Suites num´ eriques

(1)

Chapitre 1

Suites num´ eriques

Ce chapitre fait ´echo avec le TD1 de l’UE Analyse S3.

1.0.1 D´efinition et construction

Une suite est généralement notée (u_n)n∈I, où I est l’ensemble de définition de la suite D’un point de vue informatique, on peut se fixer un entier N et calculer u1, . . . , uN. Pour cela, on peut d’abord réserver la place pour N éléments de la suite, en allouant un tableau de tailleN :

>N:=10:u:=array(1..N):

Généralement, pour calculeru_n(en Maple, ce sera alorsu[N]), pour unndonné appartenant

`

a{1, . . . , N},

– soit on dispose d’une formule en fonction den

– soitu_n est déterminé par u₁, . . . , un−1, qui sont déjà calculés normalement.

Exercice 1. Soit (u_n)_n∈_N_\{0,1} la suite d´efinie par u₂= 1− ₂¹₂ et pour n≥3 u_n=

1− 1

2²

· · ·

1− 1 n²

.

Trouver une formule pour u_n. PourN donné, écrire une procédure suite1(N)qui renvoie le N-ième terme de la suite avec la formule trouvée. La tester pour N=2,. . .,10. Intuiter alors une formule pour N pair, puis pour N impair. Ecrire ensuite une une deuxième procédure suite2(N) qui utilise cette formule trouvée. Vérifier que les deux procédures donnent le même résultat pour N=2,. . .,50. Quelle est la procédure la plus rapide ? Si nécessaire, modifier les procédures pour qu’elles n’allouent pas de mémoire de tableau. Ecrire une procédure suite3(N)qui renvoie une approximation numérique desN premiers éléments de la suite (i.e u2, . . . , uN+1) sous forme d’une liste. Appliquer cette procédure pour N = 100. Quel semble ˆ

etre le comportement de la suite (sens de variation, valeur limite) ? 1.0.2 Repr´esentation graphique

On peut vouloir repr´esenter une suite. Pour cela, on peut repr´esenterun en fonction den.

1

(2)

2 CHAPITRE 1. SUITES NUM ´ERIQUES

Figure 1.1 – Figure pour l’Exercice 2

Exercice 2. Ecrire une procédure affichesuite(yL,xL)qui prend deux listes en paramétre (qui sont supposés être de même taille) et qui affiche la représentation graphique des points correspondants qui seront reliés par un segment. Représenter alors la suite de l’Exercice 1.

V´erifier alors graphiquement le comportement de cette suite.

Une classe importante de suites s’´ecrit sous la forme un+1=f(un),

oùf est une fonction donnée. On représente alors les points (u_n, u_n),(u_n, u_n+1), . . . reliés par des segments.

Exercice 3. Ecrire une procédureaffichesuitef(N,u0,f,a,b)qui donne la representation graphique def sur l’intervalle[a, b](en bleu), superposé à la droite d’équationy=x (en noir) ainsi que les points(un, un),(un, un+1), . . . reliés par des segments, pourn= 0, . . . , N−1 (en rouge).

Exercice 4. On consid`ere poura >0 la suite un d´efinie par u0 >0 et u_n+1 = 1

2

u_n+ a un

Faire une représentation graphique dans un cas oùu_nest décroissante pour toutn∈Net dans un cas où u_n n’est pas décroissante pour tout n ∈ N. Montrer que u_n est décroissante pour n≥1, puis que un converge vers √

a. Pour a= 10et u0 = 3, afficher un−√

a, n= 0, . . .50.

Que remarque-t-on ? Essayer de retrouver les valeurs : u0−√

10' −0.162 u1−√

10'4.39·10⁻³ u2−√

10'3.04·10⁻⁶ u3−√

10'1.46·10⁻¹² u4−√

10'3.38·10⁻²⁵ u5−√

10'1.81·10⁻⁵⁰ Pourquoi ne peut-on pas donner la valeuru50−√

10? Exercice 5. On consid`ere les 2 suites suivantes

un= 1 + 1/1! + 1/2! +· · ·+ 1/n!, vn=un+ 1/n!

Repr´esenter un et vn en fonction de n. Que remarque-t-on ?

(3)

3

Figure 1.3 – Figure pour l’Exercice 5 Exercice 6. Repr´esenter graphiquement les suites suivantes

– un=un−1+ 1/un−1,u0= 1 – un= (−1)ⁿ⁻¹/n, n≥1

– u_n= (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)/n³, n≥1 – u_n= 2n/(2n−1), n≥1

– un= ²ⁿ⁺¹₂n⁺³+3ⁿ⁺¹ⁿ , n≥1 – un= 1 + 2²+· · ·+n²,n≥1

(4)

4 CHAPITRE 1. SUITES NUM ´ERIQUES

(5)

1.1. CORRECTION 5

1.1 Correction

##########################

#Exercice 1 suite1:=proc(N)

local u,n:

u:=array(1..N):

u[2]:=1-1/2**2:

for n from 3 to N do

u[n]:=(1-1/n**2)*u[n-1]:

od:

u[N];

end proc:

[seq(suite1(k),k=2..10)];

#resultat: [3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, 9/16, 5/9,11/20]

#N pair: u[N]=(N+1)/(2*N)

#formule reste vraie pour N impair suite2:=proc(N)

(N+1)/(2*N);

end proc:

[seq(suite1(k)-suite2(k),k=2..50)];

suite1bis:=proc(N) local u,n:

u:=1-1/2**2:

for n from 3 to N do u:=(1-1/n**2)*u:

od:

u;

end proc:

[seq(suite1bis(k)-suite2(k),k=2..50)];

suite3:=proc(N) local u,n:

u:=array(2..N+1):

u[2]:=1-1/2**2:

for n from 3 to N+1 do u[n]:=(1-1/n**2)*u[n-1]:

od:

[seq(evalf(u[n]),n=2..N+1)];

(6)

6 CHAPITRE 1. SUITES NUM ´ERIQUES end proc:

suite3(100);

########################

#Exercice 2

affichesuite:=proc(yL,xL)

plot([seq([xL[i],yL[i]],i=1..nops(xL))]);

end proc:

U:=suite3(100):affichesuite(U,[seq(i,i=2..101)]);

########################

#Exercice 3 with(plots):

affichesuitef:=proc(N,u0,f,a,b) u:=array(0..N):

u[0]:=u0:

for i to N do

u[i]:=evalf(f(u[i-1])):

od:

L:=array(0..2*N-1):

for i from 0 to N-1 do L[2*i]:=[u[i],u[i]]:

L[2*i+1]:=[u[i],u[i+1]]:

od:

Lplot:=plot([seq(L[i],i=0..2*N-1)],color=red):

fplot:=plot(f,a..b,color=blue):

Dplot:=plot(x,x=a..b,color=black):

display(Lplot,fplot,Dplot);

end proc:

a:=2:

affichesuitef(10,0.1,x->(x+a/x)/2,0.05,10);

affichesuitef(10,100,x->(x+a/x)/2,1.2,100);

########################

#Exercice 4

computef:=proc(N,u0,f) u:=array(0..N):

u[0]:=u0:

for i to N do

od:

[seq(u[i],i=0..N)];

end proc:

computef2:=proc(N,u0,f) u:=array(0..N):

u[0]:=u0:

for i to N do u[i]:=f(u[i-1]):

od:

[seq(u[i],i=0..N)];

(7)

1.1. CORRECTION 7 end proc:

a:=10:N:=50:U:=computef(N,3,x->(x+a/x)/2);

[seq(evalf(U[i]-sqrt(a)),i=1..N+1)];

N:=5:U:=computef2(N,3,x->(x+a/x)/2);

[seq(evalf(U[i]-sqrt(a),100),i=1..N+1)];

#On remarque que la valeur 0 est donnee des N=3, car la precision est limitee

#a 10 chiffres significatifs

#par defaut. On peut alors chercher a faire les calculs exacts (fractions) puis

#faire une evaluation avec un

#Digits plus grand. On remarque alors bien qu’a chaque etape, on multiplie par 2

# le nombre de chiffres significatifs.

#Neanmoins, on ne peut pas calculer jusqu’a N=50, les calculs seraient trop longs.

