TD 3 : Matrices et systèmes

(1)

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 1

TD 3 : Matrices et systèmes

Exercice 1 : On commence par : ܽ_ଵ,ଷ = ܽ_ଵ,ଶ+ ܽ_ଶ,ଵ = 2 + ሺ−1ሻ = 1

ܽ_ଵ,ଵ = 3 × ܽ_ଵ,ଷ = 3 × 1 = 3 ܽ_ଶ,ଷ = ൫ܽ_ଵ,ଶ൯^ଶ = 2^ଶ = 4 ܽ_ଶ,ଶ = ܽ_ଵ,ଵ− ܽ_ଶ,ଷ = 3 − 4 = −1 Ainsi ܣ = ቀ 3 2 1

−1 −1 4 ቁ Exercice 2 :

1) ܥ = ܣ − 2ܤ = ቀ−1 03 5ቁ − 2 ቀ2 1

9 4ቁ = ቀ−5 −2

−15 −3ቁ 2) ܤ = ൬ 2 1

ݔ^ଶ ݕ^ଶ− 3ݕ൰ revient à l’égalité ൬ 2 1

ݔ^ଶ ݕ^ଶ − 3ݕ൰ = ቀ2 1 Et donc ݔ^ଶ = 9 et ݕ^ଶ− 3ݕ = 4 9 4ቁ

La première équation donne ݔ = 3 ou ݔ = −3.

La deuxième équation s’écrit ݕ^ଶ− 3ݕ − 4 = 0 et se résout avec le discriminant :

∆= ሺ−3ሻ^ଶ− 4 × 1 × ሺ−4ሻ = 25 ݕ_ଵ = 3 + 5

2 = 4 ou ݕ^ଶ =3 − 5 2 = −1

3) ܦ − ܣ = ܤ se traduit par ܦ = ܣ + ܤ = ቀ−1 03 5ቁ + ቀ2 1

9 4ቁ = ቀ1 1 12 9ቁ 4) ܣ − 2ܧ = ܤ se traduit par 2ܧ = ܣ − ܤ et donc ܧ =^ଵ_ଶሺܣ − ܤሻ =^ଵ_ଶቀ−3 −1−6 1 ቁ

Exercice 3 :

ܦ − ܫ_ଶ = ቀ 1 2−1 3ቁ − ቀ1 0

0 1ቁ = ቀ 0 2

−1 2ቁ ܦ × ܧ = ቀ 1 2−1 3ቁ ቀ2 −1

0 3 ቁ = ቀ 2 5

−2 10ቁ

Exercice 4 : 1) a) Pour la matrice ܳ ait une taille compatible avec le produit ܳ × ܲ, il faut qu’elle ait 4 colonnes. Une matrice ligne à 4 colonnes est à envisager : ܳ = ሺ4 3 2 1ሻ

ܳ × ܲ = ሺ4 3 2 1ሻ ൮ 0,81,5 0,71,2

൲ = ሺ4 × 0,8 + 3 × 1,5 + 2 × 0,7 + 1 × 1,2ሻ = ሺ10,3ሻ Apolline a donc dépensé 10,30 € chez ce maraîcher.

b) Les matrices ܳ et ܲ sont compatibles dans ce sens (4 ; 1) × (1 ; 4) donc le produit ܲ × ܳ est possible mathématiquement mais il ne donne rien dans le contexte de l’exercice. Il effectuerait par exemple des produits entre des quantités et des prix qui ne se correspondent pas …

2) Une amie d’Apolline effectue également des achats ce jour-là. Les quantités commandées par les deux amies sont traduites par la matrice ܴ = ቀ4 32 5 2 1

3 0ቁ. a) Le produit ܴ × ܲ est le seul possible : ܴ × ܲ = ቀ4 32 5 2 1

3 0ቁ ൮ 0,81,5 0,71,2

൲ = ቀ10,311,2ቁ. On retrouve les 10,30 € d’Apolline, on sait également que son amie a dépensé 11,20 €.

b) Si le maraîcher augmente tous ses tarifs de 10 %, les prix sont tous multipliés par 1 +_ଵ଴଴^ଵ଴ = 1,1 La matrice ܲ a des coefficients multipliés par 1,1, il suffit alors de multiplier la matrice ቀ10,311,2ቁ par 1,1 : 1,1 × ቀ10,311,2ቁ = ቀ11,33

12,32ቁ : on obtient alors les nouvelles dépenses des deux amies.

