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Suites et séries / 3e_niveau avancé  / 20-21

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Academic year: 2021

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(1)

SUITES ET SÉRIES *

3

ème

année (niveau avancé)

3.1 Définition d’une suite *

1

3.2 Convergence d’une suite *

4

3.3 Suites arithmétiques *

6

3.4 Suites géométriques *

7

3.5 Séries et sommes partielles *

12

3.6 La démonstration par récurrence *

21

3.7 Critères de convergence des séries

à termes positifs *

25

3.8 Séries alternées *

31

3.9 Convergence des séries à termes

quelconques *

32

3.10 Ce qu’il faut absolument savoir *

34

3.11 Solutions des exercices *

35

(2)

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(3)

3 Suites et séries *

3.1 Définition d’une suite *

Définition *

Une suite (réelle) est une application de *dans . On la note u :* →

Les termes de la suite sont donc

On appelle u le terme de rang ou terme général de la suiten

( )

un n∈*.

Illustration * 1 2 3 n u : 1 u 2 u 3 u ... n u → → → → →  

Il y trois façons de définir une suite (réelle) : a) en donnant le terme général :

n∈ . La suite est donc : *1 ;2 ;7 ;14 ;23 ...n∈ . La suite est donc :* 1 2 3 4; ; ; ;...

2 3 4 5

• pour *

n la suite est appelée suite harmonique : 1; ; ; ; ;...1 1 1 1 2 3 4 5

un =n !def .= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 3 4 ... n 1 n⋅ − ⋅ pour

(

)

*

n∈ . La suite (factorielle) est donc : 1 ;2 ;6 ;24 ;120 ;720 ;....

Une touche qui permet d’effectuer cette opération, existe sur les calculatrices scientifiques.

 notation ( ) n nu n = u 1; 2;....; n;... u u u n 2 2 n u =n − 1 n n u n = + 1 n u n = • • • • • • 1 2 3 4 n

(4)

b) en donnant un procédé de récurrence permettant de déterminer le terme u en fonction des n

termes précédants :

• la suite est donc : 1;6;16;36;...

• la suite (de Fibonacci) est donc : 1;1;2;3;5;8;13;21;... • L’algorithme d’Héron d'Alexandrie :

Calculer la racine carrée d'un nombre n'est pas si facile (par exemple calculer la racine de 2). Pour calculer une valeur approchée de N pour un nombre réel positif N, il existe

une formule de récurrence dont la découverte est attribuée à Héron :

n 1 n n 1 N u u 2 u +   = ⋅ +   et 1 N u 2 =

Activité : On cherche une approximation de 2

(

N =2

)

1 2 3 4 u u u u ... = = = =

Remarque : On itère jusqu'à obtenir la précision souhaitée. Explications :

On peut se convaincre facilement du bien fondé de l'algorithme.

Soit u une approximation par défaut de N ; 1 N / u en est alors une approximation par excès. 1

On choisit alors leur moyenne arithmétique u2 comme nouvelle valeur approchée de N .

En poursuivant de même, en calculant N / u puis u2 3, on obtient des approximations de plus

en plus fines de N .

Il est clair que le choix d'une approximation u1 par excès peut aussi être envisagé. Dans ce cas

1

N / u sera alors une approximation par défaut.

1 1 et n 2 n 1 4 u = u = u + 1 2 1 et n n 1 n 2 u =u = u =u +u u2 u1 N/u1

(5)

c) en donnant la liste partielle des termes : 1;2;3;...1 ; 1 ; 1 ;... 10 20 301; 1;1; 1;1; 1;1; 1;...− − − − Remarque :

Déterminer le terme général d’une suite à partir d’une liste partielle de terme peut s’avérer compliqué.

Exercice 1 *

Écrire les quatre premiers termes des suites dont le terme général est donné ci-dessous : a) n 1 n 2 u n − = b) n n 2 ( 1 ) u n − = c) un = −( 1 )n 1+ d) un

( )

2n ! n ! = pour * n∈ Exercice 2 *

Calculer les 6 premiers termes des suites ci-dessous définies par récurrence : a) u1 = et 7 un = + ⋅2 3 un 1 b) u1 = et 0 un 1 n u =2c) u1 =2 ; u2 =3 ; u3 =0 ; un = ⋅2 un 1− + ⋅3 un 2− −un 3Exercice 3 *

Déterminer le terme général des suites ci-dessous définies par une liste :

(

n∈*

)

a) 1;4;9;16;25; . . . g) 1;0;1;0;1; . . . b) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ h) 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ... 24 816 32 c) 1 2 3 ; ; ; ; 4 5 ... 3 5 7 9 11 i) 1 3 5 7 9 ; ; ; ; ... 2 4 6 8 10 d) 1 3 5 ; ; ; ; ...7 9 3 4 5 6 7 j) 6;9;12;15;18 ;e) 1 ; 1 ; 1 ; 1 ... 1 3 3 5 5 7 7 9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k) 4 5 6 7 ; ; ; ;... 1 32 43 54 6f) 1;8 ;27;64;125 ; . . . l) 3 ; 9 ; 27 ; 81 ;... 10 100 1' 000 10' 000

(6)

3.2 Convergence d’une suite *

Définitions *

Soit

( )

un n∈* une suite (réelle).

• La suite est croissante (décroissante) *

(

*

)

n n 1 n n 1

u u + n u u + n

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈

• La suite est majorée (minorée)

⇔ ∃ ∈α  tel que un ≤ ∀ ∈α n*

(

∃ ∈β  tel que un ≥β ∀ ∈n*

)

• La suite est bornée elle est minorée et majorée.

Exemples *

a) La suite définie par un n n * n 1

= ∀ ∈

+  est croissante. En effet,

b) La suite définie par

n * n 1 u n 2   =  ∀ ∈    est bornée. En effet, 0 1 1 1; ; ;... 1 2 4 8 β = ≤ ≤ = α Définition *

Soit une suite

( )

un n∈* .

