Espaces vectoriels
par Pierre Veuillez
1 Objectifs :
Disposer d’un lieu o`u les op´erations + et ·se comportent bien.
D´eterminer des bases (utilisation de la dimension)
Repr´esenter les vecteurs grace `a leurs coordonn´ees dans des bases.
Relier les coordonn´ees dans diff´erentes bases grace aux matrices.
2 Espace vectoriel
2.1 Op´ erations
D´efintion (ce que l’on peut y faire) (E,+,·) est un espace vectoril (r´eel) si R`egles de calcul de la loi + :
– Pour tout u et v deE :u+v ∈E (contre exemple ?) Elle est une ”loi de composition interne”
– Pour tout u et v deE :u+v =v+u (est-ce le cas avec toutes les op´erations ?) – Il existe un ´el´ement neutre (comment le note-t-on ? peut-il y en avoir 2 ?) – Tout ´el´ement u deE a un oppos´e not´e −u. (signification ?)
– Pour tout u, v etw de E :u+ (v+w) = (u+v) +w (quelle est l’utilit´e ?).
Elle est associative.
R`egles de calcul de la loi·
– Pour tout u deE et α deR:α·u∈E (contre exemple ?).
Elle est une ”loi de composition externe”
– 1 est neutre pour ·(signifiation ? Dans R, 1 est-il neutre pour + ?) – Pour tout α et β de R etu deE : (α·β)·u=α·(β·u).
Elle est ”pseudo-associative” (pourquoi pseudo ?) R`egles de calcul entre + et·
– Pour tout u et v deE etα de R:α·(u+v) = α·u+β·v.
Elle est distributive.
– Pour tout u deE et α etβ de R: (α+β)·u=α·u+β·u (pseudo-distributive ) Cons´equences (ce que l’on peut aussi y faire) A d´emontrer pour jouer un peu
Si (E,+,·) est unR−espace vectoriel alors
– Pour tout u deE : 0R·u= 0E (id´ee : 0R·u+ 1·u=. et donc ?) – Pour tout α de R:α·0E = 0E
0E est un ´el´ement absorbant.
– Pour tout u deE :u+u= 2·u (id´ee 1·u=u et donc ?) – Pour tout u deE :−1·u=−u(id´ee : qu’est ce que −u? )
– Pour tout u deE et α deR: α·u= 0 ⇐⇒? (Id´ee : qu’est-ce que ”simplifier par ” α?) Mise en garde le produit et le quotient de deux vecteurs n’est pas d´efini dans le cadre d’un espace
vectoriel.
(Il faut ˆetre dans une ”alg`ebre” ).
Th´eor`eme Pour toutu non nul deE etα etβ deR: si α·u=β·u alors α=β (quelle est le nom de cette propri´et´e ?)
Notation Quand il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on dira l’espace vectoriel E au lieu de (E,+,·) et on notera αu au lieu de α·u.
3 R´ ef´ erences
On n’a besoin de v´erifier ces 10 r`egles de calculs que pour quelques r´ef´erences `a partir desquels on pourra construire de nouveaux espaces !
Th´eor`eme Pour tout n et p entier, (Rn,+,·) : (Mn,p(R),+,·) : (R[X],+,·) : (Rn[X],+,·) sont des espaces vectoriels.
que sont les op´erations, l’´egalit´e, le vecteur nul ?
Th´eor`eme (Produit cart´esien) Si (E,+·) et (F,+·) sont des espaces vectoriels alors (E×F,+,·).
Quels sont les ´el´ements de E×F ? Comment d´efinit on l’´egalit´e , les op´erations. ? Quel est le vecteur nul ?
Th´eor`eme (Applications) Si (E,+,·) et un espace vectoriel et E un ensemble non vide alors (A(E, E),+,·) est un espace vectoriel.
Qu’est-ce qu’une application ? Comment d´efinit on l’´egalit´e , les op´erations. ? Quel est le vecteur nul ?
Exercice Dans (A(]0,+∞[ ;R) ,+,·) montrer que la famille (ln,exp) est libre.
Id´ee des preuves ces th´eor`emes viennent de la d´efinition des op´eration, qui se font sur les compo- santes r´eelles.
4 Sous-espaces vectoriels.
4.1 Caract´ erisation
D´efinition (E,+,·) un espace vectoriel.
F est une sous espace vectoriel de (E,+,·) si F ⊂E et si (F,+,·) est un espace vectoriel.
Que signifie l’inclusion F ⊂E?
