Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
25/09/2011
DOSSIER An 1 Thème : Suites : problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithmético - géométriques
L’exercice
Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir la société A ou B. L’année 2010, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, seulement 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2010 et, pour tout entier naturel n, on note an le nombre de clients de A pour l’année 2010 + n.
1) a) Déterminer a0 et a1.
b) Etablir que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,6an + 200.
2) a) Soit (un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par : un = an – 500.
Montrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b) Préciser les variations de la suite (un), puis celles de la suite (an).
c) Exprimer un en fonction de n, puis an en fonction de n.
3) a) Déterminer le plus petit entier n tel que an – 500 < 1.
b) Emettre une hypothèse sur l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays.
La réponse d’un élève à la question 2)a)
On sait que (un) est une suite géométrique, donc on a : un+1 = q un. En remplaçant, on a : an+1 – 500 =q (an – 500).
an+1 – 500 = q an – 500q an+1 = q an +500 – 500q
En égalant avec ce qu’on a trouvé à la question 2 : q = 0,6 et 500 – 500 q = 200.
Donc q = 0,6 est la raison de la suite (an), et son premier terme est 900.
Le travail à exposer devant le jury
1. Dégager les méthodes et les savoirs mis en jeu dans cet exercice.
2. Analyser la réponse de l’élève. Sa démarche est – elle pertinente ?
3. Exposer un algorithme permettant de répondre à la question 3)a), et le programmer sur le matériel de votre choix.
4. Utiliser le tableur pour étudier la suite (an). Celui – ci peut – il aider à généraliser le problème posé ?
5. Présenter deux exercices sur le thème « Problèmes conduisant à des suites arithmétiques, géométriques ou arithmético – géométriques ».