###########################

u:=array(0..N):

u[0]:=1:

for i to N do

u[i]:=u[i-1]+1/i!;

end:

[[seq(u[i],i=0..N)],[seq(u[i]+1/i!,i=0..N)]];

end proc:

U:=suite4(100):

affichesuite2:=proc(yL,a,b,col)

plot([seq([i,yL[i+1]],i=a..b)],color=col);

end proc:

a:=0:

b:=12:

G1:=affichesuite2(U[1],a,b,red):

G2:=affichesuite2(U[2],a,b,blue):

display(G1,G2);

########################

u:=array(0..N):

u[0]:=1:

for i to N do

u[i]:=evalf(u[i-1]+1/u[i-1]);

end:

[seq(u[i],i=0..N)];

end proc:

U:=suite5(100);

affichesuite2(U,0,100,red);

U:=[0,seq((-1)**(n-1)/n,n=1..100)]:

(8)

8 CHAPITRE 1. SUITES NUM ´ERIQUES U:=[0,seq((n+1)*(n+2)*(n+3)/n**3,n=1..100)]:

U:=[0,seq((n+1)*(n+2)*(n+3)/n**3,n=1..100)]:

U:=[0,seq((2**(n+1)+3**(n+1))/(2**n+3**n),n=1..100)]:

U:=[0,seq(add(k**2,k=1..n),n=1..10)]:

(9)

Chapitre 2

Compl´ ements sur les suites

Exercice 7. Représenter graphiquement la suite u_n= ¹_n+ (−1)ⁿ. Que remarque-t-on ? Exercice 8. (Suite de Césaro) Ecrire une procédure qui renvoie la représentation graphique d’une suite un et de

Pn 1uk

n sur le mˆeme graphique. Tester cette proc´edure pour un = √ⁿ n et u_n= (−1)ⁿ. Que remarque-t-on ?

Exercice 9. Ecrire une proc´edure qui prend pour argument une fonction f, 2 r´eels a < b et un entier N, qui renvoie 1 si on a

– f([a, b])⊂[a, b]

– max_[a,b]|f⁰|<1.

et0sinon. La vérification se fera non pas pour toutx∈[a, b](ce qui est a priori impossible !), mais sur une discrétisation uniforme de l’intervalle [a, b]donnée par x=a+k(b−a)/N, k= 0, . . . , N. Ainsi, on devrait avoir le bon résultat lorsque N est assez grand.

Donner alors des représentations graphiques de suites convergente et monotone, convergente et non monotone et non convergentes de la forme u_n+1 = f(u_n) et comparer avec ce que donne la procédure précédente.

Exercice 10. Regarder les suites suivantes – un=n^1/n

– u_n= (1 +_n¹)ⁿ

– a, b∈R, un=aⁿ vn=n^b

9

(10)

10 CHAPITRE 2. COMPL ´EMENTS SUR LES SUITES

Figure2.2 – Figures pour l’Exercice 8

(11)

11

(12)

12 CHAPITRE 2. COMPL ´EMENTS SUR LES SUITES

(13)

13

########################

#Exercice 1

affichesuite:=proc(f,a,b)

X:=[seq(k,k=a..b)]:fX:=map(f,X):

plot([seq([X[i],fX[i]],i=1..b-a+1)]);

end proc:

affichesuite(x->1/x+(-1)**x,1,100);

#On remarque que la suite ne converge pas.

########################

#Exercice 2 cesaro:=proc(U)

N:=nops(U):

V:=array(1..N):

tmp:=0.:

for i to N do

tmp:=evalf(tmp+U[i]):

V[i]:=evalf(tmp/i):

od:

G1:=plot([seq([k,U[k]],k=1..N)],color=blue):

G2:=plot([seq([k,V[k]],k=1..N)],color=red):

display(G1,G2);

end proc:

cesaro([seq(k**(1/k),k=1..1000)]);

cesaro([seq((-1)**k,k=1..10)]);

########################

#Exercice 3

testsuite:=proc(f,a,b,N)

X:=[seq(a+k*(b-a)/N,k=0..N)]:

fX:=map(f,X):

for i from 1 to N+1 do

if (evalf(fX[i]-b)>0. or evalf(fX[i]-a)<0.) then return 0;end;

od:

df:=f(x):df:=diff(df,x):df:=unapply(df,’x’):

dfX:=map(df,X):

for i from 1 to N+1 do

if (evalf(abs(dfX[i])-1.)>=0.) then return 0;end;

od:

return 1:

end proc:

testsuite(x->cos(x),0,1,10);

testsuite(x->(x+2/x)/2,1,2,10);

#debut rappel

affichesuitef:=proc(N,u0,f,a,b) u:=array(0..N):

(14)

14 CHAPITRE 2. COMPL ´EMENTS SUR LES SUITES u[0]:=u0:

for i to N do

od:

L:=array(0..2*N-1):

for i from 0 to N-1 do L[2*i]:=[u[i],u[i]]:

L[2*i+1]:=[u[i],u[i+1]]:

od:

Lplot:=plot([seq(L[i],i=0..2*N-1)],color=red):

fplot:=plot(f,a..b,color=blue):

Dplot:=plot(x,x=a..b,color=black):

display(Lplot,fplot,Dplot);

end proc:

#fin rappel

affichesuitef(10,0.1,x->(x+2/x)/2,0.05,10);

affichesuitef(10,0.1,x->cos(x),0.05,1);

affichesuitef(100,0.5,x->x*(1-x),0,1);

affichesuitef(4,0.1,x->5*x*(1-x),-1.6,1.5);

########################

#Exercice 4

affichesuite(x->x**(1/x),1,100);

affichesuite(x->(1+1/x)**x,1,100);

a:=0.1:affichesuite(x->a**x,1,100);

b:=0.1:affichesuite(x->x**b,1,100);

(15)

Chapitre 3

S´ eries num´ eriques

Soit (un)n∈N. La série de terme général un notéeP

n∈Nunest donn´ee par la suite (Sk)k∈N

d´efinie par

S_k=u₀+· · ·+u_k, k ∈N, On note aussiP+∞

n∈Nu_n, la limite de la suite (S_k)k∈N, si cette limite existe.

On peut remplacern∈Nparn≥n0, pour dire que la série ne commence qu’à l’indicen0. Souvent le terme général est donné par une formule.

Exercice 11. Ecrire une proc´edure serie(f,a,b,n0) qui renvoie la s´erie P

n≥n0f(n) sous forme d’une liste[S_a, S_a+1. . . , S_b]. La tester pour v´erifier que

n

X

k=1

1

k −ln(n)→γ, o`uγ est la constante d’Euler d´efinie en Maple pargamma.

Exercice 12. (Séries de Riemann) La série de Riemann est donnée parP

n≥1 1

n^α. Représenter graphiquement la série pour différentes valeurs de α. Vérifier visuellement les cas de convergence/divergence. Représenter dans la mesure du possible la fonction α → P∞

n≥1 1 n^α. On pourra aussi tracer sur le même graphique la série en fonction de n pour différentes valeurs deα ou faire une animation en fonction deα.

