1 S
Les vecteurs
Quelques rappels. . .Dans les exercices suivants, lorsque l’énoncé fait référence à des coordonnées de points ou de vecteurs, c’est que le plan est muni d’un repère orthonormé.
Exercice 1.
Sur la figure ci-après on a tracé un représentant d’un vecteur~u.
1. Tracer le représentant de ~ud’origine B.
2. Tracer le représentant de ~ud’extremité C.
3. Tracer le représentant de−−→
BD+−−→
DC d’origine B.
4. Tracer le représentant de −−→
CB+−→u d’origineD.
5. Tracer le représentant de −→u +−−→
CDd’origine A.
A B
C
D
~ u
Exercice 2.
En utilisant la figure ci-dessous, exprimer −−→
AB en fonction de −−→
BC, puis de −−→
DC; exprimer −−→
DB en fonction de
−−→
BC, puis de−−→ AD.
A B C D
Exercice 3.
ABCD est un parallélogramme de centreO.
1. Exprimer uniquement en fonction de −−→ ABet−→
AC :
−→ u1=−−→
BC;−→u2= 2−−→ AB+−−→
BC;−→u3= 3−−→ BA−2−→
AC+−−→
CB;−→u4=−→
CA+ 2−−→ BA+−−→
CB.
2. Exprimer uniquement en fonction de −→
OAet−−→ OB :
−
→v1= 2−−→
CD;−→v2=−−→
BD+−→
CA;−→v3 = 2−−→ AB−3−−→
OC;−→v4=−→u1+−u→2+−→u3+−u→4.
Exercice 4.
On donne les points A(1; 2), B(−4; 5) et C(0; 3). On note I le milieu de[BC] et Gle centre de gravité du triangleABC.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs−−→ AB,−−→
BCet
−→AC.
2. Calculer les coordonnées du vecteur −→
AI. En dé- duire celles de −→
AGpuis celles deG.
Exercice 5.
On considère les points A(1; 2), B(4; 3), C(1; 1) et D(−5;−1). Démontrer que le quadrilatèreABCD est un trapèze dont on précisera les bases.
Exercice 6.
Soit un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [AD], E le symétrique deI par rapport à A et K le
point tel que−−→
AK= 13−−→ AB.
1. Exprimer les vecteurs−−→
EK et−−→
EC en fonction de
−−→ AB et−−→
AD.
2. Montrer que les pointsE,K etC sont alignés.
3. La droite(IK)coupe(EB)enL. Démontrer que
−→LE+−→
LB=~0.
4. Démontrer queIEBC est un parallélogramme.
Exercice 7.
SoitAetB deux points distincts du plan.
1. Déterminer le lieu1 du point M tel que
||−−→
AM||=||−−→ AB||.
2. Déterminer le lieu du point P vérifiant
||−−→
BP||= 2||−−→ BA||.
1Le lieu d’un point est l’ensemble des positions que peut prendre le point tout en vérifiant les conditions proposées.