• On dit que la suite converge si existe et est une valeur réelle. • On dit que la suite diverge si existe et est une valeur infinie. • On dit que la suite diverge par oscillation si n’existe pas.

Exemples*

a) La suite définie par converge. En effet, b) La suite définie par un =n2100 ∀ ∈n* diverge. En effet,

c) La suite définie par un = −

( )

1 n ∀ ∈n* diverge par oscillation car : un 1 si n est pair 1 si n est impair  =   Autrement dit : −1 ;1 ; 1 ;1 ; 1 ;1 ; 1 ;....− − −

d) 1 ;2 ;3;4 ;1 ;2 ;3;4 ;1 ;2 ;3;4 ;.... diverge par oscillation. ⇔  2 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) n n n n n n n n n u u n n n n n n ∈ + + + + − − − = − = = > + + + + + +  1 n n u + u ⇒ > lim n n→∞u lim n n→∞u lim n n→∞u * 3 2 n n u n n + = ∀ ∈  3 1 3 1

lim lim lim

2 2 2 n n n n n n n u n n →∞ →∞ →∞  +    + = = = 2 lim n lim 100 n→∞u =n→∞n − = +∞ u0 u1 u2 1= α β= 0 ....

(7)

Théorème de convergence*

1) Si une suite

( )

un n∈* est croissante et majorée alors elle converge.

2) Si une suite

( )

un n* est décroissante et minorée alors elle converge.

Illustration

Démonstration * (par l’absurde)

Considérons une suite

( )

un n* croissante et majorée.

Autrement dit : *

n n 1 n

uu + et u ≤α ∀ ∈n  α∈ . • Supposons que cette suite diverge :

On a alors que n n

n n

lim u ou lim u

→∞ = +∞ →∞ = −∞ et on a une contradiction avec

( )

un n∈* majorée.

• Supposons que cette suite diverge par oscillation : On a alors une contradiction avec

( )

un n∈* croissante.

• Conclusion : La suite

( )

un n∈* converge.

On montre de même qu’une suite décroissante et minorée converge.

Exercice 4 *

Déterminer si les suites définies par leur terme général convergent ou divergent.

(

n∈*

)

a) un 2n 3 n 1 + = + b) 2 n n 1 u n 2 − = + c) un = +3 2 n

(

1

)

d) 2 n 1 u 4 2   = ⋅   e) un =n , kk ∈ f) un cos n 2 π   =   g) un ( 1 )n n 1 n + = − h) un = n+ −1 n Exercice 5 *

a) Montrer que la suite un n 1 n * n 2

+

= ∈

+  converge sans calculer de limites. b) Montrer que la suite un 2n n *

n 1

= ∈

+  converge sans calculer de limites.

Indication : utiliser le théorème de convergence.

u1 u2 u3 β .... u3 u2 u1 .... α

(8)

3.3 Suites arithmétiques *

Définition *

On appelle suite arithmétique (ou progression arithmétique)

une suite définie par récurrence telle que : un 1+ =un+r ∀ ∈n* et r∈

Le nombre r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Exemples *

a) Si alors on obtient la suite arithmétique : − −3 ; 1 ;1 ;3 ;5;.... b) Si alors on obtient la suite arithmétique : 9 ;4 ; 1 ; 6 ;....− − Remarque *

Si la suite est arithmétique alors r=un 1+ −un

Proposition *

Si

( )

un n* est une suite arithmétique de premier terme u et de raison r 1

alors le terme général est :

(

)

*

n 1

u =u +r n1 ∀ ∈n

Exemple *

On veut insérer 5 termes entre 4 et 22 afin d’obtenir une suite arithmétique.

On a 7 termes avec .

Les 5 termes à insérer sont : 7 ;10 ;13 ;16 ;19. Démonstration * (par récurrence)

Par hypothèse : *

n 1 n

u + =u +r ∀ ∈net r∈ Nous pouvons écrire :

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1 u u r 0 u r 1 1 u u r u r 2 1 u u r u r r u r 2 u r 3 1 ... = + ⋅ = + ⋅ − = + = + ⋅ − = + = + + = + ⋅ = + ⋅ −

Supposons par hypothèse que : un = +u1 r n 1

(

− pour

)

*

n∈

(

)

(

(

)

)

Hyp . n 1 n 1 1 1 u + =u + =r u +r n 1− + =r u + ⋅ =r n u +r n 1+ −1 Donc

(

)

* n 1 u =u +r n 1− ∀ ∈nRemarque *

Une suite arithmétique est entièrement déterminée par u1 et r .

1 3 et 2 u = − r= 1 9 et 5 u = r = − 1 4 7 22 4 (7 1) 3 u = u = = +r − ⇒ =r

(9)

Proposition *

Une suite arithmétique

( )

un n∈* diverge (sauf si et dans ce cas la suite est constante).

Exemples * a) − −3 ; 1 ;1 ;3 ;5;.... diverge (r= ). 2 b) 1 ;1 ;1 ;1 ;1;.... converge (r=0). Démonstration *

(

)

(

)

(

)

n 1 1 1 n n n 1 si r 0 diverge

lim u lim u r n 1 u r lim n 1 u r si r 0 diverge

u si r 0 converge →∞ →∞ →+∞ +∞ >   = + − = + ⋅ − = + ⋅ +∞ = −∞ <  =

3.4 Suites géométriques *

Définition *

On appelle suite géométrique (ou progression géométrique) une suite définie par récurrence telle que : *

n 1 n

u + =uq ∀ ∈net q∈

Le nombre q est appelé la raison de la suite géométrique. Exemples *

a) Si u1 1 et q 1 2

= = alors on obtient la suite géométrique :

b) Si u1 3 et q 1 3

= = − alors on obtient la suite géométrique :

Remarque *

Si la suite est géométrique alors n 1

n u q u + = Exemple *

On veut insérer 4 termes entre 4 et afin d’obtenir une suite géométrique.

