Notion de fonction

(1)

Seconde

I Les ensembles de nombres

I.1 Les entiers

I.1.1 Définitions

Un nombreentier naturelest un nombre (positif) qui peut s’écrire sans virgule.

L’ensemble des entiers naturels est notéN.

N={0 ; 1 ; 2 ; 3···} Définition 1(Les entiers naturels)

Unentier relatifse présente comme un entier naturel muni d’un signe positif ou négatif qui indique sa position par rapport à zéro sur un axe orienté.

L’entier zéro lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif L’ensemble des entiers relatifs est notéZ.

Z={··· −3 ;−2 ;−1 ; 0 ;+1 ;+2 ;+3···} Définition 2(Les entiers relatifs)

Remarque: On aN⊂Z I.1.2 Histoire

Consultez la page : www.math93/.../les-symboles

• Origine du symboleN, pour les entiers naturels (denaturaleen italien)

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) définit l’ensemble des entiers naturels non nuls par des axiomes qui portent aujourd’hui son nom et le note N ( Il deviendra ensuite IN pour désigner l’ensemble des nombres naturels). [HaSu]

p276.

• L’expression nombre naturel

Cette expression apparaît vers 1675, à l’époque où les nombres négatifs sont enfin acceptés.

• Z: Origine du symboleZ, Ensemble des nombres relatifs.

Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969) La lettre viendrait deZahl(nombre) etzahlen(compter) de l’allemand.

I.2 Les décimaux

Unnombre décimalest un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction décimale, c’est à dire une fraction dont le dénominateur est de la forme 10ⁿavecnentier naturel.

L’ensemble des entiers décimaux est notéD.

D= n a

10ⁿ, a∈Z,n∈No Définition 3(Les décimaux)

Exemples

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I.2.2 Histoire

La notationDest française et vient du groupe BOURBAKI en 1970

I.3 Les rationnels

Unnombre rationnelest un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction, c’est à dire comme le quotient de deux entiers relatifs. L’ensemble des rationnels est notéQ.

Q= na

b, a∈Z,b∈Z^∗ o Définition 4(Les rationnels)

Exemples

2,5=25

10∈Q ; 1

3∈Q ; p

2∉Q ; π∉Q

I.3.2 Histoire

Consultez la page : www.math93/.../les-symboles

• Q:Origine du symboleQ, ensemble des nombres rationnels.

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) aurait utilisé la lettreQ, première lettre de quotiente mais, selon plusieurs sources, pas pour désigner l’ensemble des rationnels. Cette notation viendrait en fait du groupe BOURBAKI dans Algèbre, Chapitre 1. (1969)

• Le mot rationnel

Le motrationnelapparaît en mathématiques vers 1550 (en même temps que le terme irrationnel). Un nombre irrationnel est aussi appelé à l’époque nombre sourd. Il semblerait que cela vienne d’une mauvaise traduction des mots rationnel et irrationnel en arabe à l’époque du célèbre mathématicien perse KHWARIZMI Mohammed Ibn musa AL ( khiva 788 - Bagdad 850).

I.4 Les réels

Donner une définition rigoureuse des nombres réels est chose difficile en troisième. Disons simplement que l’ensemble de tous les nombres connus en classe de troisième est appelé ensemble des réels.

Un réelest un nombre qui peut être représenté par unepartie entièreet uneliste finie ou infinie de décimales. Cette définition s’applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d’un certain rang, mais aussi à d’autres nombres dits irrationnels, telsp

2,π. L’ensemble des nombres réels est notéRet l’on a N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.

Définition 5(Les réels)

(3)

• Le nombrep

2 est un irrationnel, il n’appartient pas àQce que l’on note :p 2∉Q.

Contrairement à une idée reçue, rien n’indique avec certitude que la découverte de l’incommensurabilité provienne de l’étude de la diagonale et de l’un des côtés d’un carré. La découverte de l’irrationalité dep

2 est parfois attribuée au ma- thématicien Hippase de Métaponte pour ses travaux sur la section d’extrême et de moyenne raison, maintenant appelée nombre d’or. On admet généralement qu’elle est l’ouvre d’un Pythagoricien durant la première moitié du Ve siècle av. J.-C.5.

Cette découverte ouvrit probablement une crise profonde chez les mathématiciens et les philosophes grecs. Une légende, plusieurs fois rapportée, indique qu’un pythagoricien, parfois nommé Hippase, périt noyé pour avoir révélé aux profanes l’incommensurabilité. Cette légende indiquerait que la découverte est bien pythagoricienne et qu’elle faisait l’objet d’un tabou.

