Suites réelles 4ème Sc Expérimentales

(1)

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/} _{Page 1}

SUITES REELLES 4

eme

_{Sc Expérimentales}

Exercice 1

Soit la suite définie sur ℕ par : = 0 et ∀ ∈ ℕ on a : =

1) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ 1

b) Montrer que la suite est croissante.

c) En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.

2) Soit la suite définie sur ℕ par : =

a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

En déduire lim_{→ ∞}V$ %& lim_{→ ∞}' V( )*

c) Exprimer en fonction de n et retrouver la limite de .

Exercice 2

Soit la suite réelle U définie par :, = 1

= -3 ∀ ∈ ℕ∗0

1) Montrer que ∀ ∈ ℕ∗ on a : 0 ≤ ≤ 3.

2) Montrer que la suite est croissante.

3) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 3

Soit la suite réelle définie par : , = 1 ₌1 2 ∀ ∈ ℕ0

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : = 8 − 5 ₂

b) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 1 ≤ ≤ 2 c) Montrer que la suite est croissante.

d) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.

a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison : = b) Exprimer puis en fonction de .

c) Retrouver la limite de la suite . 4) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : − 1 = b Calculer ∀ > ∈ ?@ '_U−3

(+ 1 )*

Exercice 4

Soit la suite définie sur ℕ par : = et ∀ ∈ ℕ ; =

(2)

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ 1

b) Montrer que la suite , est croissante.

c) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.

2) On pose ∀ ∈ ℕ ; = C_C

a) Montrer que la suite est une suite géométrique.

b) Exprimer puis en fonction de .

c) Retrouver alors la limite de la suite .

Exercice 5

On définie sur ℕ deux suites réelles et par : D_{∀ ∈ ℕ}= 1 = 3 ₌ 2

+ %& = +2 0

1) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 0 < <

2) Montrer que la suite est croissante et que la suite est décroissante. 3) Montrer que les suites et sont convergentes

4 a Montrer que ∀ ∈ ℕ on a ∶ − <1₂ −

b En déduire que ∀ ∈ ℕ on a ∶ − < K1_2L

c) En déduire que les suites et sont adjacentes et qu’elles ont la même limite L.

5) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : = 3.

b) En déduire la valeur de N.

Exercice 6

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = et ∀ ∈ ℕ ; = _C

1) a) Etudier le sens de variation sur ℝ de la fonction P: R ↦ T_T_C b) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : ≤ ≤ 1

c) Montrer que la suite est convergente. d) Déterminer la limite de la suite .

2 Soit les suites et V déXinies sur ℕ par ∶ = 1 − et V = ' ) )*

a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤₅

b) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ Z₅[ c) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ V ≤5_\]1 − Z₅[ ^ d) Déterminer alors : lim

→ ∞ _

(3)

Exercice 7

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : , = 1 ₌ _{+ ∀ ∈ ℕ}0

1) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : > 1.

2) Montrer que la suite est décroissante.

3) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 2 ≤ − ≤ 2 + −

b) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : 2 ≤ − 1 ≤ 2 + − 1 et que lim

→ a = +∞ 4) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 1 − ≤ _C ≤ 1 − _C b) En déduire lim → a √ Exercice 8

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : , = 1 ₌ _{∀ ∈ ℕ}0

1) Calculer et et en déduire que la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : > 0.

b) Montrer que la suite est décroissante.

a) Montrer que la suite est géométrique.

b) Montrer que : ∀ ∈ ℕ on a : = _de

c) Retrouver la limite la suite

Exercice 9

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = −3 et ∀ ∈ ℕ ; = 1

f

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : < 1

b) Montrer que la suite est croissante.

c) En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.

2) Soit la suite réelle définie sur ℕ par : =

a) Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Exprimer puis en fonction de et retrouver la limite de la suite .

3) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : | − 1| ≤₂| − 1|

b) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : | − 1| ≤ 4 Z

(4)

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/} _{Page 4} c) Retrouver la limite de la suite .

Exercice 10

Soit la suite définie sur ℕ par : = et ∀ ∈ ℕ on a : = _C

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 0 < < 1.

b) Montrer que la suite , est monotone.

c) En déduire que la suite est convergente et calculer sa limite.

2) Soit la suite définie sur ℕ par : = ∀ ∈ ℕ

a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : = . Montrer que ∀ ∈ ℕ ; = K1_3L

c) On pose ∀ ∈ ℕ ; i = × × × … × montrer que i = Z [ de d) Calculer lim → aZ l mde[ Exercice 11

Soit la suite définie sur ℕ par : n = 2 ₌ C0

1) Montrer que pour tout ∈ ℕ on a : ≥ 1

2) a) Etudier la monotonie de la suite .

b) En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.

3) a) Montrer que pour tout ∈ ℕ on a : − 1 ≤ − 1

b) En déduire que pour tout ∈ ℕ on a : − 1 ≤ Z [ et retrouver la limite de la suite p Soit la suite V déXinie sur ℕ∗_{par ∶ V = '} ₎

)*

a) Montrer que pour tout ∈ ℕ∗ on a : ≤ V ≤ + 1 − b) Déterminer alors lim

→ ∞V et lim→ ∞ _

Exercice 12

Soit la suite définie sur ℕ par : = 2 et ∀ ∈ ℕ ; =5

1) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 2 ≤ ≤ 3.

b) Etudier la monotonie de la suite .

2) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ | − 3| ≤

5| − 3|

b) En déduire que ∀ ∈ ℕ | − 3| ≤ Z

(5)

Kooli Mohamed Hechmi _{http://mathematiques.kooli.me/} _{Page 5} 3 On pose ∀ ∈ ℕ ; V = ' ) )* a Montrer que 3 − ' K2_5L) )* ≤ V ≤ 3 + ' K2_5L) )* b) Déterminer lim → aV et lim→ a V Exercice 13

On considère les suites définies sur ℕ par = 1 ; = 2 et = et ∀ ∈ ℕ ; = −

1) Calculer et

2) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : − ≤ −

b) En déduire que l’on a ∀ ∈ ℕ ; ≥

c) Montrer que la suite est décroissante et que la suite est croissante.

d) En déduire que les deux suites convergent vers la même limite s que l’on précisera.

Exercice 14

1) a) Montrer que pour tout > ∈ ℕ∗ on a : 1 −₎_C = Z)₎ [ Z)₎ [

b) Soit = Z1 − _C[ Z1 − _C[ … Z1 − _C[ ; ∈ ℕ∗\u1v calculer lim

→ a

2) Soit = 1 +

√ +√ + ⋯ +√ ; ∈ ℕ∗

a) Montrer que la suite est croissante.

b) Montrer que pour tout ∈ ℕ∗on a : − ≥

√