Chapitre 4 : Suites numériques.
1 Un peu d’histoire.
La notion de suite est présente dès qu’apparaissent des procédés illimités de calcul. En Égypte vers 1700 av.
J.-C déja. Chez Archimède (-287 à -212), spécialiste des procédés illimités d’approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d’aires et de volumes.
Plus récemment au 1ier siècle apr. J.-C. dans le procédé d’extraction d’une racine carrée par la méthode de Héron d’Alexandrie :
Pour extraire la racine carrée de A, on chosit un nombre arbitraire aet prendre la moyenne entreaetA et recommencer aussi loin que l’on veut le processus précédent.
En notation moderne, cela définit la suite de nombresu0“aetun`1“ 12
´
un`uAn
¯ .
La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz : on part d’un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens.
2 Attendus
• Savoir modéliser une situation donnée par une suite.2 page 115 ; 2 page 117
• Savoir représenter graphiquement les termes d’une suite.1 page 113
• Savoir utiliser la premier bissectrice et la représentation de la fonction f pour obtenir les termes d’une suite récurrente définie parun`1“fpunq.2 page 113
• Savoir déterminer les variations d’une suite par :
— Par l’étude du signe de un`1´un.1 page 137
— Par l’étude du rapport un`1
un si la suite punq est à termes positifs.3 page 137
— Par l’étude de la fonctionf si un“fpnq.2 page 137
• Conjecturer la limite d’une suite.1-2 page 139
• Programmer une suite récurrente sur sa machine.
• Écrire un algorithme permettant d’obtenir les termes d’une suite.
• Trouver l’expression permettant d’exprimer un en fonction de net savoir l’appliquer pour trouver n’im- porte quel terme de la suite pour une suite arithmétique et géométrique.
• Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique ou géométrique à partir de deux termes de la suite.(
• Savoir reconnaître une suite arithmétique ou géométrique.1 page 115 et 1 page 117
• Savoir déterminer la somme de termes d’une suite arithmétique ou géométrique.3 page 115 et 3 page 117
• Savoir déterminer la limite d’une suite arithmétique à partir de sa raison.
• Savoir déterminer la limite d’une suite géométrique à partir de son premier terme et de sa raison.
• Savoir déterminer la limite de la somme des termes d’une suite géométrique.
• Lorsque 0ăq ă1, savoir déterminer à partir de quel rangqn est inférieur à un nombre aą0 donné.
• Exercices de synthèse.
• Exercices d’approfondissement.
3 Généralité sur les suites.
Une suite u est une fonction de définie de N (parfois N˚) dans R. La notation utilisé pour upnq est plus communément un(lu "u indice n"). On parlera alors de la suitepunqnPN ou plus simplement de punq.
Définition 1
Exemple 1.
La fonction :
u:NÑR . nÞÑn2`1 Donc on peut calculer les images, appelés termes de la suite :
up0q “u0 “02`1“1 ; up2q “u2 “22`1“5 ; up10q “u10“102`1“101 Ou encore :
upn`1q “un`1“ pn`1q2`1“n2`2n`2 ; upn´3q “un´3 “ pn´3q2`1“n2´6n`10 pně3q La représentation graphique de punq :
0 1 2 3 4
0 5 10 15
Remarque 1. Pour l’exemple précédent, on parlera de la suitepunqdéfinie sur Nparun“n2`1.
Ex 11 à 18 page 120
On appelle suite récurrente, une suite dont le terme suivant est obtenue à partir d’un ou plusieurs terme(s) précédent(s).
Définition 2
Exemple 2. Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de 18 loups par an.
On modélise la population par une suite punq, le termeun représentant le nombre de loups de ce pays en 2017`n.
On a alors, pour tout entier nPN, un`1 “1,12un´18.
Nous pouvons obtenir les termes 10 premiers termes de cette suite à partir de l’algorithme : N Ð0
U Ð300
Tant que N ă10 faire U Ð1,12ˆU ´18 N ÐN `1
Afficher U arrondi à l’entier Fin Tant que
On obtient alors : 318 338 360 386 414 446 481 521 565 615 Ex 20-26 page 120-121
3.1 Variation d’une suite.
Soit une suite punq. On dira de la suitepunq quelle est :
• croissantesi pour tout nPN, on a un`1ěun.
• décroissantesi pour tout nPN, on a un`1ďun. Définition 3
Pour étudier les variations d’une suitepunq, nous pouvons étudier le signe deun`1´un. Si pour tout nPNon a :
• un`1´uně0 alors punq est croissante.
