TD sur les matrices et systèmes
Exercice 1 :
1) Traduire chacun des systèmes ci-dessous sous forme matricielle.
ሺܵଵሻ ൝ 2ݔ + ݕ − 3ݖ = 5 3ݔ − 4ݕ + 2ݖ = −1
ݔ + ݕ − ݖ = 2 ሺܵଶሻ ൝ݔ + ݕ = 0 ݔ − ݕ = 1
ݔ + 3ݕ = 2 ሺܵଷሻ ൜ ݔ + ݕ − ݖ = 12ݔ − ݕ + ݖ = 4 ሺܵସሻ ቄ2ݔ + 3ݐ = 53ݔ + 4ݐ = 2 2) Résoudre si possible ces systèmes en utilisant une matrice inverse.
Exercice 2 :
Aux abords du stade de Twickenham à Londres, un supporter néo-zélandais achète 3 écharpes à l’effigie de son équipe et deux peluches de la mascotte de la coupe du monde de rugby pour l équivalent de 39,70€. Dans le même temps, un supporter argentin achète deux écharpes et une mascotte chez le même marchand pour l’équivalent de 22,20€.
On note ݔ le prix d’une écharpe et ݕ le prix d’une peluche.
Traduire les données précédentes par une égalité matricielle pour résoudre le système obtenu.
Exercice 3 :
On considère la matrice ܣ = ൭2 1 −1 1 2 −1 1 −1 2 ൱
1) A l’aide de la calculatrice, déterminer l’inverse de la matrice A.
2) En déduire les solutions du système :
൝2ݔ + ݕ − ݖ = 1 ݔ + 2ݕ − ݖ = 2 ݔ − ݕ + 2ݖ = 3
Exercice 4 :
On considère la matrice ܣ = ൭−5 2 8 4 −3 −8
−4 2 7 ൱
1) Calculer ܣଶ. En déduire que la matrice A est inversible et donner son inverse.
2) En déduire les solutions du système ܣ ቆݔ
ݕݖቇ = ൭1 02൱
Exercice 5 : On considère la fonction ݂ définie sur ℝ par ݂ሺݔሻ = ܽݔଶ+ ܾݔ + ܿ. On donne ݂ሺ−0,5ሻ = 7, ݂ሺ1ሻ = 4 et ݂ሺ1,5ሻ = 5
1) Montrer que les informations sur ݂ se traduisent sous la forme ܣܺ = ܤ où ܺ = ቆܽ
ܾܿቇ et ܣ et ܤ sont deux matrices à préciser.
2) En déduire les coefficients ܽ, ܾ et ܿ. Exercice 6 :
Reprendre l’exercice précédent avec ݂ሺ1ሻ = −4, ݂ሺ4ሻ = −7 et ݂ሺ−1ሻ = 12
