FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 1
TD 3 : Matrices et systèmes
Exercice 1 :
On considère la matrice ܣ = ቀ … 2 …−1 … … ቁ. Compléter la matrice ܣ sachant que :
ܽଵ,ଵ = 3 × ܽଵ,ଷ ܽଵ,ଷ = ܽଵ,ଶ+ ܽଶ,ଵ ܽଶ,ଷ = ൫ܽଵ,ଶ൯ଶ ܽଶ,ଶ = ܽଵ,ଵ− ܽଶ,ଷ
Exercice 2 : On donne les matrices ܣ = ቀ−1 03 5ቁ et ܤ = ቀ2 19 4ቁ. 1) Déterminer la matrice ܥ = ܣ − 2ܤ.
2) Déterminer les réels ݔ et ݕ tels que ܤ = ൬ 2 1 ݔଶ ݕଶ − 3ݕ൰. 3) Déterminer la matrice ܦ telle que ܦ − ܣ = ܤ.
4) Déterminer la matrice E telle que ܣ − 2ܧ = ܤ. Exercice 3 : On donne les matrices ܦ et ܧ suivantes : ܦ = ቀ 1 2−1 3ቁ , ܧ = ቀ2 −10 3 ቁ.
Calculer ܦ − ܫଶ, puis ܦ × ܧ
Exercice 4 : Un maraîcher propose les tarifs suivants :
Salade : 0,80 € ; melon : 1,50 € ; concombre : 0,70 € ; botte de radis : 1,20 €.
1) La matrice ܲ = ൮ 0,81,5 0,71,2
൲ donne les tarifs unitaires de ces 4 fruits et légumes.
Apolline achète 4 salades, 3 melons, 2 concombres et une botte de radis.
a) Traduire les quantités par une matrice ܳ dont la taille doit être compatible avec le produit ܳ × ܲ puis effectuer ce calcul.
b) Le produit ܲ × ܳ est-il possible mathématiquement ? Si oui, donne-t-il un résultat exploitable dans le contexte de l’exercice ?
2) Une amie d’Apolline effectue également des achats ce jour-là. Les quantités commandées par les deux amies sont traduites par la matrice ܴ = ቀ4 32 5 2 1
3 0ቁ.
a) Quel produit de matrices doit-on effectuer pour obtenir le montant des dépenses des deux amies ? Quel résultat donne-t-il ?
b) Si le maraîcher augmente tous ses tarifs de 10 %, quel calcul rapide peut-on effectuer pour connaitre le nouveau montant de leurs dépenses ?
Exercice 5 :
On considère la matrice ܣ carrée d’ordre 3 telle que, pour 1 ≤ ݅ ≤ 3 et 1 ≤ ݆ ≤ 3,
ܽ, = ݅ × (݆ + 1).
Déterminer cette matrice ܣ.
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 2 Exercice 6 : Après avoir vérifié la compatibilité des formats, calculer les produits matriciels suivants : 1) ቀ1 0 12 1 0ቁ ൭
1 32 0
3 0൱ 2) ቀ1 2 3 3 −2 −1ቁ ൭
10
−1൱ 3) ൭1 0 1 3 4 0
2 0 5൱ ൭1 2 3 0 1 2
0 0 1൱ 4) ቀ1 32 4ቁ ൭ 10 2൱ 5) (1 2 −1) ൭ 1 2
−3 00 1൱ 6) ቌ
1 20 1 3 4 0 0 2 3
0 0 1 2 0 1
ቍ ቌ
4 30 4 2 1 0 0 3 2
0 0 4 3 0 4
ቍ 7) (1 2 −1 −2) ቌ 23
−2−3 ቍ
Exercice 7 : QCM : Pour chaque question posée, choisir la bonne réponse.
Une usine fabrique trois sortes d’articles : ܽଵ, ܽଶ, ܽଷ à partir de trois pièces ଵ, ଶ, ଷ. On donne :
ࢇ ࢇ ࢇ
3 9 5
4 0 9
4 8 6
Ainsi, pour fabriquer un article ܽଶ, 9 pièces ଵ et 8 pièces ଷ sont nécessaires.
1) Le coût de fabrication d’un article ܽଶ est de :
a) 3 540 € b) 3 620 € c) 2 820 €
2) On donne ܣ = ൭3 9 5 4 0 9
4 8 6൱ et ܯ = ቀ 5 6 3 180 250 150ቁ
Le calcul permettant d’obtenir la matrice donnant le poids unitaire et le coût de production de chacun des trois articles est :
a) ܣ × ܯ b) ܯ × ܣ c) ܯ + ܣ
3) L’usine doit produire 8 articles ܽଵ, 12 articles ܽଶ et 13 articles ܽଷ.
Après avoir multiplié ܣ par une matrice colonne constituée des quantités d’articles ci-dessus, le calcul permet d’affirmer que :
a) 206 pièces ଷ seront nécessaires pour assurer cette production.
b) 197 kg de pièces seront nécessaires pour assurer cette production.
c) Cette production aura un coût de 149 € par article ܽଶ produit.