(2)

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 2 Exercice 5 :

ܽ_ଵଵ= 1 × ሺ1 + 1ሻ = 2

ܽ_ଵଶ= 1 × ሺ2 + 1ሻ = 3

ܽ_ଵଷ= 1 × ሺ3 + 1ሻ = 4 …

On obtient ainsi : ܣ = ൭2 3 4 4 6 8 6 9 12൱

Exercice 6 : 1) ቀ1 0 12 1 0ቁ ൭

1 32 0

3 0൱ = ቀ4 34 6ቁ 2) ቀ1 2 3 3 −2 −1ቁ ൭

10

−1൱ = ቀ−24 ቁ

3) ൭1 0 1 3 4 0

2 0 5൱ ൭1 2 3 0 1 2

0 0 1൱ =൭1 2 4 3 10 17

2 4 11൱ 4) ቀ1 32 4ቁ ൭ 10

2൱ : produit impossible

5) ሺ1 2 −1ሻ ൭ 1 2

−3 00 1൱ = ሺ4 4ሻ 6) ቌ

1 20 1 3 4 0 0 2 3

0 0 1 2 0 1

ቍ ቌ

4 30 4 2 1 0 0 3 2

0 0 4 3 0 4

ቍ = ቌ

4 110 4 20 30 11 20 0 00 0 4 11 0 4

ቍ

7) ሺ1 2 −1 −2ሻ ቌ 23

−2−3

ቍ = ሺ16ሻ

Exercice 7 : 1) Le coût de fabrication d’un article ܽ_ଶ est : 9 × 180 + 0 × 250 + 8 × 150 = 2 820

a) 3 540 € b) 3 620 € c) 2 820 €

2) Le calcul permettant d’obtenir la matrice donnant le poids unitaire et le coût de production de chacun des trois articles est :

a) ܣ × ܯ b) ܯ × ܣ c) ܯ + ܣ

3) L’usine doit produire 8 articles ܽ_ଵ, 12 articles ܽ_ଶ et 13 articles ܽ_ଷ. ൭3 9 5

4 0 9 4 8 6൱ ൭8

1213൱ = ൭197 149206൱

Les nombres obtenus correspondent aux nombres de pièces ݌_ଵ, ݌_ଶ, ݌_ଷ nécessaires à la fabrication des 8 articles ܽ_ଵ, 12 articles ܽ_ଶ et 13 articles ܽ_ଷ.

a) 206 pièces ݌_ଷ seront nécessaires pour assurer cette production.

b) 197 kg de pièces seront nécessaires pour assurer cette production.

c) Cette production aura un coût de 149 € par article ܽ_ଶ produit.

(3)

1. ܣ = ൭2 3 4 3 4 5

4 5 6൱ 2. ܣ = ൭ 1 0 0

−1 2 0

−1 −1 3൱ Exercice 9 :

