Master 2 EADM 2012-2013 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 8 Th` eme : Courbes de B´ ezier
L’exercice propos´e au candidat Nœud de tr`efle
1. On d´efinit la fonction θ 7→ r(θ) = (1 + 0, 2 × sin(3θ/2))2 et C la courbe param´etr´ee d´efinie par M (θ) = r(θ) cos(θ), r(θ) sin(θ) avec θ ∈ [0, 4×π].
2. ´Etudier la p´eriodicit´e et les variations de la fonction r. En d´eduire les sym´etries de la courbe C ainsi que les points et les tangentes pour les angles θ valant 0, π/3 et −π/3. Tracer la courbe C.
3. On d´esire remplacer cette courbe param´etr´ee par des arcs de courbes de B´ezier cubique pour les angles θ dans l’intervalle [0, 25; 4] en radians ainsi que [0, 25 + 3π/4; 4 + 3π/4] et [0, 25 − 3π/4; 4 − 3π/4]. En mod´elisant le probl`eme `a l’aide d’un logiciel de g´eom´etrie dynamique, estimez des valeurs raisonnables pour les quatre points d´efinissant chaque courbe de B´ezier.
El´´ ements de r´eponse d’´el`eve `a la question 3.
J’ai pris la corde pr`es du premier point, je l’ai continu´ee pour faire la tangente, j’ai mis un point dessus.
De mˆeme pour le troisi`eme point vis-`a-vis du dernier sommet.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Indiquer les comp´etences, les m´ethodes et les savoirs mis en jeu dans l’exer- cice.
2. Analyser la r´eponse propos´ee par l’´el`eve, estimer les valeurs qu’il a pu prendre.
3. Proposer diff´erents exercices sur le th`eme des courbes de B´ezier.
