne AB =} x 5 _{ 13 =} 13 x 5 _{= 2,6x} Donc AB = 2,6x cm MB 12 ₌ x 5 _{donne MB =} x 5 _{ 12 =} 12 x 5 _{= 2,4x} Donc MB = 2,4x cm 2. BN = MN – MB = 12 – 2,4x. AP = MP – MA = 5 – x. P(ABPN) = BN + NP + AP + AB = 12 – 2,4x + 13 + 5 – x + 2,6x = 30 – 0,8x. Le périmètre du trapèze ABNP vaut 30 – 0,8x (cm) .

M A N B P 13 cm 5 cm 12 cm _{4 cm} (//) D A C B 8 cm 4 cm M P 1 cm 3. On résout l’équation P(ABPN) = 26,8 c'est-à-dire : 30 – 0,8x = 26,8

30 – 0,8x = 26,8

-0,8x = 26,8 – 30 = -3,2 4.

x =

−3,2

-0,8 _{= 4}

La solution de l’équation est 4.

Donc le périmètre du trapèze ABPN vaut 26,8 cm pour x = 4 cm.

Exercice 6 : (6,5 points)

1. a. AEFB est une face du pavé droit ABCDEFGH donc AEFB est un rectangle. Donc les droites (AE) et (AB) sont perpendiculaires.

2. EFGH est une face du pavé droit ABCDEFGH donc EFGH est un rectangle et le triangle EFG est rectangle en F. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle rectangle.

EG2 _{= EF}2 _{+ FG}2 _{= 8}2 _{+ 4}2 _{= 64 + 16 = 80.}

Donc EG =

√

80

cm  8,9 cm.

3. VABCDEFGH = L 

l

 h = DC  AE  AD = 8  3  4 = 96

Le volume du pavé droit ABCDEFGH est 96 cm3 _.

4. a.

b. La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle Donc cette section est un rectangle.