Exercice 13. (une suite de séries) Représenter graphiquement les séries suivantes et étudier la nature. Vérifier l’adéquation avec les résultats graphiques.

– un= _nⁿ2+1² , vn=√

n²+n−n, wn=arcsin(ⁿ_n³3⁺¹+2).

– tn=e⁻

√n, un= _ln(n+1)¹ , vn= ^ln(n)_n2 , wn= ¹

2ⁿ², xn= (√ⁿ 2 + √ⁿ

3)⁻ⁿ², yn= ¹

n^{1+ 1}ⁿ. – un= ⁿ⁺

√n

2n³−1, vn= sin³(_n¹)

15

(16)

16 CHAPITRE 3. S ´ERIES NUM ´ERIQUES

Figure3.1 – Figures pour les Exercices 13 et 12

(17)

3.1. CORRECTION 17

3.1 Correction

########################

#Exercice 1

serie:=proc(f,a,b,n0) S:=array(n0..b):

tmp:=0.:

for n from n0 to b do tmp:=evalf(tmp+f(n)):

S[n]:=tmp:

od:

[seq(S[n],n=a..b)];

end proc:

N:=100:L:=serie(x->1/x,1,N,1):

seq(evalf(L[n]-ln(n)-gamma),n=N-5..N);

########################

#Exercice 2

#N:=100:alpha:=2:L:=serie(x->1/x**alpha,1,N,1);

g:=sum(1/k**alpha,k=1..infinity):

a:=1.1:b:=10.:

G1:=plot(g,alpha=a..b,color=red):

N:=10:xalpha:=[seq(a+k*(b-a)/N,k=0..N)]:

#N:=100:xalpha:=[seq(a+k*(b-a)/N,k=0..N)]:

for k from 1 to N+1 do

L:=serie(x->1/x**xalpha[k],100,100,1):falpha[k]:=L[1]:

#L:=serie(x->1/x**xalpha[k],1000,1000,1):falpha[k]:=L[1]:

od:

G2:=plot([seq([xalpha[k],falpha[k]],k=1..N+1)],color=blue):

display([G1,G2]);falpha[N+1];

########################

#Exercice 3

L:=serie(x->x**2/(x**2+1),1,100,1):

plot([seq([k,L[k]],k=1..100)],color=blue);

L:=serie(x->sqrt(x**2+x)-x,1,100,1):

L:=serie(x->arcsin((x**3+1)/(x**3+2)),1,100,1):

L:=serie(x->exp(-sqrt(x)),1,100,1):

L:=serie(x->1/ln(x+1),1,100,1):

L:=serie(x->ln(x)/x**2,1,100,1):

L:=serie(x->1/2**(x**2),1,100,1):

L:=serie(x->(2**(1/x)+3**(1/x))**(-x**2),1,100,1):

(18)

18 CHAPITRE 3. S ´ERIES NUM ´ERIQUES L:=serie(x->1/(x**(1+1/x)),1,100,1):

L:=serie(x->(x+sqrt(x))/(2*x**3-1),1,100,1):

L:=serie(x->sin(1/x)**3,1,100,1):

(19)

Chapitre 4

Compl´ ement sur les s´ eries

Exercice 14. On considère les séries de terme généralu_n= ⁽⁻¹⁾^√_nⁿ etv_n= ln(1+u_n). Essayer de mettre en évidence numériquement la divergence ou convergence des deux séries.

Exercice 15. Déterminer la nature des séries suivantes et vérifier la cohérence du résultat avec Maple.

– un= (−1)^{n n}₂n², vn= sin ¹_n+n π

, wn= sin(π√ n+ 1), – un= ^cos(n)_n2 , vn= ^cos(n)_n , wn= ^cos_n²⁽ⁿ⁾, tn= cos(na) ln(n)√

n , a∈R, – un= _n_3/4⁽⁻¹⁾_+cos(n)ⁿ ,

– un= ^αⁿ^β⁽⁻¹⁾

n

n , α∈R, β >0.

Suppl´ement : lorsqu’il y a convergence essayer d’estimer la vitesse de convergence, graphiquement.

Exercice 16. (Supplément) On considère la série de terme général u_n = ⁽⁻¹⁾_nⁿ et v_n =

cos(n√ 2π)

n . Ces s´eries ne sont pas commutativement convergentes. Illustrer-le avec Maple.

19

(20)

20 CHAPITRE 4. COMPL ´EMENT SUR LES S ´ERIES

(21)

4.1. CORRECTION 21

4.1 Correction

#Exercice 1

serie:=proc(f,a,b) S:=array(a..b):

tmp:=0.:

for n from a to b do tmp:=evalf(tmp+f(n)):

S[n]:=tmp:

od:

S;

end proc:

N:=100:U:=serie(x->(-1)**x/sqrt(x),2,N):

V:=serie(x->ln(1+(-1)**x/sqrt(x)),2,N):

plot([seq([n,evalf(exp(2*abs(U[n])))],n=2..N)],color=blue);

plot([seq([n,evalf(exp(2*abs(V[n])))],n=2..N)],color=red);

########################

#Exercice 2 N:=100:

U:=serie(x->(-1)**x*x**2/2**x,1,N):

plot([seq([n,U[n]],n=1..N)],color=blue);

U:=serie(x->sin((1/x+x)*Pi),1,N):

U:=serie(x->sin(Pi*sqrt(x**2+1)),1,N):

U:=serie(x->cos(x)/x**2,1,N):

U:=serie(x->cos(x)/x,1,N):

U:=serie(x->cos(x)**2/x,1,N):

plot([seq([n,exp(abs(2*U[n]))],n=1..N)],color=blue);

N:=1000:

a:=Pi:U:=serie(x->cos(x*a)*ln(x)/sqrt(x),1,N):

plot([seq([n,U[n]],n=N-30..N)],color=blue);

N:=100:

U:=serie(x->(-1)**x/(x**(3/4)+cos(x)),1,N):

N:=200:

(22)

22 CHAPITRE 4. COMPL ´EMENT SUR LES S ´ERIES alpha:=-1.:beta:=1:U:=serie(x->alpha**x*beta**((-1)**x)/x,1,N):

G1:=plot([seq([n,exp(abs(U[n]))],n=1..N)],color=blue):

alpha:=-1.:beta:=1.3:U:=serie(x->alpha**x*beta**((-1)**x)/x,1,N):

G2:=plot([seq([n,exp(abs(U[n]))],n=1..N)],color=red):

4.2 Correction de l’exercice 16

tmp:=0.:

for n from a to b do tmp:=evalf(tmp+f(n)):

S[n]:=tmp:

od:

S;

end proc:

serie2:=proc(f,a,b,phi) S:=array(a..b):

T:=phi(a,b):

tmp:=0.:

for n from a to b do tmp:=evalf(tmp+f(T[n])):

S[n]:=tmp:

od:

S;

end proc:

serie2f:=proc(f,a,b,phif) S:=array(a..b):

T:=phif(a,b,f):

tmp:=0.:

for n from a to b do tmp:=evalf(tmp+f(T[n])):

S[n]:=tmp:

od:

S;

end proc:

phi:=proc(a,b) T:=array(a..b):

s:=a:t:=a+1:

for i from a to b do

if(i mod 10<>0)then T[i]:=s:s:=s+2:

else T[i]:=t:t:=t+2:end:

od:

T

end proc:

(23)

4.2. CORRECTION DE L’EXERCICE?? 23 phif:=proc(a,b,f)

T:=array(a..b):

U:=array(a..b):