1) a) ܣ^ଶ = ቀ3 40 −1ቁ ቀ3 4

0 −1ቁ = ቀ9 8

0 1ቁ et ܤ^ଶ = ቀ 3 −2−1 3 ቁ ቀ 3 −2

−1 3 ቁ = ቀ11 −12

−6 11 ቁ. b) On en déduit que ܣ^ଶ− ܤ^ଶ = ቀ9 80 1ቁ − ቀ11 −12

−6 11 ቁ = ቀ−2 20 6 −10ቁ. 2) a) ܣ + ܤ = ቀ3 40 −1ቁ + ቀ 3 −2

−1 3 ቁ = ቀ 6 2

−1 2ቁ et ܣ − ܤ = ቀ3 40 −1ቁ − ቀ 3 −2

−1 3 ቁ = ቀ0 6 1 −4ቁ. b) On en déduit que ሺܣ + ܤሻ × ሺܣ − ܤሻ = ቀ 6 2−1 2ቁ ቀ0 6

1 −4ቁ = ቀ2 28 2 −14ቁ 3) Le résultat de ܣ^ଶ− ܤ^ଶ est différent de ሺܣ + ܤሻ × ሺܣ − ܤሻ.

Rien de bien surprenant dans ce résultat car on sait que le produit matriciel n’est pas commutatif…

ܣܤ = ቀ3 40 −1ቁ ቀ 3 −2

−1 3 ቁ = ቀ5 6

1 −3ቁ et ܤܣ = ቀ 3 −2−1 3 ቁ ቀ3 4

0 −1ቁ = ቀ 9 14

−3 −7ቁ ≠ ܣܤ Ainsi ሺܣ + ܤሻ × ሺܣ − ܤሻ = ܣ^ଶ− ܣܤ + ܤܣ − ܤ^ଶ ≠ ܣ^ଶ− ܤ^ଶ

Exercice 10 :

1) ܣ^ଶ = ൭−5 2 8 4 −3 −8

−4 2 7 ൱ ൭−5 2 8 4 −3 −8

−4 2 7 ൱ = ൭1 0 0 0 1 0 0 0 1൱.

ܣ × ܣ = ܫ, on en déduit que la matrice ܣ est inversible et que son inverse est ܣ.

2) Le système ܣ ቆݔ

ݕݖቇ = ൭1

02൱ a donc pour solution ቆݔ

ݕݖቇ = ܣ^ିଵ൭1

02൱ = ൭−5 2 8 4 −3 −8

−4 2 7 ൱ ൭1

02൱ = ൭ 11

−1210 ൱

Exercice 11 :

ܣܤ = ቀ1 22 5ቁ ቀ10 −4

−4 2 ቁ = ቀ2 0

0 2ቁ = 2ܫ donc ܣ ×^ଵ_ଶܤ = ܫ L’inverse de ܣ est donc ^ଵ_ଶܤ.

Exercice 12 :

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

ቚ1 22 5ቚ = 1 × 5 − 2 × 2 = 1, ቚ10 −4−4 2 ቚ = 10 × 2 − ሺ−4ሻ × ሺ−4ሻ = 4,

(4)

FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – TD 3 Page 4 ቚ1 00 1ቚ = 1, ቚ1 11 2ቚ = 1, อ 3 0 0

−1 2 0

2 −3 1อ = 6, อ−2 1 4 0 4 0

1 1 2อ = −32, อ 2 0 −3

−5 5 5

1 2 −1อ = 15 Exercice 13 :

En cas d’existence, déterminer les inverses des matrices suivantes : ቀ1 22 5ቁ

ିଵ=^ଵ_ଵቀ 5 −2−2 1 ቁ = ቀ 5 −2

−2 1 ቁ, ቀ10 −4−4 2 ቁ

ିଵ=^ଵ_ସቀ2 44 10ቁ = ቀ0,5 1 1 2,5ቁ, ቀ1 00 1ቁ

ିଵ= ቀ1 00 1ቁ, ቀ1 11 2ቁ

ିଵ =^ଵ_ଵቀ 2 −1−1 1 ቁ = ቀ 2 −1

−1 1 ቁ Exercice 14 :

(a) ܯ^ଶ = ቀ3 −22 −1ቁ , ܯ^ଷ = ቀ4 −33 −2ቁ et ܯ^ସ = ቀ5 −44 −3ቁ. (b) Il semble que ܯ^௡ = ቀ݊ + 1 −݊

݊ 1 − ݊ቁ pour tout entier naturel ݊. (c) ܯ^ଶ଴ଵ଻ = ቀ2018 −20172 017 −2016ቁ.

