N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
S. H OTT
Sur un problème proposé par M. E. Amigues
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 13 (1894), p. 488-490
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SUR UN PROBLÈME PROPOSÉ PAR M. Ë. AMIGUES;
PAR M. S. HOTT.
Dans ses Leçons d'jllgèbre à Vusage des élèves de la classe de Mathématiques spéciales, M. E. Amigues propose le problème suivant après l'étude des séries :
On a deux cercles AefB égaux et tangents et une tangente commune. Dans le triangle curviligne qu'ils forment, on inscrit un cercle Ci,puis, dans le triangle formé par les cercles A, B, Ct, on inscrit un cercle G2; ainsi de suite. Expression générale des rayons de ces cercles. Somme de leurs aires.
1. Soient p un entier et R et rp les rayons des cercles A et C^. Je pose
Par raison.de symétrie, les centres des cercles Ci, C2, ... se trouvent sur la tangente aux cercles A et B menée par leur point de contact, et, par suite, la dis- tance de ce poiut au centre du cercle C^ est égale à
R — ü^n-j— rn.
Un théorème connu sur les tangentes et sécantes
( 4 8 9 )
menées à un cercle par un même point donne
( R - / • , ) * = (R — isn-i—rny = rfl D'où
R 4
( R - iSn-x 0)
E n c a l c u l a n t , à l ' a i d e d e la f o r m u l e ( i ) , /2, z\v rhi o n r e m a r q u e q u e l ' e x p r e s s i o n
R R R
prend successivement les valeurs —, --> — •
r 2 3 4
On est ainsi amené à poser
n c'est-à-dire
d'où
et, par soustraction,
(2) rn =
R T>
La formule ( 2 ) est vérifiée par les valeurs —, —?
K y L 4 12
— , —, que l'on obtient en calculant directement n. rR Pî 2,
i\ 40 ^
r3, 7^4. En la supposant vraie pour les rayons /•,, /-2, ..., rn_h, on a
n—l n—l
Sn-i = > -. r = — >j ( ) = — f I Jmd ip(p -+- I) 2 -i™ \/? /> -f- I / 2 \ /l
1 1
/In/î. rfe Mathémat., 3e série, t. XIII. (Décembre 1894.) 35
(49° )
et la relation (i) devient
R
n ~ Tu R \ ~~ 17
La formule (2) est donc exacte.
On peut remarquer que la limite de sn pour n infini est égale à — • Ce résultat était facile à prévoir, car lar»
somme des diamètres de tous les cercles C^ G2, . •., est évidemment égale à R.
2. Soit S la somme des aires de ces cercles.
4 ^ d 1
En partant de T identité
7 12( T I - 4 - I )2 \ n ra-h 1 / w2 ' (ft + 1)2 n{n-\-\)
et s'appuyant sur les formules ({)
I dmin(n-hi)
1
on trouve
S =
(*) JORDAN, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, 2e édi-
tion, t. I, p. 36o.