S:=array(a..b):

s:=a:t:=a:i:=a:

while (s<=b and t<=b and i<=10*(b-a)) do if(f(i)>=0 and s<=b)then T[s]:=i:s:=s+1:

elif(f(i)<0 and t<=b)then U[t]:=i:t:=t+1:

end:

i:=i+1:

od:

if(s<=b and t<=b)then error "non semi-convergent\n";end:

s:=a:t:=a:

if(i mod 100 =0)then S[i]:=U[t]:t:=t+1:

else S[i]:=T[s]:s:=s+1:

end:

od:

S;

end proc:

N:=1000:

a:=evalf(Pi):U:=serie(x->cos(x*a)/x,1,N):

#a:=evalf(sqrt(2)*Pi):U:=serie(x->cos(x*a)/x,1,N):

V:=serie2(x->cos(x*a)/x,1,N,phi):

W:=serie2f(x->cos(x*a)/x,1,N,phif):

G1:=plot([seq([n,U[n]],n=1..N)],color=blue):

G2:=plot([seq([n,V[n]],n=1..N)],color=red):

G3:=plot([seq([n,W[n]],n=1..N)],color=black):

display([G1,G2,G3]);

(24)

24 CHAPITRE 4. COMPL ´EMENT SUR LES S ´ERIES

(25)

Chapitre 5

Evaluation Suites/S´ eries

Exercice 17. (4 points) Donner l’exemple d’une suite (un) qui tend vers zéro et dont la série ne converge pas. Illustrer avec Maple, en faisant un graphique de la suite et un graphique de la série en fonction de n.

Exercice 18. (6 points) On considère la suite un = â_n!ⁿ. Pour une valeur de a donnée, tracer ûⁿ⁺¹_u

n en fonction den. Tracer aussi la série de terme généralu_nen fonction de n. Que remarque-t-on ou devrait-on remarquer ? Bonus : faire une animation sur plusieurs valeurs dea des2 graphiques précédents.

Exercice 19. (10 points)On d´efinit pour n∈N Wn =Rπ/2

0 cosⁿ(x)dx. Que valent W0 et W₁? V´erifier avec Maple que pour 2≤n≤N, on a

nW_n= (n−1)Wn−2.

On prendra dans la pratique N = 10, mais on doit pouvoir facilement modifier cette valeur.

Comment pourrait-on montrer ce r´esultat math´ematiquement ?

V´erifier ensuite (`a nouveau pour toutes les valeurs plus petites qu’un nombre que l’on se fixe) W2p = π

2 (2p)!

2^2p(p!)², W2p+1= 2^2p(p!)² (2p+ 1)!

Comment pourrait-on montrer ce résultat mathématiquement ? Représenter graphiquement la suite(n+1)W_nW_n+1en fonction den. Que remarque-t-on ? comment pourrait-on le montrer ? On admettra queW_n+1 ∼W_n. Représenter graphiquement la suite ^W_Wⁿ⁺¹

n en fonction den. Que doit-on alors remarquer ? Est-ce bien le cas ? Montrer en uitlisant des résultats précédents que

W_n∼ r π

2n (5.1)

et v´erifier ceci graphiquement. On admet que l’on a n!∼C√

nn e

n

,

où la constante C est à déterminer. Essayer de déterminer la constante C en faisant une représentation graphique. Retrouver la constante en utilisant l’équivalent (5.1).

25

(26)

26 CHAPITRE 5. EVALUATION SUITES/S ´ERIES

5.1 Correction

#Exercice 1

suite:=proc(f,a,b) U:=array(a..b):

for i from a to b do U[i]:=evalf(f(i)):

od:

U:

end proc:

S[a]:=evalf(f(a)):

for i from a+1 to b do S[i]:=evalf(f(i))+S[i-1]:

od:

S:

end proc:

plotarray:=proc(Y,a,b,col) plot([seq([i,Y[i]],i=a..b)]):

end proc:

with(plots):

N:=100:

U:=suite(x->1/x,1,N):

S:=serie(x->1/x,1,N):

plotarray(U,1,N);

plotarray(S,1,N);

plotarray(map(x->exp(abs(x)),S),1,N);

plotarray(map(x->exp(abs(x)),U),1,N);

########################

#Exercice 2

plotarray2:=proc(Y,a,b,col)

plot([seq([i,Y[i]],i=a..b)],color=col):

end proc:

dalembert:=proc(f,a,b) U:=array(a..b):

U[i]:=evalf(f(i+1)/f(i)):

od:

U:

end proc:

N:=20:

a:=0.5:#a:=1.:a:=1.5:a:=4.:

U:=dalembert(x->a**x/x!,1,N):

S:=serie(x->a**x/x!,1,N):

G1:=plotarray2(U,1,N,blue):G2:=plotarray2(S,1,N,red):

display([G1,G2]);

(27)

5.1. CORRECTION 27

#pour l’animation

A:=[seq(0.1+(4-0.1)/10*i,i=0..10]:

G:=array(0..10):

for i from 0 to 10 do a:=A[i+1]:

U:=dalembert(x->a**x/x!,1,N):

S:=serie(x->a**x/x!,1,N):

G1:=plotarray2(U,1,N,blue):G2:=plotarray2(S,1,N,red):

G[i]:=display([G1,G2]);

od:

plot([seq(G[i],i=0..10)],insequence=true);

########################

#Exercice 3

W:=n->int(cos(x)**n,x=0..Pi/2):

N:=10:

0,W(0)-Pi/2;1,W(1)-1;

for n from 2 to N do n,n*W(n)-(n-1)*W(n-2);

od;

for p to N/2 do

2*p,(Pi/2)*(2*p)!/(2**(2*p)*(p!)**2)-W(2*p);

od;

for p from 0 to N/2 do

2*p+1,2**(2*p)*(p!)**2/(2*p+1)!-W(2*p+1);

od;

plot([seq([n,(n+1)*W(n)*W(n+1)],n=0..10)]);

plot([seq([n,W(n+1)/W(n)],n=0..20)]);

G1:=plot([seq([ln(n),ln(abs(W(n)))],n=1..200)],color=red):

G2:=plot([seq([ln(n),ln(sqrt(Pi/(2*n)))],n=1..200)],color=blue):

display(G1,G2);

plot([seq([n,evalf(n!/(sqrt(n)*(n/exp(1))**n))],n=1..20)]);

evalf(sqrt(2*Pi));

plot([seq([n,evalf(n!/(sqrt(n)*(n/exp(1))**n)/(sqrt(2*Pi)))],n=1..200)]);

(28)

(29)

5.1. CORRECTION 29

(30)

(31)

Chapitre 6

Les matrices

Dans ce chapitre, on apprend comment manipuler les matrices `a l’aide de Maple.

6.1 D´ efinition

On utilise d’abord lepackageLinearAlgebra, grâce à la commandewith(LinearAlgebra) : Nous avons alors accès à différentes fonctions relatives à l’algèbre matricielle.

6.1.1 Une matrice

Une matriceM est définie à l’aide de son nombre de lignes n, son nombre de colonnes m et den·m coefficients qui peuvent ê tre des entiers, des réels, des complexes, des polynômes, voire autre chose...

On peut ´ecrire A :=Matrix([[1,2,4],[6,8,9]]) ;pour d´efinir la matrice

"

1 2 4 6 8 9

# . Il peut être intéressant de savoir générer rapidement des matrices d’une taille donnée.

Les commandes suivantes génèrent respectivement une matrice de taille 5×3 dont les coefficients sont entiers, resp. réels dans l’intervalle [0,1].

RandomMatrix(5,3,generator=0..1);

RandomMatrix(5,3,generator=0..1.);

On accède à l’élément a2,3 d’une matrice A(s’il existe), par la commande A[2,3] ; Il peut être commode de définir certaines matrices bien connues.