On a 6 termes avec

Les 4 termes à insérer sont : 6 ;9 ;27 81; 2 4 . 0 r = 1 1 1 1; ; ; ;... 2 4 8 1 1 1 3; 1; ; ; ;.... 3 9 27 − − 243 8 6 1 5 1 6 243 243 3 4 4 8 32 2 u = u = = ⋅q − ⇒ =q =

(10)

Proposition *

Si

( )

un n* est une suite géométrique de premier terme u et de raison q 1

alors le terme général est : n 1 *

n 1

u =u q⋅ − ∀ ∈n

Démonstration * (par récurrence)

Par hypothèse : *

n 1 n

u + =uq ∀ ∈net q∈ Nous pouvons écrire :

(

)

0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 3 2 1 1 1 u u 1 u q u q u u q u q u q u u q u q q u q u q ... − − − = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Supposons par hypothèse que : un = ⋅u q1 n 1− pour *

n∈

(

)

( ) Hyp . n 1 1 n 1 n n 1 n 1 1 1 u + =u ⋅ =q u q⋅ − ⋅ = ⋅q u q = ⋅u q + − Donc n 1 * n 1 u = ⋅u q − ∀ ∈n

Remarque * Une suite géométrique est entièrement déterminée par u1 et q .

Proposition *

Si

( )

un n* est une suite géométrique de raison q

alors : 1) elle converge si q∈ −

]

1;1

]

2) elle diverge si q∉ −

]

1;1

]

Exemples a) 2 ;4 ;8 ;16 ;32;.... diverge (q=2) car n 1 nlim 2 − →+∞ = +∞ b) 1 1 1; ; ; 1 ; 1 ;.... 2 4 8 16 32 converge 1 q 2=      car n 1 n 1 n n 1 1 1 lim lim 0 2 2 − − →+∞ →+∞   = = =   +∞   Démonstration * En effet, si

(

n 1

)

( )

n 1

( )

n 1 1 1 n n n

q 1 alors lim u lim u qu lim qu

→+∞ →+∞ →+∞

> = = ⋅ = ⋅ +∞ = ±∞ diverge

si

(

n 1

)

( )

n 1

n 1 1 1 1

n n n

q 1 alors lim u lim u qu lim 1u 1 u

→+∞ →+∞ →+∞

= = = ⋅ = ⋅ = converge

si

(

n 1

)

( )

n 1

n 1 1 1

n n n

1 q 1 alors lim u lim u qu lim qu 0 0

→+∞ →+∞ →+∞

− < < = = ⋅ = ⋅ = converge

si q= −1 alors u ; u ; u ; u ;u ; u ;...11 11 11 diverge par oscillation. si 1

1

1 2

1 3

1 4

0 0 0 0 0

q 1 alors u ; u q ; u q ; u q ; u q ;...

> < > < >

(11)

Exercice 6 *

Soit

( )

un n∈* une suite arithmétique dont le premier terme vaut 4 et dont la raison vaut 9.

a) Écrire les 7 premiers termes de cette suite. b) Écrire le 176ème terme de cette suite. Exercice 7 *

Soit

( )

un n∈* une suite arithmétique dont le dixième terme vaut 16 et le douzième vaut 140.

a) Que vaut le 11ème terme de la suite ?

b) Calculer le premier terme et la raison de cette suite. c) Écrire les 6 premiers termes de cette suite.

d) Un terme de cette suite vaut 636 . Déterminer par un calcul, le rang n du terme. Exercice 8 *

On considère une suite arithmétique

( )

an n∈* de raison r . Démontrer que la suite

( )

bn n∈* définie

par bn = − ⋅ + est aussi une suite arithmétique ; quelle en est la raison ? 3 an 2

Exercice 9 *

Calculer la valeur de k pour que k1 ; k +3 ; 3k1;....soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique.

Exercice 10 *

Calculer les 5 premiers termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. Exercice 11 *

a) Donner la raison et le treizième terme de la suite géométrique dont voici les 5 premiers termes : 7 ; 21 ; 63 ; 189 ; 567 ; ...

b) Un terme de cette suite vaut 100' 442' 349. Déterminer par un calcul, le rang n du terme. Exercice 12 *

a) Le deuxième terme d'une suite géométrique

( )

an n∈* est 3 et le cinquième

81 8 .

Calculer le 8ème terme de cette suite.

b) Le premier terme d’une suite géométrique

( )

bn n*est 8 et le troisième 18.

Calculer le cinquième terme de cette suite.

c) Le dixième terme d'une suite géométrique

( )

cn n∈* est 15’360 et le onzième terme 30’720.

(12)

Exercice 13 *

a) Déterminer si les suites ci-dessous forment des suites : arithmétiques, géométriques ou autres. b) Donner la raison de la suite si elle est arthmétique ou géométrique.

c) Déterminer le terme général de chaque suite.

(

n∈*

)

d) Calculer le 10e terme de chaque suite.

e) Déterminer si les suites ci-dessous convergent ou divergent. 1) 7 1 2 ; ; 8 2 7 ; .... 2) 1 5 7 ; 1 ; ; 3 3 3 ;.... 3) 1 ; 4 ; 9 ;16 ; ... 4) 1 ;2 ; 3 ;4 ; 5 ;....− − 5) 1 ; 0,1 ; 0,01 ;.... 6) x8 ; x3 ; x+2 ;... 7) un =4n 10n∈* 8) 2 ; 2x 1+ ;22 x 1+ ;.... 9) log 3 ;log 9 ;log 27 ;....

( )

( )

( )

10) 1 ; 3 ; 3 ;... 11) un =n210 n∈* 12) 1 ; 1 2 ; 1 2 3 ;1 2 3 4 ; ...⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Exercice 14 *

a) Insérer 7 termes entre 5 et 21 afin de créé une progression arithmétique. b) Insérer 7 termes entre 5 et 32’805 afin de créé une progression géométrique.