• un`1´unď0 alors punq est décroissante.
Méthode 1
Exemple 3. Si l’on considère la suite récurrentepunq définie surN par
@nPN, un`1 “u2n´un`1 et u0“1 Alors :
@nPN, un`1´un“u2n´2un`1“ pun´1q2ě0 Donc la suite punq est donc croissante.
14-15 page 142.
Pour étudier les variations d’une suite strictement positive punq, nous pouvons étudier le rapport un`1
un . Si pour toutnPNon a :
• un`1
un ě1 alors punq est croissante.
• un`1
un ď1 alors punq est décroissante.
Méthode 2
Exemple 4. Si l’on considère la suite récurrentepunq définie surN par
@nPN, un`1“ un
u2n`1 et u0“1 Alors :
@nPN,un`1
un “ 1
u2n`1 ď1 puisque u2n`1ě1 Donc la suite punq est donc décroissante.
19-20 page 142.
Si la suite est définie en fonction de n, c’est-à-direun“fpnq, et que la fonctionf est définie surR` alors on étudie les variations de la fonctionf et on en déduit les variations de la suitepunq.
Méthode 3
Exemple 5. On considère la suite punq définie sur N par un “ ´6
?n2`4 ` 5. On considère la fonction fpxq “ ´6
?x2`4 `5 définie sur R`. On étudie les variations def sur R` :
x
x ÞÑ x2
xÞÑx`4
x ÞÑ? x
x ÞÑ 1x
x ÞÑ
´6x`5
0 `8
0 0
`8
`8
4 4
`8
`8
2 2
`8
`8
1 2 1 2
0 0
2 2
5 5
Justification : .
Car la fonction carré est croissante sur r0;`8r .
.
L’opérationu`kne modifie pas les variations de la fonction.
. . La fonction?
u à les mêmes variation queu.
.
La fonction inverse, inverse les variations de u (Remarque : ici on est à valeur dans r2;`8rintervalle
sur lequel la fonction inverse est bien définie) .
La fonction affine xÞÑ ´6x`5 est décroissante donc les variations sont inversées.
Exercice relatif aux variations 11 à 25 page 142.
3.2 Limite de suite.
Méthode empirique
Á l’aide d’un tableur ou de la calculatrice on détermine à partir des valeurs des termes de la suites ou de la représentation graphique, on fait une conjecture de la limite de la suite quand n tend vers
`8.
Méthode 4
Exemple 6. Si l’on reprend l’exemple précédent : la suitepunq définie sur Nparun“ ´6
?n2`4 `5. Le calcul des premiers termes permet d’observer :
n 0 1 10 100 1000 10000
un 2 2,31 4,41 4,94 4,99 4,9994 On observe que lim
nÑ`8un“5. On remarque aussi que la suite est croissante.
Exemple 7. Si l’on considère la suite récurrentepvnqdéfinie sur Nparvn`1“0,9ˆvn`1 etv0 “0. Le calcul des premiers termes permet d’observer :
n 0 1 2 10 50 100
vn 0 1 1,9 6,51 9,95 9,9997 On observe que lim
nÑ`8vn“10. On remarque aussi que la suite est croissante.
Exemple 8. .
• Siwn“n2`3n`1, on remarque lim
nÑ`8wn“ `8.
• tn“ p´1qnˆn, on remarque lim
nÑ`8tn n’existe pas.
Ex 26 à 30 page 143
4 Suites arithmétiques
Exercice 1. Louis perçois 50ed’argent de poche tous les mois depuis le premier janvier 2010. On noteunla totalité de son argent poche cumulé (il a décidé de ne pas le dépenser).
1. Détermineru0 puisu1 puis u2, dites ce que représentent ces sommes.
2. Déterminerun`1 en fonction de un.
3. Conjecturer l’expression deun en fonction de n.
4. Déterminer les variations de la suitepunq.
5. Que pensez-vous de la limite de la suite punq.
4.1 Généralités.
Exemple 9. Bruno dispose de 100 e dans sa tirelire, donné par sa grand-mère. Bruno reçoit chaque mois 45 e de ses parents qu’il met systématiquement dans sa tirelire. On note un la somme dans sa tirelire au nième mois. On obtient la formule de récurrence :
un`1 “un` loomo45on
Somme déposée chaque mois
On dira quepunq est une suite arithmétiquede raison 45 et de premier termeu0 “100.