Ainsi pour la matrice







1 0 0 0 1 0 0 0 1







, on peut ´ecrire IdentityMatrix(3,3) ; tandis que l’on

peut ´ecrire DiagonalMatrix([1,2,3]) ;pour la matrice







1 0 0 0 2 0 0 0 3





 .

Une fois une matriceAd´efinie, on acc`ede au nombre de lignes par RowDimension(A) ;et au nombre de colonnes parColumnDimension(A) ;

Remarquons que l’on peut aussi d´efinir/manipuler une matrice par blocs : 31

(32)

32 CHAPITRE 6. LES MATRICES A:=RandomMatrix(7,9):

AA:=Matrix([[A[1..4,1..4],A[1..4,5..9]],[A[5..7,1..4],A[5..7,5..9]]]):AA-A;

A[1..3,1..3]:=IdentityMatrix(3):A;

Avant d’écrire les lignes de programme précédentes, qu’est-ce qui devrait s’afficher ? Pour- quoi ? Vérifier le.

Enfin, on peut initialiser une matrice de taille 5×6 par 0, en écrivant Matrix(5,6) ; Pour faire une recopie d’une matrice A dans la matrice B, on écritB :=Matrix(A) : La matrice de van Der Monde de taille 5 est donnée parMatrix(5,(i,j)->x[j]**(i-1)) ; Exercice 20. Définir les matrices suivantes :







1 b 0 0 0 a 1 b 0 0 0 a 1 b 0 0 0 a 1 b 0 0 0 a 1





 ,







a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a2 a3 a4 a5 a1

a3 a4 a5 a1 a2

a₄ a₅ a₁ a₂ a₃ a₅ a₁ a₂ a₃ a₄





 ,







1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9





 .

On s’arrangera pour que l’on puisse facilement ce type de matrices pour une autre valeur n que5.

6.1.2 Vecteurs, matrices et op´erations

On peut également définir des vecteurs colonnes<1,2,3> :et des vecteurs lignes<1|2|3> : SiAest une matrice de taille 5×3,A[1,1..3]est un vecteur ligne qui correspond à la première ligne de la matriceA.

Le produit entre matrices/vecteurs est donn´e par A.B La multiplication par un scalaire se fait par*.

On notera ausi les op´erations suivantes : Determinant(A) ;Transpose(A) ; Pour une matriceA= (a_i,j), on d´efinit aussiNorm(A), le nombre max_i,j|a_i,j|.

6.2 Calculs de d´ eterminants

Exercice 21. Soienta etb des r´eels. Pourn≥2, on note B_n le d´eterminant suivant :

B_n=

a+b a 0

b . .. ...

. .. ... a

0 b a+b

.

Vérifier avec Maple que l’on a Bn = (a+b)Bn−1−abBn−2, pour n ≥ 4. (On le fera pour tout n ≤N, où N est un entier que l’on se fixe). Vérifier ensuite (toujours avec Maple) la formule

Bn= aⁿ⁺¹−bⁿ⁺¹ a−b , poura6=b. Etudier le cas a=b.

(33)

6.3. CORRECTION 33

6.3 Correction

########################

#Exercice 1

with(LinearAlgebra):

N:=5:

A1:=Matrix(N,N,0):

for i to N do A1[i,i]:=1:

od:

for i from 2 to N do A1[i,i-1]:=a:

A1[i-1,i]:=b:

od:

A1;

A2:=Matrix(N,(i,j)->a[(i+j-2) mod N +1]);

A3:=Matrix(N,(i,j)->1/(i+j-1));

########################

#Exercice 2

DetB:=proc(N,a,b) B:=Matrix(N,N,0):

for i to N do B[i,i]:=a+b:

od:

for i from 2 to N do B[i,i-1]:=b:

B[i-1,i]:=a:

od:

Determinant(B):

end proc:

N:=10:L:=array(4..N):

L[n]:=simplify(DetB(n,a,b)-(a+b)*DetB(n-1,a,b)+a*b*DetB(n-2,a,b));

od:

seq(L[i],i=4..N);

L:=array(1..N):

L[n]:=simplify(DetB(n,a,b)-(a**(n+1)-b**(n+1))/(a-b)):

od:

seq(L[i],i=1..N);

#Cas ou a=b

n:=10:A:=simplify((a**(n+1)-b**(n+1))/(a-b)):A:=subs(b=a,A);#(n+1)a**n L:=array(1..N):

L[n]:=simplify(DetB(n,a,a)-(n+1)*a**n):

od:

seq(L[i],i=1..N);

(34)

34 CHAPITRE 6. LES MATRICES

(35)

Chapitre 7

Autres exemples de matrices

7.1 Matrice et inverse ` a coefficients entiers

On cherche à construire des matrices à coefficients entiers inversibles dont l’inverse est à coefficients entiers.

Exercice 22. Ecrire une procédureE(i,j,N)qui renvoie la matrice ”élémentaire”Ei,j. C’est une matrice de taille N qui vaut 1 à la position (i, j) et 0 ailleurs. Vérifier avec maple que toute matrice de taille ≤N (où N est une valeur fixée que l’on pourra facilement modifier) s’écrit comme combinaison linéaire des matrices élémentaires.

Exercice 23. Pour une valeur de N donnée, définir une matrice triangulaire supérieure de manière générale. Calculer son inverse. Que remarque-t-on ? Quelles sont les possibilités de valeurs pour les termes diagonaux, si l’on souhaite que la matrice et son inverse soient à coefficients entiers ?

Exercice 24. On considère une matrice de transvection Id±Ei,j, aveci6=j. Cette matrice est-elle inversible ? Est-elle à coefficients entiers ? Et que peut-on dire de son inverse (s’il existe) ? PourN donné combien y-a-t-il de matrices de transvections ? Ecrire une procédure transvect(N)qui pour N donné renvoie la liste de toutes les matrices de transvections.

Après ces exercices préliminaires, on peut maintenant construire des matrices à coefficients entiers dont l’inverse est aussi à coefficients entiers.

Exercice 25. Que peut-on dire du produit de 2 matrices de transvection ? En utilisant la commande rand, écrire une procédure genmat(N,s) qui renvoie un produit de s matrices de transvection de taille N de manière aléatoire. La tester pour N = 5 et s = 20 : afficher la matrice obtenue et son inverse. Que doit-on remarquer et que remarque-t-on ?

Exercice 26. A l’aide de l’exercice précédent, donner des exemples ”non triviaux” de matrices diagonalisables à coefficients entiers, dont les valeurs propres sont des entiers. Faire de même pour des matrices non diagonalisables.

7.2 D´ ecomposition LU

SoitAune matrice carrée de tailleN. Il existe une matrice de permutationP, une matrice triangulaire inférieure L avec des 1 sur la diagonale et une matrice triangulaire supérieure U

35

(36)

36 CHAPITRE 7. AUTRES EXEMPLES DE MATRICES tels que

A=P LU.

On peut obtenir cette d´ecomposition avec Maple en utilisant LUDecomposition. On parlera de d´ecomposition LU.

Exercice 27. Trouver la d´ecompositionLU dans les cas suivants : 1) Matrice inversible

2) Matrice tridiagonale 3) Matrice non inversible

4) Matrice inversible avec le terme d’indice (1,1) nul.

On v´erifiera que la matrice s’´ecrit bienP LU. Dans le cas 4), peut-on avoirP =Id? Justifier.

Dans le cas 3), les termes diagonaux de U peuvent-ils être tous non nuls ? Donner un cas où la décomposition n’est pas unique.

Exercice 28. SoitA une matrice triangulaire sup´erieure de taille N.

