M´emento suites
par Pierre Veuillez
1 Suites usuelles.
Reconnaˆıtre le type de suite puis r´esoudre.
N.B. les coefficients doivent ˆetre constants par rapport `a n
1.1 Arithm´ etique.
∀n∈N: un+1 =un+r pour toutn >n0 alors un=un0 + (n−n0)r
1.2 G´ eom´ etrique
∀n∈N:un+1 =q·un pour tout n>n0 alors un =un0 +q(n−n0)
1.3 Arithm´ etico-g´ eom´ etrique .
∀n∈N:un+1 =q·un+r
On doit d’abord r´esoudrec=q·c+rpuis on fait le changement de suitevn =un−cdont on constate qu’elle est g´eom´etrique. D’o`u la valeur de vn puis celle de un
1.4 R´ ecurrente lin´ eaire du second ordre ` a coefficients constants
∀n∈N: un+2 =a·un+1+b·un
Soit (E) :x2 =ax+b l’´equation caract´eristique.
Th´eor`eme • si (E) a deux racines distinctes α etβ (∆>0)alors il existe des constantesA etB telle que pour tout entiern:un =A·αn+B·βn
• si (E) a une seule racine α (∆ = 0) alors il existe des constantes A et B telle que pour tout entier n:un = (A+nB)·αn
• si (E) n’a pas de racine : hors programme.
On d´etermine les valeurs de A et B en ´ecrivant la relation pour u0 etu1
1.5 Factorielle (coefficients non constants)
∀n∈N:un+1 = (n+ 1)·un et u0 = 1 alors un =n!
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2 Suites r´ ecurrentes u
n+1= f (u
n)
2.1 Outils sur les suites
2.1.1 Croissante
D´efintion une suite est croissante si pour tout entier n:un+1 >un.
D´emonstration par r´ecurrence avec le sens de variation de f surI ou par le signe de f(x)−x sur I
(il faut savoir que les termes de la suite se trouvent sur I).
2.1.2 Major´ee
D´efinition une suite est major´ee s’il existe uneconstanteM telle que pour tout entiern:un 6M D´emonstration par r´ecurrence avec le sens de variation de f.
2.1.3 Convergence
Th´eor`eme une suite croissante et major´ee est convergente.
2.1.4 Divergente
Th´eor`eme une suite croissante et non major´ee tend vers +∞.
D´emonstration pour montrer la non majoration, on raisonne par l’absurde.
2.1.5 In´egalit´e
Th´eor`eme si pour tout entiern :un < M et que u a une limite ` alors `6M N.B. les in´egalit´es s’´elargissent `a la limite
Utilisation pour situer la limite, on situe les termes de la suite.
2.1.6 Limite
Th´eor`eme si|k|<1 alorskn →0 quand n →+∞
Utilisation avec l’IAF.
2.2 Outils sur les fonctions
2.2.1 Croissance
D´efintion f croissante sur I signifie que
si x ety appartiennent `a I alors : six6y alors f(x)6f(y)
Utilisation dans les r´ecurrencesion sait d´ej`a queunetun+1 appartiennent `aI,sinon, on le rajoute dans l’hypoth`ese de r´ecurrence
• a6un6b alors f(a)6f(un)6f(b) et a6f(a)6un+1 6f(b)6b
• un6un+1 alors f(un)6f(un+1) et un+1 6un+2
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2.2.2 Continuit´e
D´efinition f continue en` signifie que f(x)→f(`) quandx→`
Utilisation Th´eor`eme : si un → ` et que f est continue en ` alors f(`) =` (` est une solution de f(x) = x )
Pour savoir que f est continue en `, on situe `.
S’il y a plusieurs solutions, on proc`ede par ´elimination en situant ` dans un intervalle.
2.2.3 Signe de f(x)−x
M´ethodes S’obtient par factorisation ou par ´etude des variations et th´eor`eme de bijection pour f(x)−x= 0 (ou par r´esolution).
Attention f(x) = xne se r´esout pas par bijectivit´e de f.
Utilisation la limite ` est solution de f(x) =x sif est continue en ` via un.
Utilisation f(x)6x surI etsi un∈I (`a d´emontrer au pr´ealable) alors f(un)6un etun+1 6un sans r´ecurrence.
2.2.4 In´egalit´e de accroissements finis
Th´eor`eme sif est d´erivable sur I et que |f0|6k surI et que x ety ∈I alors |f(x)−f(y)|6k|x−y|
Utilisation α solution def(x) =x. On v´erifie d’abord que α etun ∈I et on a alors
|f(un)−f(α)| 6k|un−α| soit |un+1−α|6k|un−α| ; d’o`u, par r´ecurrence |un−α|6kn|u0−α|
et par encadrement (06|un−α|) un−α→0 et un→α
2.3 Programmation
2.3.1 Affectation
On affecte successivement tous les termes de la suite dans une mˆeme variable u:=f(u)
2.3.2 Une fonction
f(x) = ex−1/xest programm´ee par function f(x:real):real;
begin f:=exp(x)-1/x end;
2.3.3 Condition d’arrˆet.
• par l’indice : u:=u0 ; for i:=1 to n do u:=f(u) ;
• par l’IAF :|un−α|6kn d´eterminer une valeur approch´ee deα `aε pr`es, se programme : u:=u0 ; P:=1 ; repeat u:=f(u); P:=P*k until P<=eps;
• par bijection : g(x) = f(x)−x <0 avant α etg(x)>0 apr`es α.
un donnera une valeur approch´ee `aε pr`es si un 6α < un+ε (test´e sur g(x) ) se programme repeat u:=f(u) until g(u+eps)>0;
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3 Suites implicites f
n(u
n) = 0
M´ethodes On ne connaˆıt pas un mais seulement son image fn(un).
On a l’existence et l’unicit´e de un par bijectivit´e.
On prouve les propri´et´es de un en passant par les images.
3.1 Outils sur les fonctions.
3.1.1 Bijection.
Pr´eciser que 0 appartient `a l’intervalle image pour conclure que l’´equationfn(x) = 0 a une unique solution
3.1.2 Croissance stricte
Th´eor`eme sif est strictement croissante sur I et que x ety ∈I alors f(x)6f(y)⇐⇒x6y (si f(x)6f(y) alors x6y )
Utilisation pour comparer un et un+1 `a partir de leurs images.
3.1.3 Comparaison
M´ethode on compare fn(x) et fn+1(x) par factorisation defn+1(x)−fn(x).
3.2 Etude de u
nSens de variation On compare les images de un et un+1 par la mˆeme fonction : fn(x)6fn+1(x) sur I etun ∈I alors fn(un)6fn+1(un).
Or fn(un) = 0 =fn+1(un+1) donc fn+1(un+1)6fn+1(un).
Et comme fn+1 est d´ecroissante sur J et que un etun+1 en sont ´el´ements, un+1 >un Sans r´ecurrence !
Limite Existe par monotonie et encadrement, majoration ou minoration ; la nommer.
On passe `a la limite dans fn(un) = 0 (arp`es transformations ´eventuelles)
3.3 Dans le cas f (u
n) = n,
On peut aussi utiliser la r´eciproque.
Th´eor`eme f continue et strictement croissante sur I = [a, b] alors elle est bijective de I dans J = [f(a), f(b)].
Elle a alors une r´eciproque f−1 qui est continue et strictement croissante de J dans I.
Propri´et´es def ”par sym´etrie” (limite, asymptote, tangente) en inversant les rˆoles des abscisses et des ordonn´ees.
Utilisation V´erifier quen∈J puis : un =f−1(n) dont on connaˆıt les propri´et´es par sym´etrie.
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