Exercice 8 :
Écrire dans chaque cas, la matrice carrée ܣ telle que, pour tous nombres entiers naturels ݅ et ݆, compris entre 1 et 3 :
1. ܽ = ݅ + ݆ 2. ܽ = ൝ ݅ si ݅ = ݆ 0 si ݅ < ݆
−1 si ݅ > ݆
Poids unitaire (en kg) 5 6 3
Coût unitaire (en €) 180 250 150
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 3 Exercice 9 : On considère les matrices ܣ et ܤ suivantes : ܣ = ቀ3 40 −1ቁ et ܤ = ቀ 3 −2−1 3 ቁ.
1) a) Calculer ܣଶ et ܤଶ. b) En déduire ܣଶ− ܤଶ. 2) a) Calculer ܣ + ܤ et ܣ − ܤ.
b) En déduire (ܣ + ܤ) × (ܣ − ܤ).
3) Obtient-on le même résultat aux questions 1) b) et 2)b) ? Comment l’expliquer ?
Exercice 10 :
On considère la matrice ܣ = ൭−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7 ൱
1) Calculer ܣଶ. En déduire que la matrice ܣ est inversible et donner son inverse.
2) En déduire les solutions du système ܣ ቆݔ
ݕݖቇ = ൭1 02൱
Exercice 11 :
Soit les matrices ܣ = ቀ1 22 5ቁ et ܤ = ቀ10 −4−4 2 ቁ
Calculer le produit matriciel ܣܤ. En déduire l’inverse de ܣ et ܤ. Exercice 12 :
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ቀ1 22 5ቁ, ቀ10 −4−4 2 ቁ, ቀ1 00 1ቁ, ቀ1 11 2ቁ, ൭ 3 0 0
−1 2 0
2 −3 1൱ , ൭−2 1 4 0 4 0
1 1 2൱ , ൭ 2 0 −3
−5 5 5 1 2 −1൱ Exercice 13 :
En cas d’existence, déterminer les inverses des matrices suivantes : ቀ1 22 5ቁ, ቀ10 −4−4 2 ቁ, ቀ1 00 1ቁ, ቀ1 11 2ቁ
Exercice 14 : Soit ܯ = ቀ2 −11 0 ቁ.
On se propose de déterminer la matrice ܯଶଵ sans calculatrice.
(a) Calculer ܯଶ, ܯଷ et ܯସ.
(b) Conjecturer l’expression de ܯ en fonction de ݊. (c) En déduire ce que pourrait être l’expression de ܯଶଵ.
Info : la question (b) peut se démontrer à l’aide du raisonnement par récurrence
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 4 Exercice 15 :
1) Traduire chacun des systèmes ci-dessous sous forme matricielle.
(ܵଵ) ൝ 2ݔ + ݕ − 3ݖ = 5 3ݔ − 4ݕ + 2ݖ = −1
ݔ + ݕ − ݖ = 2 (ܵଶ) ൝ݔ + ݕ = 0 ݔ − ݕ = 1
ݔ + 3ݕ = 2 (ܵଷ) ൜ ݔ + ݕ − ݖ = 12ݔ − ݕ + ݖ = 4 (ܵସ) ቄ2ݔ + 3ݐ = 53ݔ + 4ݐ = 2 2) Résoudre si possible ces systèmes en utilisant une matrice inverse ou la méthode de Cramer.
Exercice 16 :
Trois amis se retrouvent dans un fast food et commandent chacun un repas « léger » : Le premier commande 3 burgers, 2 cornets de frites et 2 sauces et dépense 20 € ; Le deuxième : 5 burgers, 1 cornet de frite et 4 sauces pour 29 € ;
Le troisième : 2 burgers, 3 cornets de frites et 4 sauces pour 18€.
Quel le prix d’un burger, d’un cornet de frite et d’une sauce ?
Exercice 17 :
Une entreprise produit un objet qu’elle vend 2 €.
Elle doit renouveler son outil de production et a le choix entre deux machines :
• La première coûte 15 000 € et nécessite 0,80 € de matière première et d’énergie pour la fabrication d’un objet ;
• La seconde coûte 10 000 € et nécessite 1 € par unité produite.
Trouver, par différentes méthodes, quelle machine choisir pour maximiser le bénéfice selon le niveau de production de l’entreprise ?
Exercice 18 : Résoudre les systèmes suivants à l’aide de la méthode de Cramer : (ܵଵ) ൜ 3ݔ − ݕ = 82ݔ + 4ݕ = −4 (ܵଶ) ൝2ݔ + ݕ − ݖ = 1
ݔ + 2ݕ − ݖ = 2 ݔ − ݕ + 2ݖ = 3
Exercice 19 ** : On considère la matrice ܯ = ൭ 4 … 2
… … …
… 1 … ൱.
On veut que la matrice ܯ forme un carré magique c’est-à-dire que, la somme par ligne, par colonne ou par diagonale soit toujours égale à une constante, en utilisant tous les entiers de 1 à 9.
Compléter la matrice ܯ pour qu’elle réponde à la condition fixée.