1) On suppose que tous les termes diagonaux sont non nuls. Que peut-on dire du noyau de A?

2) On suppose qu’il existe un seul terme diagonal nul. Mˆeme question.

3) On suppose que aN,N et aN−1,N−1 sont nuls. Mˆeme question.

Ecrire alors une procédure Noyau1(A) qui renvoie une base du noyau de A en utilisant la décomposition LU de A et qui fonctionne dans les cas où U vérifie 1), 2) ou 3). Vérifier le résultat en utilisant la commande NullSpace, dans un cas diagonalisable et dans un cas non diagonalisable.

(37)

7.3. CORRECTION 37

7.3 Correction

#Exercice 1

E:=proc(i,j,n) A:=Matrix(n,n,0):

A[i,j]:=1:

A:

end proc:

#a:=array(1..N,1..N):

N:=5:A:=Matrix(N,(i,j)->a[i,j]):

simplify(A-add(add(a[i,j]*E(i,j,N),i=1..N),j=1..N)):Norm(%);

########################

#Exercice 2 N:=5:

A:=Matrix(N,N,0):

for i to N do

for j from i to N do A[i,j]:=a[i,j]:

od:od:

#A;A**(-1);

#il faut que a[i,i] et 1/a[i,i] soient entiers donc a[i,i]=1 ou a[i,i]=-1

########################

#Exercice 3

transvect:=proc(n) s:=0:

for i to n do for j to n do

if(i<>j) then s:=s+1:L[s]:=IdentityMatrix(n)+E(i,j,n):fi:

od:od:

for i to n do for j to n do

if(i<>j) then s:=s+1:L[s]:=IdentityMatrix(n)-E(i,j,n):fi:

od:od:

[seq(L[i],i=1..s)]:

end proc:

N:=5:L:=transvect(N):

########################

#Exercice 4

genmat:=proc(n,s) L:=transvect(n):

m:=nops(L):r:=rand(1..m):

A:=Matrix(IdentityMatrix(n)):

for i to s do A:=A.L[r()]:

od:

(38)

38 CHAPITRE 7. AUTRES EXEMPLES DE MATRICES A:

end proc:

A:=genmat(5,50);A**(-1);

########################

#Exercice 5

#matrice diagonalisable a coefficients entiers B:=DiagonalMatrix([1,2,3,4,5]):

A.B.A**(-1);

#matrice non diagonalisable a coefficients entiers B:=Matrix(5,5,0):B[1,2]:=1:A.B.A**(-1);

#system("mv plot.jpg td6exo1.jpg");

###########################

#Exercice 6

#Cas 1+2 inversible

M:=Matrix([[4,1,0,0],[1,4,1,0],[0,1,4,1],[0,0,1,4]]);Determinant(M);LUDecomposition(M);

#Cas 3: si tous non nuls, le determinant n’est pas nul, ce qui est contradictoire M:=DiagonalMatrix([0,1,2,3,4]):P:=genmat(5,50);M:=P.M.P**(-1);LUDecomposition(M);

#Cas 4

M:=Matrix([[0,1,4,0],[1,4,1,0],[4,1,0,1],[1,0,0,4]]);Determinant(M);LUDecomposition(M);

# non unicite: matrice nulle

###########################

#Exercice 7

#1 Ker(A)={0}

#2 Dim(Ker(A))=1 Noyau1:=proc(A) n:=RowDimension(A):

L:=LUDecomposition(A):

U:=L[3]:

#recherche des termes nuls s:=0:

for i to n do

if U[i,i]=0 then s:=s+1: end:

od:

if(s>=3) then return 2; end;

if(s>=2 and (U[n-1,n-1]<>0 or U[n,n]<>0)) then return 2; end:

if(s=0) then return 0;end;

X:=Vector(n):

if(s=2) then

if(U[n-1,n]<>0) then X[n-1]:=1:

for i from n-2 to 1 by -1 do

X[i]:=-add(X[j]*U[i,j],j=i+1..n)/U[i,i]:

od:

(39)

7.3. CORRECTION 39 return [X];

end:

Y:=Vector(n):

X[n]:=1:

od:

Y[n-1]:=1:

Y[i]:=-add(Y[j]*U[i,j],j=i+1..n)/U[i,i]:

od:

return [X,Y]:

end:

s:=n:while(U[s,s]!=0) do s:=s-1:

end:

X[s]:=1:

for i from s-1 to 1 by -1 do

od:

[X];

end proc:

N:=5:M:=Matrix(N,N,0):for i to N-1 do M[i,i+1]:=1:od:M;

P:=genmat(5,50):M:=P.M.P**(-1);

LUDecomposition(M);Noyau1(M);NullSpace(M);

M:=DiagonalMatrix([0,1,2,3,4]):P:=genmat(5,50);M:=P.M.P**(-1);

LUDecomposition(M);

Noyau1(M);NullSpace(M);

(40)

40 CHAPITRE 7. AUTRES EXEMPLES DE MATRICES

(41)

Chapitre 8

R´ eduction de matrices

8.1 R´ eduction de matrices 3 × 3

On se donne une matrice M de taille 3×3 et on cherche à la réduire. D’après la théorie de Jordan, on sait queM va être semblable à l’une des 6 matrices suivantes :







λ 0 0 0 µ 0 0 0 ν





 ,







λ 0 0 0 λ 0 0 0 µ





 ,







λ 1 0 0 λ 0

0 0 µ





 ,







λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ





 ,







λ 0 0 0 λ 1

0 0 λ





 ,







λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ





 ,

o`u lesλ, µetν sont des nombres distincts.

Exercice 29. Ecrire une procédure qui prend une matrice 3X3 en argument et qui détermine auquel des six types précédents appartient cette matrice. La tester pour les matrices







1 0 0

−1 0 −3

0 2 5





 ,







1 4 6

0 −1 −3

0 2 4





 ,







6 10 6

−4 −7 −5

3 6 5





 ,







1 0 0 0 1 0 0 0 1





 ,







0 −1 0

1 2 0

0 0 1





 ,







2 −1 0

1 0 0

2 −3 1





 .

Il peut être aussi intéressant de connaˆıtre la matrice de passage entre la forme initiale et la forme réduite. Pour cela on pourra utiliser la commande NullSpace

Exercice 30. Reprendre les exemples précédents et trouver la matrice de passage. Vérifier alors le résultat.

8.2 R´ esolution de suites r´ ecurrentes

Grâce à la décomposition spectrale précédemment faite, on peut trouver des formules générales pour des suites récurrentes.

Exercice 31. On se fixeu₀=v₀=w₀ = 1. R´esoudre les syst`emes suivants n≥0 (1) u_n+1=u_n, v_n+1=−u_n−3w_n, w_n+1 = 2v_n+ 5w_n (2) un+1=un+ 4vn+ 6wn, vn+1=−v_n−3wn, wn+1 = 2vn+ 4wn

(3) u_n+1= 6u_n+ 10v_n+ 6w_n, v_n+1=−4u_n−7v_n−5w_n, w_n+1 = 3u_n+ 6v_n+ 5w_n (4) u_n+1=−v_n, v_n+1=u_n+ 2v_n, w_n+1 =w_n

(5) un+1= 2un−vn, vn+1=vn, wn+1 = 2un−3vn+wn. 41

(42)

42 CHAPITRE 8. R ÉDUCTION DE MATRICES Pour vérifier le résultat, comparer avec la solution calculée de manière itérative, pour une valeur de n donnée.

8.3 R´ esolution de syst` emes diff´ erentiels

On peut également résoudre des systèmes différentiels linéaires.

En effet, soient x(t), y(t) et z(t) 3 fonctions d’une seule variable. On note X(t) =





 x(t) y(t) z(t)





 .