Exercice 15 *

On suppose que la population P d'une ville croît annuellement suivant le même pourcentage de 6%. Autrement dit : pn 1 pn 6 pn n *

100

+ = + ∈

En 1980, la population de cette ville était de 1'000'000 habitants. a) Déterminer la population en 1981, 1982 et 1983.

b) Montrer que la suite

( )

pn n∈* est une suite géométrique et donner son terme général.

c) Calculer la population de cette ville en l'an 2000. Exercice 16 *

Déterminer les 4 angles d'un quadrilatère sachant qu'ils sont en progression arithmétique et que le plus petit angle vaut 45°.

(13)

Exercice 17 *

Dans un récipient contenant 24 litres d'alcool, on retire 6 litres d'alcool que l'on remplace par de l'eau. Puis l'on retire 6 litres du mélange que l'on remplace à nouveau par de l'eau et ainsi de suite. a) Si l'on répète en tout 5 fois cette procédure, quelle quantité d'alcool restera-t-il dans le réservoir ? b) Combien de procédures faut-il appliquer, pour que la quantité d'alcool dans le récipient soit de 1 litre.

Indication : construire une suite

( )

an n∈* dont a représente la quantité d’alcool dans le récipient n après n procédures .

Exercice 18 *

La première marche d'un escalier qui donne accès à une église a 20 m de longueur, les autres diminuent régulièrement de 0,7 m de telle sorte que la dernière n'a que 8,1 m.

(14)

3.5 Séries et sommes partielles *

Définition *

Soit une suite

( )

un n∈* , le symbole

m k k 1

u

=

représente la somme des m premiers termes de la suite. Autrement dit :

m k 1 1 1 m 1 m k 1 u u u u .... uu = = + + + + +

Exemples * a) un =n n∈* et 10 k 1 k 1 2 3 ... 9 10 55 = = + + + + + =

b) un =n2 n∈* et 8 2 2 2 2 2 k 3 k 3 4 ... 7 8 199 = = + + + + =

c)

(

)

* n u =n n1 n et 4 k 2 k( k 1 ) 2( 2 1 ) 3( 3 1 ) 4( 4 1 ) 20 = − = − + − + − =

d) un =2 n∈* et 10 k 1 10 fois 2 2 2 2 ... 2 10 2 20 = = + + + + = ⋅ =

 Remarques *

a) La lettre majuscule grecque sigma,

, indique une somme et le symbole u le kk ième terme

de la suite. La lettre k est l’indice de sommation. b) m m k 1 1 1 m 1 m j k 1 j 1 u u u u .... u u u = = = + + + + + =

Autrement dit : La lettre utilisée comme indice de sommation est sans influence sur le résultat.

Exercice 19*

a) Calculer/développer les sommes suivantes : 1) 6 i 0 ( 2 i 1 ) = ⋅ +

2) 8 i 3 i 3 =   −   

3) 8 i 3 ( i 3 ) = −

4)

( )

4 k 1 k 1 3 − = −

5)

( )

5 k k k 2 1 c = − ⋅

6) 4 j j 1 j c j 1 = ⋅ +

b) Écrire à l’aide de la notation Σ :

1) 1 3 5+ + + ... 73+ 2) 1 1 1 1 1 1 1 1

2+ + +4 8 16 +32+64+128 +256

3) 6+ +8 10 12 ... 24+ + + 4) 1 2 4 8 16 32 64

(15)

Exercice 20 *

Soit deux suites

( )

an n∈* et

( )

bn n∈*.

Démontrer les égalités suivantes :

a)

(

)

n n n * k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b n = = = + = + ∀ ∈

b)

(

)

n n n * k k k k k 1 k 1 k 1 a b a b n = = = − = − ∀ ∈

c) n n * k k k 1 k 1 c a c a n = = ⋅ = ⋅ ∀ ∈

Définition *

Soit

( )

un n∈*une suite.

• On appelle ne somme partielle de la suite

( )

*

n n

u , la somme des n premiers termes de la suite que l’on note : Sn =u1+u2+ + + . u3 ... un

( )

Sn n∈*forme une suite appelée suite des sommes partielles.

1 1 2 1 2 3 1 2 3 n n 1 2 3 n k k 1 S u S u u S u u u ... S u u u ... u u ... = = = + = + + = + + + + =

Exemples *

a) Soit une suite géométrique définie par son terme général :

n * n 1 u n 3   =  ∀ ∈    .

La suite des sommes partielles

( )

Sn n* est :

2 3 n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ; S ; S ; ...; S ... 3 3 9 3 9 27 3 3 3 3       = = + = + + = +  +  + +       

b) Soit une suite arithmétique définie par son terme général : un =n ∀ ∈n*. La suite des sommes partielles

( )

Sn n∈* est :

(16)

Proposition * Si

( )

n *

n

u est une suite arithmétique de premier terme u et de raison r 1

alors la e

n somme partielle notée S peut s’écrire : n 1 n n u u S n 2 + = ⋅ Démonstration *

Sn =u1+u2+u3+ +... un 1 +un définition de ne somme partielle

(

) (

) (

)

(

) (

)

n n n 1 n 2 2 1 n 1 n 2 n 1 3 n 2 n 1 2 n 1 S u u u ... u u 2 S u u u u u u .... u u u u − − − − − ⊕ = + + + + + ⋅ = + + + + + + + + + +

De plus u2+un 1 =u1+ +r un− =r u1+un définition de suite arithmétique

u3 un 2 u1 2r un 2r u1 un

.

+ = + + − = +

Donc, en substituant chaque terme de la somme par u1+ on obtient : un

(

) (

)

(

) (

)

(

)

n 1 n 1 n 1 n 1 n n fois n 1 n 1 n n 2 S u u u u .... u u u u 2 S u u n u u S n 2 ⇔ ⋅ = + + + + + + + + ⇔ ⋅ = + ⋅ + ⇔ = ⋅  Exemples *

a) Soit une suite arithmétique de raison r = 1 définie par son terme général un =n ∀ ∈n*.

On a :

(

)

(

)

( prop ) n n n 1 1 n S 1 2 3 ... n 1 n n 2 2 ⋅ + + = + + + + − + = ⋅ =

Remarque : S est la somme des n premiers nombre entiers. n

b) Soit une suite arithmétique de raison r = 2 définie par son terme général un =2n 1− ∀ ∈n* .

