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Les vecteurs
Exercices 1Quelques rappels :
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur aussi appelée norme.
Une direction est donnée par une droite. Toutes les droites parallèles ont la même direction.
Un sens sur une droite est determiné par deux points A etB de la droite : on a alors le sens de A vers B et le sens de B vers A.
Attention : un vecteur n’a pas une position dans le plan (il n’est pas à « un endroit » précis). Lorsqu’on souhaite « dessiner » un vecteur, on en trace un représentant sous la forme d’un segment fléché. Un vecteur a une infinité de représentants. Pour chacun d’eux, le départ de la flèche est appelé originedu représentant et l’arrivée est appelée l’extrémité du représentant.
Dans les exercices suivants, lorsque l’énoncé fait référence à des coordonnées de points ou de vecteurs, c’est que le plan est muni d’un repère orthonormé.
Exercice 1.
Sur la figure ci-après on a tracé un représentant d’un vecteur ~u.
1. Tracer le représentant de ~u d’origine B.
2. Tracer le représentant de ~u d’extremité C.
3. Tracer le représentant de −−→
BD+−−→
DC d’origine B.
4. Tracer le représentant de −−→
CB+−→u d’origine D.
5. Tracer le représentant de −→u +−−→
CD d’origine A.
A
B
C
D
~ u
Exercice 2.
En utilisant la figure ci-dessous, exprimer −→
AB en fonction de−−→
BC, puis de −−→
DC; exprimer
−−→DB en fonction de −−→
BC, puis de −−→ AD.
A B C D
Exercice 3.
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1. Exprimer uniquement en fonction de−→
AB et −→
AC :
−
→u1 =−−→
BC;→−u2 = 2−→
AB+−−→
BC; −→u3 = 3−→
BA−2−→
AC+−−→
CB;−→u4 =−→
CA+ 2−→
BA+−−→ CB.
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Les vecteurs
Exercices 22. Exprimer uniquement en fonction de−→
OA et −−→ OB :
−
→v1 = 2−−→
CD; −→v2 =−−→
BD+−→
CA;−→v3 = 2−→
AB−3−→
OC; −→v4 =−→u1 +−→u2+−→u3 +−→u4. Exercice 4.
SoitAetB deux points du plan. Dans chacun des cas suivants, indiquer si on peut affirmer queC est le milieu du segment [AB]. Dans le cas contraire, que permet d’affirmer l’égalité proposée ?
−→AC =−−→
CB; −→
CA=−−→
CB; −→
CA=−−−→
CB; −→
CA+−−→ CB =−→
0 ; −→
AC+−−→
CB =−→
AB; ||−→
AC||=||−−→ CB||
Exercice 5.
Simplifier le plus possible les expressions suivantes :
2~u+ 3(~u+~v)−5~v; 3(~u−2~v) + 5(2~v−3~u); 2(3~u−4~v) + 8(~v−~u) + 2~u Exercice 6.
On donne les points A(1; 2), B(−4; 5) et C(0; 3). On note I le milieu de [BC] et G le centre de gravité du triangle ABC.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs −→
AB, −−→
BC et−→
AC.
2. Calculer les coordonnées du vecteur −→
AI. En déduire celles de −→
AG puis celles de G.
Exercice 7.
On donne A(2;−3), B(5; 6), C(−3; 1) etD(−5; 14) dans un repère orthonormé (O;~i,~j).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs −→
AB, −→
AC, −−→
BD et−−→
CD.
2. Les vecteurs−→
AB et −−→
CD sont-ils colinéaires ? Justifier.
3. Même question pour −−→
BD et−→
AC.
4. Déterminer les coordonnées du pointI milieu de [BC].
5. Déterminer les coordonnées du pointJ tel que −→ AI =−→
IJ.
6. SoitM un point de l’axe des abscisses. Déterminer toutes les abscisses possibles de M telles que −→
AC et −−→
IM soient colinéaires.
Exercice 8.
Placer dans un repère les points A(−4,5; 1), B(−2; 3), C(−2;−1) et D(3; 3).
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Justifier.
Exercice 9.
Dans chaque cas, déterminer le réel m pour que les vecteurs ~u et~v soient colinéaires (si c’est possible) :
(a) ~u(2; 6) et~v(m; 3) ; (b) ~u(−m; 0) et~v(1;−3) ;
(c) ~u(1;m) et ~v(m+ 1;m+ 1) ;
(d) ~u(27; 2m) et~v(2m; 3) ; (e) ~u(m; 1) et~v(m; 2) ;
(f) ~u(√
2;m) et~v(−2;−√ 6) ;
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Les vecteurs
Exercices 3Exercice 10.
On considère les points A(1; 2), B(4; 3), C(1; 1) et D(−5;−1). Démontrer que le quadri- latère ABCD est un trapèze dont on précisera les bases.
Exercice 11.
Soit un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [AD], E le symétrique de I par rapport à A etK le point tel que −−→
AK = 13−→
AB.
1. Exprimer les vecteurs −−→
EK et−−→
EC en fonction de −→
AB et −−→ AD.
2. Montrer que les pointsE, K et C sont alignés.
3. La droite (IK) coupe (EB) en L. Démontrer que−→
LE+−→
LB =~0.
4. Démontrer que IEBC est un parallélogramme.
Exercice 12.
Soit A et B deux points distincts du plan.
1. Déterminer le lieu1 du point M tel que ||−−→
AM||=||−→
AB||.
2. Déterminer le lieu du point P vérifiant ||−−→
BP||= 2||−→
BA||.
Exercice 13.
ABC est un triangle quelconque. Les pointsD etE sont définis par−−→
AD= 2−→
AB+−→
AC et
−−→
BE = 13−−→ BC.
1. Faire une figure et construire D etE.
2. Exprimer −→
AE en fonction de −→
AB et−→
AC.
3. En déduire que les points A, D etE sont alignés.
1. Le lieu d’un point est l’ensemble des positions que peut prendre le point tout en vérifiant les conditions proposées.
