TD sur les matrices et systèmes : corrigé
Exercice 1 :
1) Le système ሺܵଵሻ se traduit par : ൭2 1 −3 3 −4 2 1 1 −1൱ ቆݔ
ݕݖቇ = ൭ 5
−12 ൱
Le système ሺܵଶሻ se traduit par : ൭1 1 1 −11 3 ൱ ቀݔ
ݕቁ = ൭ 01 2൱
Le système ሺܵଷሻ se traduit par : ቀ1 1 −12 −1 1 ቁ ቆ ݕݔ
ݖቇ = ቀ14ቁ Le système ሺܵସሻ se traduit par : ቀ2 33 4ቁ ቀݔ
ݐቁ = ቀ5 2ቁ
2) Pour résoudre le système ሺܵଵሻ : ቆݔ
ݕݖቇ = ൭2 1 −3 3 −4 2 1 1 −1൱
ିଵ
൭ 5
−12 ൱ = ۉ
ۈۇ−ଵ ଵ ହ
−ଵଶହ −ଵଶଵ ଵଷଵଶ
−ଵଶ ଵଶଵ ଵଵଵଶی ۋۊ൭ 5
−12 ൱ = ۉ ۈۇ
ଶ ଷଵ
−ی ۋۊ
Conclusion : ݔ =ଶଷ, ݕ =ଵ et ݖ = −
La matrice du système ሺܵଶሻ n’est pas inversible, on ne peut donc pas le résoudre à l’aide de cette méthode. Une résolution « à la main » s’impose… On prouve qu’il n’a pas de solution.
La matrice du système ሺܵଷሻ n’est pas inversible, on ne peut donc pas le résoudre à l’aide de cette méthode. Une résolution « à la main » s’impose… mais elle n’est pas au programme.
Pour résoudre le système ሺܵସሻ : ቀݔݐቁ = ቀ2 3 3 4ቁ
ିଵቀ52ቁ = ቀ−4 3 3 −2ቁ ቀ5
2ቁ = ቀ−14 Conclusion : ݔ = −14 et ݐ = 11 11 ቁ
Exercice 2 :
Les achats du supporter néo-zélandais se traduisent par l’équation : 3ݔ + 2ݕ = 39,7 Les achats du supporter argentin se traduisent par l’équation : 2ݔ + ݕ = 22,2
Répondre au problème revient à résoudre le système ൜3ݔ + 2ݕ = 39,72ݔ + ݕ = 22,2 dont l’égalité matricielle associée est : ቀ3 22 1ቁ ቀݔ
ݕቁ = ቀ39,7 22,2ቁ La résolution donne : ቀݔ
ݕቁ = ቀ3 2 2 1ቁ
ିଵቀ39,722,2ቁ = ቀ−1 2
2 −3ቁ ቀ39,7
22,2ቁ = ቀ4,7 12,8ቁ Le prix d’une écharpe est de 4,70€ et d’une peluche de 12,80€.
Exercice 3 :
1) A l’aide de la calculatrice, ܣିଵ= ۉ ۈۇ
ଵ
ଶ −ଵ ଵ
−ଵଶ ହ ଵ
−ଵଶ ଵଶ ଵଶی ۋۊ .
2) L’écriture matricielle associée au système est : ܣ ቆݔ
ݕݖቇ = ൭1 23൱
La résolution donne : ቆݔ
ݕݖቇ = ܣିଵ൭1 23൱ =
ۉ ۈۇ
ଵ
ଶ −ଵ ଵ
−ଵଶ ହ ଵ
−ଵଶ ଵଶ ଵଶی ۋۊ൭1
23൱ = ൮
ଶ ଷହ
2ଷ
൲
Conclusion : ݔ =ଶଷ, ݕ =ହଷ et ݖ = 2
Exercice 4 :
On considère la matrice ܣ = ൭−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7 ൱ 1) ܣଶ = ൭1 0 0
0 1 0
0 0 1൱ = ܫଷ : on en déduit que ܣ × ܣ = ܫଷ. Conclusion : la matrice A est inversible et ܣିଵ= ܣ. 2) L’écriture matricielle associée au système est : ܣ ቆݔ
ݕݖቇ = ൭1 02൱
La résolution donne : ቆݔ
ݕݖቇ = ܣିଵ൭1
02൱ = ܣ ൭1
02൱ = ൭−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7 ൱ ൭1
02൱ = ൭ 11
−1210 ൱ Conclusion : ݔ = 11, ݕ = −12 et ݖ = 10
Exercice 5 :
1) L’information ݂ሺ−0,5ሻ = 7 se traduit par : 0,25ܽ − 0,5ܾ + ܿ = 7 L’information ݂ሺ1ሻ = 4 se traduit par : ܽ + ܾ + ܿ = 4
L’information ݂ሺ1,5ሻ = 5 se traduit par : 2,25ܽ + 1,5ܾ + ܿ = 5
On obtient alors le système ൝0,25ܽ − 0,5ܾ + ܿ = 7 ܽ + ܾ + ܿ = 4
2,25ܽ + 1,5ܾ + ܿ = 5 dont l’écriture matricielle est de la forme ܣܺ = ܤ où
ܺ = ቆܽ
ܾܿቇ, ܣ = ൭0,25 −0,5 1
1 1 1
2,25 1,5 1൱ et ܤ = ൭7 45൱
2) La résolution donne :ቆܽ
ܾܿቇ = ܣିଵ൭7
45൱ = ൭−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7 ൱
ିଵ
൭7 45൱ =
ۉ ۈۇ
ଵ
ଷ −ସଷ 1
−ହ ସଷ −ଵଶ
ଵ
ଶ 1 −ଵଶی ۋۊ
൭7
45൱ = ൭ 2
−35 ൱
Conclusion : ܽ = 2, ܾ = −3 et ܿ = 5 et donc ݂ሺݔሻ = 2ݔଶ− 3ݔ + 5
Exercice 6 :
1) L’information ݂ሺ1ሻ = −4 se traduit par : ܽ + ܾ + ܿ = −4 L’information ݂ሺ4ሻ = −7 se traduit par : 16ܽ + 4ܾ + ܿ = −7 L’information ݂ሺ−1ሻ = 12 se traduit par : ܽ − ܾ + ܿ = 12
On obtient alors le système ൝ ܽ + ܾ + ܿ = −4 16ܽ + 4ܾ + ܿ = −7
ܽ − ܾ + ܿ = 12
dont l’écriture matricielle est de la forme ܣܺ = ܤ où
ܺ = ቆܽ
ܾܿቇ, ܣ = ൭1 1 1 16 4 1
1 −1 1൱ et ܤ = ൭−4
−712൱
2) La résolution donne : ቆܽ
ܾܿቇ = ܣିଵ൭−4
−712൱ = ൭1 1 1 16 4 1 1 −1 1൱
ିଵ
൭−4
−712൱ = ۉ
ۈۇ−ଵ ଵହଵ ଵଵ
ଵ
ଶ 0 −ଵଶ
ଶ
ଷ −ଵହଵ ଶହ ی ۋۊ
൭−4
−712൱ = ൮
−8ହ ଵଷ
ହ
൲
Conclusion : ܽ =ହ, ܾ = −8 et ܿ =ଵଷହ et donc ݂ሺݔሻ =ହݔଶ− 8ݔ +ଵଷହ = 1,4ݔଶ − 8ݔ + 2,6