On a :

(

)

(

)

( prop ) 2 n 1 2n 1 S 1 3 5 ... 2n 1 n n 2 + − = + + + + − = ⋅ =

Remarque : S est la somme des n premiers nombre impairs. n

Application *

Comment calculer rapidement la somme 13 18+ +23 28+ + …+ 218+223 ? C’est une somme partielle dont les termes sont en progression arithmétique avec

. Nous avons : . Donc ( prop ) 43 42 opérations élémentaires 3 opérations élémentaires 13 223 13 18 23 28 218 223 S 43 5074 2 + + + + + … + + = = ⋅ =   1 13 n 223 5 u = u = r= 223 13 5(= + n− ⇒ =1) n 43

(17)

Proposition * Si

( )

n *

n

u est une suite géométrique de premier terme u et de raison 1 q∈\ 1

{ }

alors la e

n somme partielle notée S peut s’écrire : n

n n 1 1 q S u 1 q − = ⋅ − . Démonstration *

( )

n 1 2 3 n 1 n

S = + + +u u u ... u+ +u I définition de ne somme partielle

n 1 2 3 n 1 n

q S q u q u q u ... q uq u

⇔ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ algèbre : on multiplie par q

( )

n 2 3 4 n n

q S u u u ... u q u II

⇔ ⋅ = + + + + + ⋅ définition de suite géométrique

Donc n n 1 n S − ⋅q S = − ⋅ u q u algèbre :

( ) ( )

III n 1 n n 1 1 S q S u q u q

⇔ − ⋅ = − ⋅ ⋅ terme général d’une suite géométrique

(

)

(

n

)

n 1 S 1 q u 1 q ⇔ ⋅ − = ⋅ − algèbre n n 1 1 q S u 1 q − ⇔ = ⋅ − algèbre Exemple *

Soit une suite géométrique de raison q 1 3

= définie par son terme général

n * n 1 u n 3   =  ∀ ∈    . On a : n 2 n( prop ) n n 1 1 1 1 1 1 3 1 1 S ... 1 1 3 3 3 3 1 2 3 3   −           = +  + +  = ⋅ = ⋅ −         Application *

Comment calculer rapidement la somme 2 + 4 + 8 + 16 ... + + 512 + 1024 ? C’est une somme partielle dont les termes sont en progression géométrique avec une raison

q = 2 et de premier terme u1 = 2.

Nous avons : 1024= ⋅2 2n 1− ⇔1024=2nlog2

(

1024

)

= ⇔ =n n 10 Donc 10 ( prop ) 10 9 opérations 13 opérations élémentaires élémentaires 1 2 2 4 8 .... 1024 S 2 2046 1 2 − + + + + = = ⋅ = −

(18)

Définitions *

Soit

( )

un n∈*une suite

et

( )

Sn n∈* la suite des sommes partielles avec

n n 1 2 3 n k k 1 S u u u ... u u = = + + + + =

.

• On appelle série (ou série infinie) l’expression : k 1 2 3 k

k 1 u u u u ... u ... +∞ = = + + + + +

• Une série à termes positifs est une série telle que * k u ≥ ∀ ∈0 k  . • Une série k 1 2 3 k k 1 u u u u ... u ... +∞ = = + + + + +

converge si n n lim S S →∞ = ∈ .

Le nombre S est appelé la somme de la série.

Dans le cas contraire, la série diverge et on dit qu’elle n’a pas de somme.

Remarque *

L’étude de la convergence de la série k

k 1 u

+∞ =

est ramenée à l’étude de la convergence de la suite des sommes partielles

( )

Sn n∈*.

Exemples *

a) Soit la suite géométrique définie par son terme général :

n * n 1 u n 3   =  ∀ ∈    .

La suite des sommes partielles

( )

Sn n∈* est :

n 2 n( prop ) n n 1 1 1 1 1 1 3 1 1 S ... 1 1 3 3 3 3 1 2 3 3   −           = +  + +  = ⋅ = ⋅ −        

La série (infinie) à terme positif :

k 2 3 k 1 1 1 1 1 .... 3 3 3 3 +∞ =   = +  +  +            

converge car

(

)

n k n n n n k 1 S 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 lim 1 0 3 2 3 2 3 2 +∞ →∞ →∞ =        = ⋅ −   = ⋅ −   = ⋅ − =            

1 = S 2  .

b) Soit la suite arithmétique définie par son terme général : un =n ∀ ∈n*. La suite des sommes partielles

( )

Sn n∈* est :

(

)

( prop ) n n n 1 S 1 2 3 ... n 2 + = + + + + =

La série (infinie) à terme positif :

k 1 k 1 2 3 4 ... +∞ = = + + + +

diverge car

(

)

n 2 n n k 1 S n n 1 n n k lim lim 2 2 2 +∞ →∞ →∞ = + + +∞ = = = = +∞

(19)

c) Soit la suite définie par son terme général : un = −

( )

1 n ∀ ∈n*. La suite des sommes partielles

( )

Sn n∈* est :

S1 = −1 ; S2 = − + =1 1 0 ; S3 = − + − = −1 1 1 1 ; S4 = − + − + =1 1 1 1 0 ; ... La série (infinie) k k 1 u 1 1 1 1 1 ... +∞ = = − + − + − +

diverge (elle n’a pas de somme)

car

( )

Sn n∈* diverge par oscillation.