Si on a X⁰(t) =AX(t),alors on obtient X(t) = exp(At)X(0), avec exp(A) =

∞

X

k=0

A^k k!. Exercice 32. On se fixex(0) =y(0) =z(0) = 1. R´esoudre les syst`emes suivants

(1) x⁰(t) =x(t), y⁰(t) =−x(t)−3z(t), z⁰(t) = 2y(t) + 5z(t) (2) x⁰(t) =x(t) + 4y(t) + 6z(t), y⁰(t) =−y(t)−3z(t), z⁰(t) = 2y(t) + 4z(t)

(3) x⁰(t) = 6x(t) + 10y(t) + 6z(t), y⁰(t) =−4x(t)−7y(t)−5z(t), z⁰(t) = 3x(t) + 6y(t) + 5z(t) (4) x⁰(t) =−y(t), y⁰(t) =x(t) + 2y(t), z⁰(t) =z(t)

(5) x⁰(t) = 2x(t)−y(t), y⁰(t) =y(t), z⁰(t) = 2x(t)−3y(t) +z(t).

V´erifier le r´esultat obtenu.

8.4 R´ eduction de matrices circulantes

On d´efinit les matrices

A(a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) =







a1 a2 a3 a4 a5

a5 a1 a2 a3 a4

a₄ a₅ a₁ a₂ a₃ a₃ a₄ a₅ a₁ a₂ a2 a3 a4 a5 a1







, J =A(0,1,0,0,0).

Exercice 33.

1. V´erifier que l’on a A=a₁Id+a₂J+a₃J²+a₄J³+a₄J⁴

2. On pose ω=e^i2π/5. V´erifier que X_k =





 1 ω^k ω^2k ω^3k ω^4k







est un vecteur propre pour J associ´e `a la

valeur propre ω^k.

3. En déduire la réduction de la matriceJ, puis de la matrice A. Vérifier le résultat.

(43)

8.5. CORRECTION 43

8.5 Correction

########################

#Exercice 1

JordanCase:=proc(A)

P:=Determinant(A-x):L:={solve(P)}:

if(nops(L)=3)then return 1 end:

lambda:=L[1]:

if(nops(L)=2)then dP:=diff(P,x):

if(subs(x=L[2],dP)=0)then lambda:=L[2]:end:

K:=NullSpace(A-lambda):

if(nops(K)=2)then return 2:end:

return 3:

end:

if(Norm(A-lambda)=0)then return 4:end:

K:=NullSpace(A-lambda):

if(nops(K)=2)then return 5:end:

return 6:

end proc:

A[1]:=Matrix([[1,0,0],[-1,0,-3],[0,2,5]]):

A[2]:=Matrix([[1,4,6],[0,-1,-3],[0,2,4]]):

A[3]:=Matrix([[6,10,6],[-4,-7,-5],[3,6,5]]):

A[4]:=Matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]):

A[5]:=Matrix([[0,-1,0],[1,2,0],[0,0,1]]):

A[6]:=Matrix([[2,-1,0],[1,0,0],[2,-3,1]]):

seq(JordanCase(A[i]),i=1..6);

########################

#Exercice 2 Passage:=proc(A) cas:=JordanCase(A):

C:=Determinant(A-x):

L:={solve(C)}:

if(cas=1)then

for j to 3 do K[j]:=op(NullSpace(A-L[j])):od:

end:

lambda:=L[1]:

if(cas=2)then

mu:=L[2]:dC:=diff(C,x):

if(subs(x=L[2],dC)=0)then lambda:=L[2]:mu:=L[1]:end:

Kl:=NullSpace(A-lambda):

K[1]:=Kl[1]:K[2]:=Kl[2]:

K[3]:=op(NullSpace(A-mu)):

end:

if(cas=3)then

mu:=L[2]:dC:=diff(C,x):

(44)

44 CHAPITRE 8. R ´EDUCTION DE MATRICES if(subs(x=L[2],dC)=0)then lambda:=L[2]:mu:=L[1]:end:

V:=NullSpace((A-lambda).(A-lambda)):

K[2]:=V[1]:if(Norm(A.K[2]-lambda*K[2])=0)then K[2]:=V[2]:end:

K[1]:=(A-lambda).K[2]:

K[3]:=op(NullSpace(A-mu)):

end:

if(cas=4)then

return [IdentityMatrix(3),A];

end:

if(cas=5)then

K[3]:=Vector(3):s:=0:while(Norm((A-lambda).K[3])=0) do s:=s+1:K[3][s]:=1:end:

V:=NullSpace(A-lambda):K[1]:=V[1]:

P:=Matrix([seq(K[j],j=1..3)]):

if(Determinant(P)=0)then K[1]:=V[2]:end:

end:

if(cas=6)then

K[3]:=Vector(3):s:=0:while(Norm(((A-lambda)**2).K[3])=0) do s:=s+1:K[3][s]:=1:end:

end:

P:=Matrix([seq(K[j],j=1..3)]):

return [P,P**(-1).A.P];

end proc:

seq(Passage(A[i]),i=1..6);

On trouve les r´esultats suivants







−1 0 0

−2 −3/2 −1

1 1 1





 ,







1 0 0 0 2 0 0 0 3





 ,







1 0 2

0 −3/2 −1

0 1 1





 ,







1 0 0 0 1 0 0 0 2













−2 −4 1

1 0 −1

0 3 1





 ,







1 1 0 0 1 0 0 0 2





 ,







1 0 0 0 1 0 0 0 1





 ,







1 0 0 0 1 0 0 0 1





 ,







0 −1 1

0 1 0

1 0 0





 ,







1 0 0 0 1 1 0 0 1





 ,







0 −1 −3 0 −1 −2

1 0 0





 ,







1 1 0 0 1 1 0 0 1





 .

On noteU_n= (u_n, v_n, w_n). On a alorsU_n+1=AU_n. PuisU_n=AⁿU₀. OrA=P∆P⁻¹. Donc, on calcule dans un premier temps ∆ⁿ qui se calcule suivant les cas 1 `a 6 de l’exercice 2. On a ainsi







λ 0 0 0 µ 0 0 0 ν







n

=







λⁿ 0 0 0 µⁿ 0 0 0 νⁿ







Pour les autres cas, on est amen´e `a calculer

"

λ 1 0 λ

#n

=

"

λⁿ 0 0 λⁿ

# +n

"

λⁿ⁻¹ 0 0 λⁿ⁻¹

#

·

"

0 1 0 0

#

=

"

λⁿ nλⁿ⁻¹

0 λⁿ

# .

(45)

8.5. CORRECTION 45 et







λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ







n

=







λⁿ nλⁿ⁻¹ ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ λⁿ⁻²

0 λⁿ nλⁿ⁻¹

0 0 λⁿ







En se servant de l’exercice pr´ec´edent, on obtient alors

#Exercice 3

Suite:=proc(A,U0)

cas:=JordanCase(A);L:=Passage(A);P:=L[1]:

a:=L[2][1,1]:b:=L[2][2,2]:c:=L[2][3,3]:

Delta:= DiagonalMatrix([a^n,b^n,c^n]):

if(cas=3)then Delta[1,2]:=n*a^(n-1):end;

if(cas=5)then Delta[2,3]:=n*a^(n-1):end;

if(cas=6)then

Delta[1,2]:=n*a^(n-1):Delta[2,3]:=n*a^(n-1):Delta[1,3]:=(n*(n-1)/2)*a^(n-2):

end;

return P.Delta.P**(-1).U0;

end proc:

L:=[1,2,3,5,6]:

for jj to nops(L) do j:=L[jj]:

