Suites réelles 3ème Sc Expérimentales

Kooli Mohamed Hechmi

_{http://mathematiques.kooli.me/}

Suites réelles 3

Sc Expérimentales

Exercice 1

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = −1 ₌ ∀ ∈ ℕ

1) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est pas arithmétique.

2) Montrer par récurrence que : ∀ ∈ ℕ ; < 3

3) Montrer que la suite est croissante.

4) Soit la suite réelle définie sur ℕ par : =

a) Calculer pour tout ∈ ℕ en fonction de

b) Montrer alors que la suite est arithmétique.

5) a) Exprimer puis en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Calculer $ % %&

Exercice 2

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = 2 ₌ ∀ ∈ ℕ

1) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est pas arithmétique.

2) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : > 1

3) Montrer que la suite est décroissante

4) Soit la suite réelle définie sur ℕ par : =

a) Montrer que est une suite arithmétique préciser son premier terme et sa raison.

b) Exprimer en fonction de et en déduire que ∀ ∈ ℕ on a : =

c) Calculer alors la limite de

) * Calculer $ % %&

6) Soit la suite + définie sur ℕ par : + =

a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : + + 3 =

Calculer $ 1

%− 1 %&

Exercice 3

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = 0 ₌

.

Kooli Mohamed Hechmi

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1) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 0 < < 1

b) Montrer que la suite est croissante.

3) Soit la suite réelle définie sur ℕ par : =

a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire lim

→ ∞

c) Calculer en fonction de puis calculer lim

→ ∞

2 Calculer $ % %&

4) Soit la suite + définie sur ℕ par : + = .

a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : + + 1 =

Calculer $ −4

%+ 3 %&

Exercice 4

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : 4 = −3 _{= 3 + 8} ∀ ∈ ℕ

1) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) Soit la suite définie sur ℕ par : = + 4

a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

c) Exprimer puis en fonction de .

3) a) Calculer 6 = + + + ⋯ +

b) Calculer 8 = + + + ⋯ +

4) Soit la suite + définie sur ℕ par : + = + 3 − 3 − 3

Calculer 9 = + + + + + + ⋯ + +

Exercice 5

Soit la fonction : définie sur ;−6 , +∞? par : @ = .A

A

1) a) Etudier les variations de :.

b) Tracer dans un repère orthonormé (unité : 3 BC ) la courbe de : et la droite ∆: F = @ Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = −1 ₌. _{∀ ∈ ℕ}

2) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

Kooli Mohamed Hechmi

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4) Soit la suite définie sur ℕ par : =

a) Montrer que est une suite géométrique.

b) Calculer en fonction de .

c) En déduire en fonction de et déterminer la limite de la suite .

) Calculer 6 = $ % et %&

6′ = $ Exercice 6

Soit la suite réelle définie sur ℕ par : H

= 1

= I + 1 ∀ ∈ ℕ

1) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 1 < < √2

2) Montrer que la suite est croissante.

3) Soit la suite définie sur ℕ par : = − 2

a) Montrer que est une suite géométrique.

b) Calculer puis en fonction de et déterminer la limite de la suite .

Exercice 7

Soit la fonction : définie sur ;−2 , +∞? par : @ = A

A

1) a) Etudier les variations de :.

b) Tracer dans un repère orthonormé (unité : 4 BC ) la courbe de : et la droite ∆: F = @

2) Soit la suite définie sur ℕ par : 4 = 1

= : ∀ ∈ ℕ

a) Représenter sur l’axe des abscisses les termes ; ; et

b) Quelle conjecture peut-on formuler quant au sens de variation de la suite et de sa limite.

3) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ 1

b) Montrer que la suite est décroissante.

4) Soit la suite définie sur ℕ par : =

a) Montrer que est une suite géométrique de raison L = 2 .

b) Calculer puis en fonction de et déterminer la limite de la suite .

5) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : − 1 = Calculer 6 = $ % %& et 6′ = $ 1 % %& Exercice 8

1) Soit la suite réelle N définie sur ℕ par : N =

a) Montrer que la suite N est majorée par 3 b) Montrer que la suite N est décroissante

Kooli Mohamed Hechmi

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c) Calculer la limite de la suite N

2) Soit la suite réelle définie sur ℕ par : = 1

= + 1 ∀ ∈ ℕ

a) Calculer et

b) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ 2

3) a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 2 − ≤ ≤ 2

c) En déduire la limite de la suite réelle .

4) Soit la suite définie sur ℕ par : = − 2

a) Calculer et

b) Montrer que est une suite géométrique de raison L =

c) Exprimer puis en fonction de

d) Calculer les limites des suites réelles et .

Exercice 9

Soit la suite réelle définie sur IN par : ₌= 0

.

1) a) Calculer et

b) En déduire que la suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : 0 ≤ ≤ 1

3) Montrer que la suite est croissante.

4) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : 1 − − 1 − = O P Q

.

b) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : |1 − | ≤ |1 − |

c) En déduire que ∀ ∈ ℕ on a : |1 − | ≤ S T

d) Déterminer la limite de la suite

Exercice 10

Soit la suite définie sur ℕ par : =

1) a) Montrer que la suite est une suite géométrique de raison

b) Calculer la limite de la suite .

2) On considère la suite définie sur ℕ par : = 2 et = +

a) Montrer par récurrence que ∀ ∈ ℕ on a : > 1

b) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : − = 1 −

c) Déduire alors le sens de variation de la suite .

3) a) Montrer que ∀ ∈ ℕ on a : = 1 +

Kooli Mohamed Hechmi

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On considère la suite définie sur ℕ par : =.

= 2 −

1) Calculer et

2) a) Montrer par récurrence, que ∀ ∈ ℕ on a : 0 < < 1

b) Montrer que la suite est croissante.

3) On pose, pour tout ∈ ℕ ; = 1 −

a) Montrer que pour tout ∈ ℕ ; =

b) Montrer par récurrence, que = S

.T