Une suite punqnPNest arithmétiquede raisonr signifie que :
@nPN:un`1 “un`r Définition 4
Remarque 2. Cette définition reste valable même si le premier terme de la suite n’est pas u0. Il arrive souvent que le premier terme de la suite soitu1.
Si la suite punq est arithmétique de raisonr, alors
@pn, pq PN2:un“rn`u0 “ pn´pqr`up Proposition 1
Démonstration 1. Idée de démonstration : On remarque que si un “ pn´pqr `up alors un`1 “ un`r “ rn`u0 “ pn´pqr`up`r “ pn`1´pqr`up. On dira que par "effet de domino" la propriété devient vrai à tous les termesněp. De même dans pourpěn mais avecun´1“un´r.
Remarque 3. On reconnait l’expression d’une fonction affine et la représentation graphique sera constituée de points alignés.
Exemple 10. Si l’on reprend l’exemple précédent, on a un`1“un`45.
L’expression deun en fonction den est doncun“45n`100.
La représentation graphique de punq :
0 2 4 6 8 10
100 200 300 400 500
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique : https://youtu.be/YCokWYcBBOk
Vidéo 1
Ex 33 à 37 page 121
Toute suite dont le terme générale peut s’écrire sous la formeun“an`best une suite arithmétique de raisona.
Proposition 2
Démonstration 2. Siun“an`balorsun`1 “apn`1q `b“an`b`a“un`a. D’où le résultat.
Reconnaitre une suite arithmétique :https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite arithmétique :https://youtu.be/iEuoMgBblz4 Vidéo 2
Ex 29-30 ; 38 à 42 page 121
4.2 Somme des termes d’une suite arithmétique.
Somme des npremier entier : řn
k“1
k“1`2`...`n“ 1`n 2 ˆn Proposition 3
Démonstration 3. Deux cas :
• Sin“2pest pair :
1`2`...`n“1`2`3`...`p` pp`1q `...`2p“ p1`2pq ` p2` p2p´1q `...pp` pp`1qq looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon
p termes égaux à 2p`1“n`1
. “pˆ pn`1q “ n
2 ˆ pn`1q
• Sin“2p`1 est impair :
1`2`...`n“1`2`3`...`p` pp`1q `...`2p` p2p`1q “ p1`2pq ` p2` p2p´1q `...pp` pp`1qq looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon
p termes égauxà 2p`1“n
`n
. “pˆn`n“ pp`1q ˆn“ 1`n 2 ˆn Exemple 11. Calcul de :
100
ÿ
k“1
k“1`2`...`100“ 1`100
2 ˆ100“5050
Exemple 12. Si punq est la suite arithmétique de premier termeu0 “3 et de raison 2.
Calcul de :
10
ÿ
k“0
uk“loomo3on
u0
` 3`2 loomoon
u1
`3`2ˆ2 loooomoooon
u2
`...`3`2ˆ10 loooomoooon
u10
“3ˆ11`2ˆ1`10
2 ˆ10“143 Calcul de :
10
ÿ
k“3
uk“9`11`13`...`23“9ˆ 8 loomoon
nb de ”3”
`2ˆ 1`7
2 ˆ7“128
Somme des termes d’une suite arithmétique :
https://youtu.be/WeDtB9ZUTHsethttps://youtu.be/iSfevWwk8e4 Vidéo 3
41 page 122
4.3 Variation et limite d’une suite arithmétique.
On considère icipunqcomme une suite arithmétique.
• Sir ą0 la suitepunq est croissante et lim
nÑ`8un“ `8.
• Sir ă0 la suitepunq est décroissanteet lim
nÑ`8un“ ´8.
Proposition 4
Comment étudier les variation d’une suite géométrique : https://youtu.be/R3sHNwOb02M
Vidéo 4
5 Suites géométriques
5.1 Généralités.
Exemple 13. On place une somme de 100 esur un livret A rémunéré à 0,75 % par an. On noteun la somme sur le compte à la nième année. On obtient la somme de récurrenceun`1“ 1,0075
loomoon
pour augmenter de 0,75%
ˆun. On dira quepunq est une suite géométriquede raison 1,0075 et de premier terme u0 “100.
Une suite punqnPNest géométrique de raisonq signifie que :
@nPN:un`1 “qˆun Définition 5
Remarque 4. Cette définition reste valable même si le premier terme de la suite n’est pas u0. Il arrive souvent que le premier terme de la suite soitu1.