Définition *

Si

( )

un n*est une suite arithmétique alors la série k

k 1 u

+∞ =

est appelée série arithmétique. Proposition *

Une série arithmétique diverge sauf si u1 = et la raison 0 r=0. Démonstration * (prop) (prop)

(

(

)

)

1 1 1 n k n n n n k 1 u u r n 1 u u

u lim S lim n lim n

2 2 +∞ →∞ →∞ →+∞ = + + − + = = ⋅ = ⋅ = ±∞ ⋅ +∞ = ±∞

(diverge) Exemple * La suite * n

u =n avec n∈ est arithmétique avec u1≠ comme raison 0 r= ≠1 0. La série arithmétique k 1 k 1 2 3 ... +∞ = = + + +

diverge. Définition *

Si

( )

un n∈* est une suite géométrique alors la série k

k 1 u

+∞ =

est appelée série géométrique. Proposition *

Une série géométrique : i) converge si la raison q∈ −

]

1;1

[

. ii) diverge si q∉ −

]

1;1

[

. Démonstration * ( )

(

)

n prop n 1 1 k n 1 n n n k 1 si q 1 ( diverge ) 1 q u u

u lim S lim u 1 lim q si 1 q 1 ( converge )

1 q 1 q 1 q +∞ →∞ →∞ →∞ = ±∞ >  −  = = = ⋅ − = − < < − − −   ∃

si q 1 ( diverge par oscil.)

      < −Exemple * La suite n * n 1 u avec n 3   = 

   est géométrique avec comme raison

1 q 3 = . La série géométrique k 2 k 1 1 1 1 ... 3 3 3 +∞ =   = +  +        

converge. La somme de la série vaut 1 / 3 1

(20)

Exercice 21 *

En utilisant les propositions concernant le calcul de la somme partielle d’une suite arithmétique ou géométrique :

a) Calculer la somme des 15 premiers termes de la suite : 3 ; 8; 13; 18 ; ... b) Calculer la somme des 20 premiers termes de la suite : 11 ; 8 ; 5 ; 2 ;... c) Calculer la somme des 8 premiers termes de la suite : 2; 4;8; 16;...− − d) Calculer la somme des 12 premiers termes de la suite : 8 ; 4 ;2 ;e) Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite : 8 ; ; 2;...4

25 5

− −

f) Calculer la somme des 8 premiers termes de la suite : 1 ;1; 3 3 3 ;….

Exercice 22 *

En utilisant les propositions concernant le calcul de la somme partielle d’une suite arithmétique ou géométrique :

a) Calculer la somme de tous les entiers de 1 à 200 qui sont divisibles par 3 . b) Calculer la somme des 18 premiers multiples de 7.

c) La somme des 7 premiers termes d'une suite arithmétique est 98 et la somme des 12 premiers termes est 288. Calculer la somme des 20 premiers termes.

d) Calculer la somme des entiers compris entre 200 et 1000 et divisibles par 3.

e) Calculer la somme des entiers positifs strictement inférieurs à 200 et non divisibles par 6 .

Exercice 23 *

Une suite arithmétique a comme 60e terme 246 et la somme des 60 premiers termes vaut 7680. Donner le terme général de la suite

( )

un n∈*.

Exercice 24 *

Déterminer la somme u3+u6 +u9 + +... u75 pour la suite définie par : un =4n 11− .

Exercice 25 *

Jean économise 10 centimes le premier jour de l'année, 20 centimes le deuxième, 30 centimes le troisième, et ainsi de suite.

(21)

Exercice 26 *

La production d'une entreprise est de 20'000 unités la première année. Malheureusement, sa production diminue de 500 unités par an.

a) Calculer la production de cette entreprise la quatrième année, puis la dixième année. b) Au bout de combien d'années la production sera-t-elle nulle ?

Calculer alors la somme des productions de toutes ces années. Exercice 27 *

Une balle qui roule sur un plan incliné avance de 3 mètres la première seconde, de 5 mètres durant la deuxième seconde, de 7 mètres durant la troisième seconde, et ainsi de suite.

Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 120 mètres en tout ? Exercice 28 *

Déterminer (si elle existe) la somme de chacune des séries géométriques suivantes : a) 18 12 8 ... + + + b) 0,6+0,06+0,006+ ... c) 25 20 16− + −... d) 1 3 9 27 ... 2 4 8 + + + + e) 1 1 1 1 ... 2 4 8 + + + + f) 4 1 1 1 ... 4 16 − + − + g) 2 3 1+ +r r +r +... h) a+ap+ap2+ap3+ ... Exercice 29 *

Déterminer la somme des séries suivantes:

a) n n 1 3 ∞ − =

b) n 1 n 1 2 3 ∞ − =

c) n n n n 1 2 3 6 ∞ = +

Exercice 30 *

Une balle de caoutchouc est lâchée d'une hauteur de 81 cm. A chaque rebond, elle remonte au deux tiers de sa hauteur. Quelle distance verticale totale la balle aura-t-elle parcourue jusqu'à son immobilisation complète ?

Exercice 31 *

Trouver la fraction correspondant au développement décimal périodique suivant : a) 3,1414... b) 0,999999...

(22)

Exercice 32 *

Calculer la longueur de la spirale infinie décrite ci-dessous et formée de segments de droites.

Exercice 33 *

La figure ci-contre représente plusieurs termes d’une suite formée d’une alternance de disques et de carrés. Chaque disque est inscrit dans un carré, et chaque carré (à l’exception du plus grand carré) est inscrit dans un disque.

Soit Sn l’aire du ne carré et Cn l’aire du ne disque.

a) Calculer la relation entre Cn et Sn et entre Cn et Sn+1.

b) Quelle portion du plus grand carré est ombrée sur la figure ci-dessous ?

Exercice 34 *

Un certain médicament a une durée de demi-vie (*) d’environ 2 heures dans le sang.

Le médicament est destiné à être administré en doses de D milligrammes toutes les 4 heures, mais D doit encore être déterminé.

a) Démontrer que le nombre de milligrammes de médicament dans le sang après que la n ième dose

a été administrée est : 2 n 1 1 1 1 D D D ... D 4 4 4 −     + ⋅ +  ⋅ + +  ⋅    

et que cette somme vaut approximativement 4 D

3⋅ pour des valeurs élevées de n.

b) Une quantité de plus de 500 mg de médicament dans le sang est considérée comme dangereuse. Calculer la dose la plus grande possible qui peut être prescrite régulièrement pendant une grande période de temps.

