Bcpst 2 Lycée François 1er
Suites et séries
20/24 septembre 2021 - Semaine 1À venir :Dénombrement.
Chapitre 0 Suites : révisions
Le cours sur les suites n’a pas été traité en classe. Il s’agit donc pour les élèves de reprendre ce qui a été traité en première année.
I Suites
Suites arithmétiques, géométriques, somme des n premiers entiers, des n premiers termes d’une suite géomé- trique.
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Suites récurrentes un+1=f(un)(avec indications)
II Limites
Limite finie, convergence, divergence.
Théorèmes de comparaison, théorème des gendarmes. Suites croissantes (majorées ou non majorées), suites décroissantes (minorée ou non minorées.) Suites adjacentes.
Suites extraites et notions de convergence associées.
Équivalents.
Chapitre 1 Séries numériques
I Convergence d’une série
1 Somme totale et reste
Déf : Somme partielle d’ordren. Série de terme général un et notation P(un)n∈N ou(Pun)n∈
Nou P
n∈N
un. Définition de la convergence et somme totale
+∞
P
n=0
un. Notation(Pun)n>N et
+∞
P
k=N
uk. Ex : Convergence et somme totale de la série
P 1 n(n+1)
n>1
. Méthode du téléscopage Déf / Propriété :Reste Rn d’une série et propriété lim
n→+∞Rn = 0en cas de convergence de la série.
2 Divergence grossière
Prop : Si P
un converge, alors lim
n→+∞un = 0. Exemples et contre exemples.
Déf : Série grossièrement divergente.
II Critères de convergence
1 Séries à termes positifs
Prop : Soit (un) une suite positive. Alors (Pun)est croissante ; (Pun) converge si et seulement si elle est majorée ;(Pun)diverge vers+∞sinon.
Théorème de comparaison des séries positives : :
Supposons que un 6vn à partir d’un certain rang. Si P(vn) converge, alorsPun converge. Si Pun diverge, alorsP(vn)diverge.
Exemples, contre exemples et transposition des propriétés aux séries négatives.
2 Convergence absolue
Déf / Proposition :Convergence absolue. exemples et contre exemples.
III Exemples fondamentaux
1 Séries de Riemann
Déf : On appelle série de Riemanntoute série de typeP 1 nα
Thm : La série P1
n diverge.
Thm : La série P 1
n2 converge.
(les autres résultats sur les séries de Riemann sont HP) 1
2 Séries géométriques
Thm : Convergence des séries géométriques(Pqn)ssi|q|<1. Dans ce cas,
+∞
P
n=0
qn= 1−q1 .
3 Série ( P
nq
n)
n∈N
Thm : Convergence des séries Pnqn−1
ssi|q|<1 et dans ce cas,
+∞
P
n=1
nqn−1=(1−q)1 2. Cor : (P
nqn)est convergente ssi |q|<1. Dans ce cas,
+∞
P
n=0
nqn= (1−q)q 2.
4 Série P
n
2q
nn∈N
Thm : Convergence des séries géométriques P
n(n−1)qn−2
ssi|q|<1, avec dans ce cas
+∞
P
n=2
n(n−1)qn−2=
2 (1−q)3.
Cor : (Pn2qn)est convergente ssi|q|<1. Avec dans ce cas,
+∞
X
k=0
n2qn =q(1 +q) (1−q)3.
5 Série exponentielle
Thm : Convergence des séries exponentielles
Pxn n!
, oùx∈R, avec
+∞
P
n=0
xn n! =ex
Les questions de cours porteront sur les questions suivantes :
• Cas de convergence, divergence et éventuelle somme totale de P
n∈N
qn.
• Cas de convergence, divergence et éventuelle somme totale de la série P
n∈N
nqn−1.
• Convergence de la série de RiemannP 1 n2.
• Donner un exemple d’une série divergente mais non grossièrement divergente.
Sauf avis contraire, les questions de cours consisteront (toutes les semaines !) à donner l’énoncé et la démonstration.
Cette semaine, la colle commencera de plus par l’énoncé des cas de convergence et de l’éventuelle somme totale d’un exemple fondamental (indépendant de la question de cours.) (-4 points si non connu)
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