Si la suite punq est géométrqiue de raisonq, alors
@pn, pq PN2 :un`1 “qn´pˆu0“qnˆup
Proposition 5
Exemple 14. Si l’on reprend l’exemple précédent, on a un`1“ 1,0075 loomoon
pour augmenter de0,75%
ˆun. L’expression deun en fonction den est doncun“1,0075nˆu0 “1,0075nˆ100.
Déterminer la raison et le premier terme d’une suite géométrique : https://youtu.be/wUfleWpRr10
Vidéo 5
Ex 49 à 52 page 122
Une suite dont le terme générale s’écrire sous la forme aqn est une suite géométrique de raisonq.
Proposition 6
Reconnaitre une suite géométrique :
https://youtu.be/WTmdtbQpa0cethttps://youtu.be/YPbEHxuMaeQ Vidéo 6
45-46 page 122
5.2 Somme des termes d’une suite géométrique.
Pour q un réel différent de 1 et un entier n, on a : řn
k“0
qk“1`q`...`qn“ 1´qn`1
1´q “ qn`1´1 q´1 Proposition 7
Exemple 15. Calcul de :
10
ÿ
k“0
ˆ1 2
˙k
“1`1 2 `1
4`...` ˆ1
2
˙10
q “ 1´`1
2
˘11
1´12 “2 ˆ
1´ 1 211
˙
%endcenter
Exemple 16. Si punq est la suite géométrique de premier termeu0 “3 et de raison 2.
Calcul de : ÿ10
k“0
uk“3ˆ20`3ˆ21`3ˆ22`...`3ˆ210“3ˆ p1`2`22`...`210“31´211 1´2 “3`
211´1˘ Calcul de :
10
ÿ
k“3
uk “24`48`96`...`3ˆ210“241´28 1´2 “24`
27´1˘
Somme des termes d’une suite géométrique : https://youtu.be/rIaYMXPbWE8
Vidéo 7
Ex 53 page 122
5.3 Limite d’une suite géométrique.
Soit q un réel strictement positif. On observe les deux cas suivants :
• Si 0ăq ă1 alors lim
nÑ`8qn“0.
• Siq “1 alors lim
nÑ`8qn“q.
• Si 1ăq alors lim
nÑ`8qn“0.
Proposition 8
On considère iciun comme une suite géométrique.
1ier termeą0 1ier terme ă0 Si 0ăqă1 unÝÑ0 unÝÑ0
Si 1“q un constante unconstante Si 1ăq unÝÑ `8 unÝÑ ´8 Proposition 9
Étude de la limite d’une suite géométrique :
https://youtu.be/F-PGmIK5Ypg ethttps://youtu.be/2BueBAoPvvc Vidéo 8
5.4 Variation d’une suite géométrique.
On considère iciun comme une suite géométrique.
1ier termeą0 1ier terme ă0 Si 0ăqă1 unŒ0 unÕ0
Si 1“q un constante unconstante
Si 1ăq unÕ `8 unŒ ´8
Proposition 10
Comment étudier les variation d’une suite géométrique : https://youtu.be/vLshnJqW-64
Vidéo 9
5.5 "Rapidité" de la convergence vers 0
Lorsque 0ăq ă1 et que le premier terme est positif, on peut déterminer le rang à partir du quel les termes de la suite sont plus petit qu’un réelAą0 donné. Voici un algorithme qui fonctionne :
1iére étape affectation et saisie :
• choisirA
• n=0
• Entreru“1ierterme etq“raison 2ièmeétape : boucle "tant que"
• Tant queuněA faire
˝ nÐÝn`1
˝ uÐÝuˆq 3ième étape : afficher n.
6 Suite récurrente.
On appelle suite récurrente, une suite dont le terme suivant est obtenue à partir d’un ou plusieurs terme(s) précédent(s).
Définition 6
Exemple 17. La suite récurrente punq définie par un`1 “ 0,6un `0,1 et u0 “ 2, est une suite récurrente de la forme un`1 “ fpunq avec fpxq “ 0,6x`0,1 fonction affine. (Dans ce cas l’on par de suite arithmético- géométrique qui n’est ni géométrique ni arithmétique comme son nom ne l’indique pas !)
6.1 Représentation.
En traçant la première bissectrice (d’équation réduite y“x ), on obtient : La représentation graphique de punq :
0 0.5 1 1.5 2
0 0.5 1 1.5 2