N:=10:Un:=Suite(A[j],<1,1,1>):

U:=subs(n=N,%):u:=1:v:=1:w:=1:

for i to N do

uo:=u;vo:=v:wo:=w:

if(j=1)then u:=uo:v:=-uo-3*wo:w:=2*vo+5*wo:fi:

if(j=2)then u:=uo+4*vo+6*wo:v:=-vo-3*wo:w:=2*vo+4*wo:fi:

if(j=3)then u:=6*uo+10*vo+6*wo:v:=-4*uo-7*vo-5*wo:w:=3*uo+6*vo+5*wo:fi:

if(j=5)then u:=-vo:v:=uo+2*vo:w:=wo:fi:

if(j=6)then u:=2*uo-vo:v:=vo:w:=2*uo-3*vo+wo:fi:

end:

UU:=<u,v,w>:print(Un,U,Norm(UU-U));

end:

On noteX(t) = (x(t), y(t), z(t)). On a alorsX⁰(t) =AX(t), ce qui donneX(t) = exp(tA)X(0) et exp(tA) =Pexp(t∆)P⁻¹ et on calcule :

exp t







λ 0 0 0 µ 0 0 0 ν







=







exp(λt) 0 0

0 exp(µt) 0

0 0 exp(νt)





 ,exp

t

"

λ 1 0 λ

#

=

"

exp(λt) texp(λt) 0 exp(λt)

# ,

exp t







λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ







=







exp(λt) texp(λt) ^t₂² exp(λt) 0 exp(λt) texp(λt)

0 0 exp(λt)





 .

(46)

46 CHAPITRE 8. R ´EDUCTION DE MATRICES

#Exercice 4

EquaDiff:=proc(A,X0)

cas:=JordanCase(A);L:=Passage(A);P:=L[1]:

a:=L[2][1,1]:b:=L[2][2,2]:c:=L[2][3,3]:

Delta:= DiagonalMatrix([exp(t*a),exp(t*b),exp(t*c)]);

if(cas=3)then Delta[1,2]:=t*exp(t*a):end;

if(cas=5)then Delta[2,3]:=t*exp(t*a):end;

if(cas=6)then

Delta[1,2]:=t*exp(t*a):Delta[2,3]:=t*exp(t*a):Delta[1,3]:=(t^2/2)*exp(t*a):

end;

return P.Delta.P**(-1).X0;

end proc:

for j to 6 do

X:=EquaDiff(A[j],<1,1,1>):

x1:=X[1]:y1:=X[2]:z1:=X[3]:

xp:=diff(x1,t):yp:=diff(y1,t):zp:=diff(z1,t):

if(j=1)then L:=[xp-x1,yp+x1+3*z1,zp-2*y1-5*z1,subs(t=0,X)];fi:

if(j=2)then L:=[xp-x1-4*y1-6*z1,yp+y1+3*z1,zp-2*y1-4*z1,subs(t=0,X)];fi:

if(j=3)then L:=[xp-6*x1-10*y1-6*z1,yp+4*x1+7*y1+5*z1,zp-3*x1-6*y1-5*z1,subs(t=0,X)];fi:

if(j=5)then L:=[xp+y1,yp-x1-2*y1,zp-z1,subs(t=0,X)];fi:

if(j=6)then L:=[xp-2*x1+y1,yp-y1,zp-2*x1+3*y1-z1,subs(t=0,X)];fi:

print(X,simplify(L));

od:

#Exercice 5

N:=5:Ac:=Matrix(N,(i,j)->a[((-i+j) mod N)+1]):b:=Vector(N):b[2]:=1:

J:=subs(a=b,Ac):Ac,Norm(Ac-add(a[i]*J^(i-1),i=1..N));

omega:=exp(I*2*Pi/N):

X:=<seq(exp(I*2*Pi*j*k/N),j=0..N-1)>:assume(k,integer):Norm(simplify(J.X-omega^k*X));

P:=Matrix(N,N,(i,j)->exp(I*2*Pi*(i-1)*(j-1)/N)):

JJ:=DiagonalMatrix([seq(exp(I*2*Pi*(i-1)/N),i=1..N)]):

simplify(P**(-1).J.P-JJ):P,JJ,Norm(%);

AA:=add(a[i]*JJ^(i-1),i=1..5):simplify(P**(-1).Ac.P-AA):P,AA,Norm(%);

(47)

Chapitre 9

R´ eduction de matrices de taille N

Soit Aune matrice de taille N. On peut alors ´ecrire C^N =⊕ⁿ_i=1Ker(A−λ_i)^mⁱ,

ou lesm_i >0 sont le plus petit possible et les λ_i sont les valeurs propres deA.

Exercice 34. Ecrire une proc´edure decomp(A) renvoie la liste [λ1, m1, . . . , λn, mn]. Pour N = 10, trouver des exemples o`un= 2 etm₁= 5,m₂ ∈ {1,2,3,4,5}. Peut-on avoirm₂= 6? SoitP(x) =Qn

i=1(x−λi)^mⁱ. Que peut-on dire de P(A)? V´erifier-le sur les exemples.

Exercice 35. Ecrire une procédureinside(v,L)qui renvoie1 siv∈Vect(L₁, . . . , L_n), avec n = nops(L) et qui renvoie 0 sinon. On rappelle le théorème du rang. Soit A une matrice m×n on a alors

dim(Ker(A)) + rg(A) =n.

Exercice 36. Retrouver alors la décomposition de Jordan pour une matrice taille N. Appli- cation aux suites récurrentes et aux équations différentielles.

47

(48)

48 CHAPITRE 9. R ´EDUCTION DE MATRICES DE TAILLEN

#Exercice 1

decomp:=proc(A)

L:={solve(Determinant(A-x))}:

N:=nops(L):

for i to N do lambda:=L[i]:

B:=(A-lambda):

sold:=0:

snew:=nops(NullSpace(B)):

k:=0:

while(snew>sold) do k:=k+1:

sold:=snew:

B:=B.(A-lambda):

snew:=nops(NullSpace(B)):

od:

M[i]:=k:

od:

for i to N do

LL[2*i-1]:=L[i]:LL[2*i]:=M[i]:

od:

[seq(LL[i],i=1..2*N)];

end proc:

N:=10:

A:=Matrix(N,N,0):

for i to N/2-1 do A[i,i+1]:=1:

od:

for i from N/2+1 to N do A[i,i]:=1:

od:

A1:=Matrix(A):

A2:=Matrix(A):A2[N-1,N]:=1:A2:

A3:=Matrix(A2):A3[N-2,N-1]:=1:A3:

A4:=Matrix(A3):A4[N-3,N-2]:=1:A4:

A5:=Matrix(A4):A5[N-4,N-3]:=1:A5:

decomp(A1),decomp(A2),decomp(A3),decomp(A4),decomp(A5);

verif:=proc(A) L:=decomp(A):

n:=nops(L)/2:

N:=RowDimension(A):

B:=Matrix(IdentityMatrix(N)):

for i to n do

B:=B.(A-L[2*i-1])**(L[2*i]):

od:

Norm(B);

(49)

49 end proc:

verif(A1),verif(A2),verif(A3),verif(A4),verif(A5);

########################

#Exercice 2

inside:=proc(v,L) N1:=nops(L):

N2:=Dimension(L[1]):

M:=Matrix([seq(L[i],i=1..N1)]);

rg1:=N1-nops(NullSpace(M));

M:=Matrix([v,seq(L[i],i=1..N1)]);

rg2:=N1+1-nops(NullSpace(M));

if(rg2=rg1)then return 1;else return 0;end;

end proc:

inside(<1,2,3>,[<2,4,6>,<1,5,2>]);