LE th´eor`eme (E,+,·) un espace vectoriel (de r´ef´erence, et ne s’appelant pas E en g´en´eral).
F est un sous espace vectoriel de (E,+,·) si – F ⊂E
– 0E ∈F
– Pour tout u et v deF etα et β de R on a αu+βv ∈F On dit que F est stable par combinaison lin´eaire.
Id´ee de la preuve Les lois externes αu=αu+ 0u∈F et interne : u+v = 1u+ 1v ∈F Les autres propri´et´es ´etant vraies dans E, elles le sont dans F.
Exercice Soit E ={f ∈C1(R,R) / f −f0 = 0}
Montrer que (E,+,·) est un espace vectoriel
Exercice Soit A ∈ M3,3(R) et E ={M ∈ M3,3(R) / AM =M A}. Montrer que (E,+,·) est un espace vectoriel.
4.2 Sous espace engendr´ e
D´efinition Dans un espace vectorielE,un vecteuruest combinaison lin´eaire des vecteursu1,· · · , un deE si il existe des r´eels (param`etres) α1,· · · , αn tels que u=α1u1+· · ·+αnun
Exercice Montrer que (5,12,13) est combinaison lin´eaire de (1,2,3) et de (1,3,2).
D´efintion Soit E un vecteur espace vectoriel et u1,· · · , un des vecteurs de E.
Le sous espace vectoriel engendr´e par (u1,· · · , un) estF ={α1u1+· · ·+αnun / α1,· · ·, αn∈R}
On le note F = Vect (u1,· · · , un)
Quel est le travail `a faire pour arriver `a une telle ´ecriture ?
Comment montrer qu’un vecteur u appartient `a un tel ensemble ? Plus rare (ui)i∈I une famille de vecteurs (infine) de E.
Vect (ui)i∈I est l’ensemble des combiniasons lin´eaires finies de vecteurs de (ui)i∈I Par exemple Vect (Xi)i∈
N
est l’ensemble des polynˆomes. (on n’a qu’un nombre fini de monˆome dans chaque polynˆome)
Exercice Ecrire les ensembles suivants sous forme de sous espace engendr´e, et pr´ecisez dans quel espace vectoriel.
Id´ee : il faut param`etrer les ´el´ements.
E =
x→αln (x) +βexp (x) pour x∈R∗+ / α, β ∈R F ={M ∈ M2(R) / AM =M A} avec A=
1 0 0 0
G=
(x, y, z)∈R3 /
x+y+z = 0 x+ 2y= 0
H ={P ∈R2[X] / P −XP0 = 0}
Exercice Montrer que (5,12,13)∈Vect ((1,2,3) , (1,3,2))
L’AUTRE th´eor`eme Soit E un vecteur espace vectoriel et u1,· · · , un des vecteurs de E.
Alors Vect (u1,· · · , un) est un sous-espace vectoriel de (E,+, .) et donc (Vect (u1,· · · , un),+,·) est un espace vectoriel !
Id´ee de la preuve La combinaison de deux combianison en est encore une. Puis on applique LE th´eor`eme.
Exercice Montrer que les ensembles ci dessus sont des espaces vectoriel.
Conclusion Quand on a facilement acc`es `a une ´ecriture param`etrique de l’ensemble, on en d´eduit l’´ecriture Vect (· · ·) et donc la structure d’espace vectoriel.
5 Bases
5.1 Famille g´ en´ eratrice
D´efinition Soit E un espace vectoriel et (u1,· · · , un) un famille de vecteur deE.
(u1,· · · , un) est g´en´eratrice de F siF = Vect (u1,· · · , un)
Cons´equence F = Vect (u1,· · · , un) alors pour tout vecteur de u deF,
il existe une ´ecriture (des r´eels α1,· · · , αn tels que ) u=α1u1+· · ·+αnun Exercice D´eterminer des famille g´en´eratrices des ensembles E, F, G et H ci-dessus.
Remarques Si on ajoute des vecteurs `a une famille g´en´eratrice, la famille r´esultante (sur-famille) est encore g´en´eratrice. (pourquoi ?)
Si on change l’ordre des vecteurs, la famille reste g´en´eratrice.
5.2 Famille libre
D´efinition E un espace vectoriel. Une famille (u1,· · · , un) de vecteurs de E est libre si pour tous r´eels α1,· · · , αn
siα1u1+· · ·+αnun= 0 alors α1 = 0, · · · , αn= 0.