Exercice 15 :

1) ሺܵଵሻ ൝ 2ݔ + ݕ − 3ݖ = 5 3ݔ − 4ݕ + 2ݖ = −1

ݔ + ݕ − ݖ = 2 se traduit par ൭2 1 −3 3 −4 2 1 1 −1൱ ቆݔ

ݕݖቇ = ൭ 5

−12 ൱

ሺܵ_ଶሻ ൝ ݔ + ݕ = 0 ݔ − ݕ = 1

ݔ + 3ݕ = 2 se traduit par ൭1 1 1 −11 3 ൱ ቀݔ

ݕቁ = ൭ 01 2൱ ሺܵ_ଷሻ ൜ ݔ + ݕ − ݖ = 12ݔ − ݕ + ݖ = 4 se traduit par ቀ1 1 −12 −1 1 ቁ ቆ

ݔݕ

ݖቇ = ቀ14ቁ ሺܵ_ସሻ ቄ2ݔ + 3ݐ = 53ݔ + 4ݐ = 2 se traduit par ቀ2 33 4ቁ ቀݔ

ݐቁ = ቀ5 2ቁ

2) On peut résoudre les systèmes ሺܵ_ଵሻ et ሺܵ_ସሻ en utilisant la méthode de Cramer : Résolution de ሺܵ_ସሻ :

ݔ =ቚ૞ 3૛ 4ቚ ቚ2 33 4ቚ

= 14

−1 = −14 , ݐ =

ቚ2 ૞3 ૛ቚ ቚ2 33 4ቚ

=−12

−1 = 12 Résolution de ሺܵଵሻ :

ݔ =

อ ૞ 1 −3

−૚ −4 2

૛ 1 −1อ อ2 1 −3

3 −4 2 1 1 −1อ

= −8

−12 = 2 3 , ݕ =

อ2 ૞ −3 3 −૚ 2 1 ૛ −1อ อ2 1 −3

3 −4 2 1 1 −1อ

= −2

−12 = 1 6 , ݖ =

อ2 1 ૞ 3 −4 −૚

1 1 ૛ อ อ2 1 −3

3 −4 2 1 1 −1อ

= 14

−12 = −7 6

(5)

En notant ݔ, le prix d’un burger, ݕ celui d’un cornet de frites et ݖ celui d ‘une sauce, l’énoncé se traduit par le système :

൝3ݔ + 2ݕ + 2ݖ = 20 5ݔ + ݕ + 4ݖ = 29

2ݔ + 3ݕ + 4ݖ = 18 dont l’écriture matricielle est : ൭3 2 2 5 1 4 2 3 4൱ ቆݔ

ݕݖቇ = ൭20 2918൱ Avec la méthode de Cramer :

ݔ =

อ૛૙ 2 2

૛ૢ 1 4

૚ૡ 3 4อ อ3 2 2

5 1 4 2 3 4อ

=−110

−22 = 5 , ݕ =

อ3 ૛૙ 2 5 ૛ૢ 4 2 ૚ૡ 4อ อ3 2 2

5 1 4 2 3 4อ

=−44

−22 = 2 , ݖ =

อ3 2 ૛૙

5 1 ૛ૢ

2 3 ૚ૡอ อ3 2 2

5 1 4 2 3 4อ

=−11

−22 = 0,5

Le prix d’un burger est 5€, un cornet de frites coûte 2€ et une sauce 0,50 €.

Exercice 17 :

Une entreprise produit un objet qu’elle vend 2 €.

Elle doit renouveler son outil de production et a le choix entre deux machines :

• La première coûte 15 000 € et nécessite 0,80 € de matière première et d’énergie pour la fabrication d’un objet ;

• La seconde coûte 10 000 € et nécessite 1 € par unité produite.

Trouver, par différentes méthodes, quelle machine choisir pour maximiser le bénéfice selon le niveau de production de l’entreprise ?