(*) Temps mis par une substance (médicament ou autres) pour perdre la moitié de son activité pharmacologique, physiologique ou radioactive) a1 a1 a2 a2 a3 a3 45° 100

(23)

3.6 La démonstration par récurrence *

Un exemple pour comprendre le principe de récurrence * Pour découvrir une formule donnant la somme des n premiers nombres impairs, on commence par quelques essais :

Si n 1 : 1 1 Si n 2 : 1 3 4 Si n 3 : 1 3 5 9 Si n 4 : 1 3 5 7 16 = = = + = = + + = = + + + =

Il semblerait que cette somme soit toujours égale au carré du nombre de termes, c'est-à-dire que pour tout n1 :

(

)

2 1 3 5+ + + … + 2n 1− =n

Mais comment en être certain ? Un plus grand nombre d'essais confirme cette conjecture ; il restera cependant toujours une infinité de cas non vérifiés. Le raisonnement qui suit permettra de procéder à cette vérification en un temps record, puisque fini :

Supposons que la formule

(

)

2

1 3+ + + … +5 2n1 =n soit vraie pour une valeur de n fixée, ce qui est le cas pour n= , par exemple. En additionnant 4 2 n

(

+ − =1

)

1 2n+1, le nombre impair

consécutif, on obtient :

(

) (

)

2

(

)

1 3+ + +5 ... 2n+ − +1 2n + 1 =n + 2n + 1 ⇔ + + +1 3 5 ... 2n 1+

(

− +

) (

2n+ =1

) (

n+1

)

2

On observe que le membre de droite de l’égalité vaut justement

(

n+1

)

2. La formule est encore vraie pour n 1+ ; elle est donc vraie pour n= . La formule étant maintenant prouvée pour n 55 = ,

le même raisonnement montrera qu'elle est encore vraie pour n=6, puis pour n= … . 7

Le passage de n à n + 1 fonctionne comme « un moteur qui vérifie automatiquement » la formule pour toutes les valeurs de n supérieures à 4.

De manière générale, on caractérise le raisonnement par récurrence de la manière suivante : Soit

P

n une propriété qui dépend des entiers naturels n∈* =

{

1;2;3;...

}

.

1) Si cette propriété est vérifiée pour le nombren 1= (initialisation)

et

2) si lorsque cette propriété est vérifiée pour un nombre n (hypothèse de récurrence) alors elle l’est aussi pour son successeur n 1+ (hérédité)

Alors cette propriété est vérifiée pour tous les entiers naturels n

*.

Autrement dit :

Hyp. de récurrence

1 n n 1

Initialisation Hérédité

P vraie...P vraie → P+ vraie...

(24)

Une illustration pour comprendre le principe de récurrence * On peut comparer une démonstration par récurrence au jeu qui consiste

à faire tomber une file de pièces de dominos :

Considérons une rangée infinie de dominos, étiquetés 1, 2, …, n, … où chaque domino est en position verticale.

Considérons la propriété

P

n : « on fait tomber le domino n avec *

n∈ ». Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit 1

Initialisation

P vraie  et si quand on fait tomber le n e domino alors on fait tomber

le (n + 1) e domino c'est-à-dire : Hyp. de récurrence n n 1 Hérédité P vraie → P+ vraie 

alors tous les dominos tombent (les uns après les autres).

Autres exemples *

a) Démontrons par récurrence que : 1 2 3 .... n n n 1

(

)

n * 2 + + + + + = ∀ ∈ • La propriété P est : n 1 2 3 .... n n n 1

(

)

2 + + + + + = avec * n∈ • Etape 1 : Initialisation

On veut prouver que P est vraie. 1

Démonstration : Si n 1 alors 1 1 1 1

(

)

2

+

= = . La propriété est vraie pour n=1 . • Etape 2 : Hérédité A voir :

(

)

(

) (

) (

(

)

)

Hypothèse de récurrence n n 1 « Si est vraie

alors est vraie

n n 1 P : 1 2 3 .... n 2 n 1 n 1 1 P : 1 2 3 .... n n 1 ». 2 + + + + + + = + + + + + + + + + =  Démonstration :

(

)

(

) ( )

Hyp . n n 1 1 2 3 .... n 2 + + + + + + n + 1 = + n + 1 1 2 3 .... n

(

n 1

)

n n

(

1

) (

2 n 1

)

2 + + + ⇔ + + + + + + = 1 2 3 .... n

(

n 1

) (

n 1 n

)(

2

)

2 + + ⇔ + + + + + + = 1 2 3 .... n

(

n 1

) (

n 1

) (

(

n 1

)

1

)

2 + + + ⇔ + + + + + + =

La propriété Pn 1+ est donc vraie.

• Conclusion : n n 1

(

)

*

1 2 3 .... n n

2

+

(25)

b) Démontrons par récurrence que : 52n6n 8+ est divisible r 9pa ∀ ∈n*. • La propriété P est : n 52n6n 8+ est divisible r 9pa avec *

n∈ • Etape 1 : Initialisation

On veut prouver que P est vraie. 1

Démonstration : Si n=1 alors 25− + =6 8 27= ⋅3 9 . La propriété est vraie pour n=1. • Etape 2 : Hérédité A voir : ( )

(

)

Hypothèse de récurrenc 2 n n 2 n e 1 n 1

« Si est divisible par 9 est vraie

alors est divisible par 9 est vraie » P : 5 6 n 8 P+ : 5 + 6 n 1 8 . − + − + +  Démonstration : On a l’équivalence : 2n

56n+8 est divisible par 9 52n6n+ = ⋅8 k 9 k∈*

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2n 2 2 2n 2n 2n Hyp * * * 5 6 8 5 6 n 2 5 5 6 n 2 25 5 6 n 8 6 n 2 25 6 n 25 8 25 5 6 n 8 144n 198 25 k 9 9 16 n 9 22 k 25k 16 n 22 9 k m 9 m + − + = − + = ⋅ − + = ⋅ − + − + − ⋅ − − ⋅ = ⋅ − + − − = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ∈ = − − ⋅ ∈ = ⋅ ∈ n+1 n + 1   

La propriété Pn 1+ est donc vraie. • Conclusion : 2n

est divisible

56n 8+ r 9pa ∀ ∈n*

Exercice 35 *

a) Effectuer les sommes suivantes : 1 ... 1 2⋅ = 1 1 ... 1 2⋅ +2 3⋅ = 1 1 1 ... 1 2⋅ +2 3⋅ +3 4⋅ = 1 1 1 1 ... 1 2⋅ +2 3⋅ +3 4⋅ +4 5⋅ =

b) À l’aide de ces résultats, conjecturer une proposition donnant la somme suivante, puis démonter votre conjecture par récurrence :

(

)

1 1 1 1 1

...