Oon dit aussi qu’ils sontlin´eairement ind´ependants
Cons´equence Si (u1,· · ·, un) est libre et que α1u1+· · ·+αnun =β1u1 +· · ·+βnun alors ? Si l’´ecriture u=α1u1+· · ·+αnun existe, elleest unique.
Comment montrer qu’une famille n’est pas libre ?
Remarque Si on retire des vecteurs d’une famille libre, la famille r´esultante (sous-famille)est encore libre.
Exercice Montrer que les familles suivantes sont libres : (qu’est-ce qu’un vecteur nul ?)
((1,0,1) , (1,1,0) ,(0,1,1)) 1 0
0 1
, 0 1
1 0
, 1 2
3 4
(ln ,exp) dans A(]0,+∞[ , R) (X2+X+ 1 , X2+ 2X+ 2)
Exercice Les familles suivantes sont-elles libre ? ((1,2),(1,2))
((1,2,1) , (2,1,2) , (6,5,6)) (X , X2)
Cas particuliers Pour un vecteur seul : (u) est libre si et seulement si ...
Pour deux vecteurs : (u, v) est libre si et seulement si ...
Une famille (u1,· · · , um) de Rn est ´echelonn´ee si chaque vecteur poss`ede une composante non nulle, qui ´etait nulle dans tous les pr´ec´edents.
Une telle famille est llibre : la relation de libert´e se r´esout en cascade.
Exemple : Montrer que ((1,0,0),(−1,1,0),(1,0,1)) est libre. Comment les disposer pour bien le voire ?
5.3 Base et coordonn´ ees
D´efinition E un espace vectoriel.
B= (u1,· · · , un) est une base de E si elle est g´en´eratrice de E et libre.
Exercice Soit E ={(x, y, z)∈R3 / x−y+z = 0}
Montrer que E est un espace vectoriel et en d´eterminer une base B.
Traduction, coordonn´ees Cela signifie que u1,· · · , un sont vecteurs deE et que pour toutu de E il existe des uniques α1,· · · , αn tels que u=α1u1+· · ·+αnun. Ce sont les coordonn´ees de u dans la baseB.
Notation On notera coordB(u) les coordonn´ees de u dans B et matB(u) la matrice colonne de ses coordonn´ees.
Comment trouver le vecteur `a partir de ses coordonn´ees dans la base B? Comment trouver les coordonn´ees dans la base B `a partir du vecteur ? Exercice Avec l’espace vectoriel E et la base B ci dessus,
d´eterminer le vecteur de coordonn´ees (1,2) dansB.
Montrer que (1,2,1)∈E et d´eterminer ses coordonn´ees dans la base B.
Comment montrera-t-on que C = ((1,2,1) , (1,0,−1)) est une autre base de E? Op´erations Les op´erations sur les coordonn´ees se font comme sur les vecteurs :
(Appellation savante : u→coordB(u) est un isomorphisme de E dans Rn)
coordB(αu+βv) = αcoordB(u) + βcoordB(v) ; u = 0 ⇐⇒ coordB(u) = 0 ; Pour chaque n−uplet il existe un unique vecteur u deE dont ce sont les coordonn´ees dans la base B.
Jouer avec les d´efinitions D´emontrer les affirmation pr´ec´edente.
5.4 Les bases canoniques
Th´eor`eme Dans Rn les vecteurs : u1 = (1,0,· · ·,0), u2 = (0,1,· · · ,0)· · · , un = (0,0,· · · ,1) forment une base appel´ee base canonique de Rn (g´en´eralement appel´eeB dans les ´epreuves de
concours)
Pour tout vecteur u = (x1, x2,· · · , xn) de Rn, ses coordonn´ees dans la base canonique sont : ...
Exercice le d´emontrer.
Th´eor`eme Dans Rn[X], la famille (1, X, X2,· · · , Xn) forme une base appel´ee base canonique.
Pour tout poynˆome P = a0 +a1X +· · · +anXn de Rn[X], ses coordonn´ees dans la base canonique sont : ...
Th´eor`eme Dans Mn,p(R) les matrices : e1,1 =
1 0· · · 0 ...
0 0
, · · · , e1,p =
0 · · ·0 1 ...
0 · · · 0
et ainsi de suite
en,1 =
0 · · · 0 ...
1 0· · · 0
, · · · , en,p=
0 · · · 0 ...
0 · · ·0 1
forment une base appel´ee base canonique deMn,p(R) Exercice Quelles sont les coordonn´ees de
1 2 0 3 1 2
dans la base canonique deM2,3(R) ?