La recette est de 2€ par objet vendu donc de ܴ = 2ݔ pour ݔ objets vendus.

Le coût total est de ܥ_ଵ = 15 000 + 0,8ݔ pour le 1^er cas Le coût total est de ܥ_ଶ = 10 000 + ݔ pour le 2^ème cas

Ainsi le bénéfice est de ܤ_ଵ = 2ݔ − ሺ15 000 + 0,8ݔሻ = 1,2ݔ − 15 000 pour le 1^er cas Le bénéfice est de ܤ_ଶ = 2ݔ − ሺ10 000 + ݔሻ = ݔ − 10 000 pour le 2^ème cas

1^ère méthode : On résout l’inéquation ܤ_ଵ ≥ ܤ_ଶ:

1,2ݔ − 15 000 ≥ ݔ − 10 000 ⇔ 0,2ݔ ≥ 5 000 ⇔ݔ ≥ 25 000

Pour moins de 25 000 objets fabriqués, il vaut mieux choisir la 2^ème option.

Pour plus de 25 000 objets fabriqués, il vaut mieux choisir la 1^ère option.

2^ème méthode, on résout le système :

ቄܾ = 1,2ݔ − 15 000ܾ = ݔ − 10 000 ⇔ቄ1,2ݔ − ܾ = 15 000ݔ − ܾ = 10 000 qui se traduit par : ቀ1,2 −11 −1ቁ ቀݔ

ܾቁ = ቀ15 000 10 000ቁ ݔ =ቚ15 000 −110 000 −1ቚ

ቚ1,2 −11 −1ቚ

= −5 000

−0,2 = 25 000 , ܾ =ቚ1,2 15 0001 10 000ቚ ቚ1,2 −11 −1ቚ

=−3 000

−0,2 = 15 000 Le bénéfice est le même pour une production de 25 000 objets vendus.

Au vu des coefficients directeurs de ܤ_ଵ et ܤ_ଶ, 1,2 > 1, donc le bénéfice augmente plus vite avec la 1^ère option mais il est plus faible au début ሺ−15 000 < −10 000), on a donc la même conclusion que pour la première méthode.

(6)

ሺܵ_ଵሻ ൜ 3ݔ − ݕ = 82ݔ + 4ݕ = −4 se traduit par ቀ3 −12 4 ቁ ቀݔ

ݕቁ = ቀ 8

−4ቁ

ݔ =ቚ ૡ −1−૝ 4 ቚ ቚ3 −12 4 ቚ

=28

14 = 2 , ݕ =

ቚ3 ૡ2 −૝ቚ ቚ3 −12 4 ቚ

=−28

14 = −2

ሺܵ_ଶሻ ൝2ݔ + ݕ − ݖ = 1 ݔ + 2ݕ − ݖ = 2

ݔ − ݕ + 2ݖ = 3 se traduit par ൭2 1 −1 1 2 −1 1 −1 2 ൱ ቆݔ

ݕݖቇ = ൭1 23൱

ݔ =

อ૚ 1 −1

૛ 2 −1

૜ −1 2 อ อ2 1 −1

1 2 −1 1 −1 2 อ

=4 6 = 2

3 , ݕ =

อ2 ૚ −1 1 ૛ −1 1 ૜ 2 อ อ2 1 −1 1 2 −1 1 −1 2 อ

= 10 6 = 5

3 , ݖ =

อ2 1 ૚ 1 2 ૛ 1 −1 ૜อ อ2 1 −1 1 2 −1 1 −1 2 อ

=12 6 = 2

Exercice 19 ** : On doit compléter avec tous les chiffres de 1 à 9.

La somme de ces 9 chiffres vaut 45, la constante commune pour chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est donc 15.

On complète d’abord la première ligne avec 9 pour que le total soit égal à 5 puis la deuxième colonne et ainsi de suite…

ܯ = ൭ 4 9 2 3 5 7 8 1 6 ൱.