(26)

Exercice 36 *

a) Démontrer par récurrence la proposition : 12 32 52 .. ( 2n 1 )2 n 2n 1 2n 1

(

)(

)

3

− +

+ + + + − = ∀ ∈n*

b) Utiliser la proposition ci-dessus pour déterminer : S =252 +272+292 + …+ 492 c) Utiliser la proposition ci-dessus pour déterminer : S =22+62+102+ … + 4n 2

(

)

2

Exercice 37 *

Démontrer par récurrence la proposition suivante :

(

)(

)

(

(

)

)

2 n i 1 n n 1 i 2i 1 2i 1 2 2n 1 = + = − + +

∀ ∈n* . Exercice 38 *

Les conjectures ci-dessous sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses. a) 12 22 .... n2 n n 1 n

(

)(

2

)

6 + + + + + = ∀ ∈n* b) 12 22 .... n2 n n 1 2n 1

(

)(

)

6 + + + + + = * n ∀ ∈ Exercice 39 *

Démontrer par récurrence les propositions suivantes : a) n3n est divisible par 3 ∀ ∈n* b) 33n 2+ +2n 4+ est un multiple de 5 ∀ ∈n* c) n n

(27)

3.7 Critères de convergence des séries à

termes positifs *

Proposition 1 * ( Condition nécessaire mais pas suffisante )

Si une série converge alors son terme général u tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. n

Exemple * La série 2 3 1 1 1 S ... 3 3 3     = +  +  +

    est convergente car géométrique de raison

1 q

3

= .

Le terme général est :

n n 1 u 3   =    On a : n n n n n n 1 1

lim u lim lim 0

3 3 →∞ →∞ →∞   =   = =   Démonstration *

Soit S= +u1 u2+ +u3 ... une série convergente , alors

Mais on a aussi, .

Donc par soustraction :

(

)

n n 1

n n 1 n n 1 k k n

n n n n n

k 1 k 1

0 s s lim s lim s lim s s lim u u lim u

− − − →∞ →∞ →∞ →∞ = = →∞   = − = − = − = = 

Remarques *

a) La réciproque de la proposition 1 est fausse. Exemple :

Considérons la série harmonique S 1 1 1 1 ... 1 ...

2 3 4 n

= + + + + + +

Le terme général est un 1 n

= . On a n

n

lim u 0

→∞ = .

Cependant la série harmonique S diverge (voir proposition 5 : série de Riemann) . b) La contraposée de la proposition 1 est toujours vraie :

« Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge ». Exemple :

Considérons la série S = + + + +1 2 3 4 ... n+ +...

Le terme général est un = . On a n n

nlim u→∞ = +∞ .

En utilisant la contraposée de la proposition 1 nous pouvons conclure que la série S diverge.

1 lim lim n n k n n k s u s →∞ →∞ =   = = ∈ 

  1 1 1 lim lim n n k n n k s u s − − →∞ →∞ =   = = ∈ 

 

(28)

Proposition 2 * ( Critère de comparaison des séries à termes positifs )

Soit les séries n

n 1 u ∞ =

et n n 1 v ∞ =

à termes positifs telles que *

n n 0uv ∀ ∈n  . a) Si n n 1 u ∞ =

diverge alors n n 1 v ∞ =

diverge aussi. b) Si n n 1 v ∞ =

converge alors n n 1 u ∞ =

converge aussi. Exemples *

a) On aimerait établir la convergence ou la divergence de la série n 2 3 n

n 1 1 1 1 u ... ... 2 3 n ∞ = = + + + +

Nous avons un 1n 1n vn n * n 2 = ≤ = ∀ ∈ La série n n n 1 1 1 1 1 v ... ... 4 8 16 2 ∞ = = + + + + +

est géométrique q 1 2=      et converge vers 1 u 1 1 q− = 2 .

En utilisant la proposition (b) on peut conclure que : la série n

n 1 u

∞ =

converge aussi. b) On aimerait établir la convergence ou la divergence de la série n

n 1 1 1 v 1 ... ... 2 n ∞ = = + + + +

Nous avons n n * 1 1 u v n n n = ≤ = ∀ ∈ n n 1 1 1 1 u 1 ... ... 2 3 n ∞ = = + + + + +

est la série harmonique et diverge (voir proposition 5). En utilisant la proposition (a) on peut conclure que : la série n

n 1 v ∞ =

diverge aussi. Démonstration * Par hypothèse : * n n 0uv ∀ ∈n a) n n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n 1 n 1 S S'

Par hyp: diverge

u u u ... u v v v ... v lim S lim S ' u v ∞ ∞ →∞ →∞ = = + + + + ≤ + + + + ⇔ ≤ ⇔ +∞ =

   b) Par hypothèse : n 1 2 3 n 1 v v v v ... v ∞ = = + + + = ∈

 (la série converge)

i) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 n n n S u S ' v v S u u S ' v v v

S est une suite bornée. ... S S ' v = ≤ = ≤   = + ≤ = + ≤  ⇔    ≤ ≤ ii) * 1 2 3 n n

SSS.... car u0 ∀ ∈n  ⇒ S est une suite croissante. Conclusion : S est une suite croissante et bornée n

Thm.

Figure

Illustration  * 1 2 3 nu :1u2u3u.........nu→→→→→ 

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