6 Dimension finie
Grace `a la dimension, il suffit de faire le travail `a moiti´e.
6.1 D´ efintion de la dimension
D´efintion (E,+,·) un espace vectoriel est ”de dimension finie” s’il a une famille g´en´eratrice finie.
Th´eor`eme Si (E,+,·) un espace vectoriel est ”de dimension finie” il a alors une base ayant un nombre fini de vecteurs.
M´ethode Soit (u1,· · · , un) une famille g´en´eratrice de E li´ee.
Il existe alors une combiniaison lin´eaireα1u1+· · ·+αnun = 0 nulle `a coefficients non tous nuls (αn par exemple).
Alorsun est combinaison lin´eaire des autres (comment ?) Alors (u1,· · · , un−1) est encore g´en´eratrice deE, en effet :
Comme (u1,· · · , un) est g´en´eratrice deE,pour tout vecteuru deE, il existe (β1,· · · , βn) r´eels tels que u=β1u1+· · ·+βnun
Ce qui se r´e´ecrit en combinaison lin´eaire de (u1,· · · , un−1) (comment ?)
Conclusion : en retirant un vecteur combiaison lin´eaire des autres, la famille r´esultante est encore g´en´eratrice.
Pour obtenir une base, il suffit alors de r´eit´erer le proc´ed´e ; jusqu’`a quand ?. (r´ecurrence d´ecroissante)
Exercice Soit E = Vect ((1,1,3) , (1,−1,1) , (1,0,2) , (1,3,5)) D´eterminer une base de E.
Th´eor`eme d´efinition de la dimension (admis) Si E est de dimension finie, toutes les bases ont le mˆeme nombre de vecteurs.
Le nombre de vecteurs d’une base est appel´e dimension de E.
Convention SiE ={0} (r´eduit au vecteur nul) alors dim (E) = 0
R´ef´erences dim (Rn) =n ; dim (Rn[X]) =n+ 1 ; dim (Mn,p(R)) =n·p
6.2 Th´ eor` emes ´ economes (admis)
Th´eor`eme n´egatif Si E est de dimension n alors, pour toute famille L libre de E et toute famille g´en´eratrice G de E,leur nombre de vecteurs v´erifie :
|L| ≤dim (E)≤ |G| (pourquoi n´egatif ?) Th´eor`eme affirmatif Soit E est de dimensionn.
SiL est une famille libre de E den vecteurs alors L est une base de E
SiG est une famille g´en´eratrice de E den vecteurs alors G est une base de E.
Th´eor`eme sous espaces SiE est de dimension finie, et F est un sous espace de E,alosr F est de dimension finie et dim (F)≤dim (E).
De plus F =E ⇐⇒dim (F) = dim (E)
Exercice Soit B= ((1,2),(2,1),(1,1)), est-elle libre dans R2? Soit B= ((1,1,1) ,(1,2,1)) est-elle g´en´eratrice deR3? Exercice Soit F = Vect ((1,2),(2,1)). Montrer que F =R2.
6.3 Matrice de changement de base
D´efinition Soit E un espace vectoriel de dimension n, et B une base de E.
Soit C = (e1,· · · , en) une famille de vecteurs de E.
On note matB(C) la matrice des coordonn´ees (en colonnes) des vecteurs de C.dans B
D´efinition Si B et C sont des bases de E alors matB(C) est appel´ee matrice de passage de B dans C.
Exemple B la base canonique deR2 et C = ((1,2),(0,1)) autre base La matrice de passage deB dans C est matB(C) =
1 0 2 1
. (Comment obtient on les coordonn´ees ?)
Th´eor`eme Soient B et C deux bases de E etu un vecteur alors matB(u) = matB(C)·matC(u). Th´eor`eme AvecE de dimension n etC une famille den vecteurs deE et B une basede E,
C est une base de E si et seulement si matB(C) est inversible.
Son, inverse est alors matC(B).
Cons´equence une matrice carr´ee est inversible si et seulement si ses colonnes sont libres.
Cas particulier Une matrice triangulaire est donc inversible si et seulement si aucun terme de la diagonale n’est nul.
(Dans quel cas est-elle non inversible ?)
7 Savoirs faire
Espace vectoriel Montrer que l’on a un sous espace vectoriel, un sous espace engendr´e.
Bases Montrer qu’une famille est libre.
Trouver une famille g´en´eratrice.
Trouver et utiliser la dimension.
Trouver les coordonn´ees.
Utiliser les coordonn´ees.