La première démonstration date d’avant−410. Le livre X des Éléments d’Euclide est consacré à une classification des grandeurs irrationnelles.

• Le nombreπest un irrationnel, il n’appartient pas àQce que l’on note :π∉Q.

Le mathématicien Jean-Henri Lambert (26 août 1728 à Mulhouse ? 25 septembre 1777 à Berlin) démontra en 1761 queπne pouvait être rationnel.

I.5 Diagrammes de Venn

I.5.1 Les ensembles de nombres

N Q

1 3

Z

− 5

D

− 2,4

p R

2 π

2

I.5.2 Histoire

C’est le mathématicien suisseLeonhard Euler(Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) qui eut le premier l’idée de représenter géomé- triquement les attributs (ou propriétés) sous forme de cercles.

Un siècle plus tard, John Venn (1834-1923) reprend les idées d’Euler en y apportant quelques modifications.

I.6 Compléments

• Privé de zéro.

L’ensemble des entiers relatifs non nul se noteZ\ {0} ou plus simplementZ^∗. Cette notation est valable pour tous les autres ensembles. Par exemple, l’ensemble des réels non nuls se noteR\ {0} ou plus simplementR^∗.

• Positifs ou négatifs.

Pour indiquer que l’on considère les termes positifs (respectivement négatifs) d’un ensemble on place un signe + (respectivement -) en indice. Par exemple l’ensemble des réels positifs ou nul se noteR₊. On peut combiner les deux notations et donc l’ensemble des réels strictement négatifs se noteR^∗₋

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II Les intervalles

II.1 Notations des intervalles

Un intervalle deRest l’ensemble de tous les nombres réels compris entre deux réelsaetboùaest inférieur ou égal àb.

Selon que l’on prenne (ou non) le nombrea, on dira que l’intervalle est fermé (ouvert) du côté dea.

Un intervalle peut se représenter à l’aide d’un segment, d’une droite ou d’une demi-droite sur un axe.

L’intervalle Inéquation associée Représentation Ouvert ou fermé ?

[a;b] a≤x≤b a b

−∞ +∞

ditfermé bornéousegment

]a;b] a<x≤b a b

−∞ +∞

ditsemi-ouvertousemi-fermé

[a;b[ a≤x<b a b

−∞ +∞

ditsemi-ouvertousemi-fermé

]a;b[ a<x<b a b

−∞ +∞

ditouvert

À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur.

L’intervalle Inéquation associée Représentation Ouvert ou fermé ?

[a;+∞[ a≤x a

−∞ +∞

intervalle fermé

]a;+∞[ a<x a

−∞ +∞

intervalle ouvert

]− ∞;b[ x<b b

−∞ +∞

intervalle ouvert

]− ∞;b] x≤b b

−∞ +∞

intervalle fermé Se sont ajoutés les intervalles particuliers :

• L’ensemble vide;(à la fois ouvert et fermé), qui correspond au cas oùa=bdans ]a;b[ ;

• {a}=[a;a] (fermé et non ouvert) , qui correspond au cas oùa=bdans [a;b] ;

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Exemple

On noteAl’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 3 etBl’intervalle [−5 ; 10[.

A={x∈R,x≥3}=[3 ;+∞[ B=[−5 ; 10[

On a alors

• A∩Best l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à 3 et inférieurs strictement à 10, c’est à dire l’intervalle [3 ; 10[ ;

• A∪Best l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à−5 , c’est à dire l’intervalle [−5 ;+∞[.

III Notion de fonction

III.1 Approche historique

Une étude complète sur le site : www.math93.com/...histoire-de-la-notion-de-fonction Pour résumer cependant :

• Jusqu’au 17ème siècle, la notion de fonction n’est pas définie avec rigueur, le concept reste assez vague ;

• Leterme de fonction

– Le terme a été introduit par le mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716) dans un cadre géo- métrique. Il désigne par ce terme des grandeurs géométriques dépendant d’autres grandeurs géométriques ;

– C’est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, et J.Bernouilli (1654-1705) en donne une première définition.

• La notation.

– BERNOULLI Jean (1667-1748) proposela notation :Φx;

– Le symbolef(x) pour désigner une fonction de la variablex, voit sa première utilisation avec Leonhard EULER (1707- 1783) en 1734 dansCommentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.

• Le mathématicien allemand DIRICHLET Gustav Peter Lejeune (1805-1859), en introduisant la fonction discontinue partout, caractéristique des irrationnels (qui prend la valeur 0 si x est rationnel et 1 sinon), définit explicitement la fonction comme nous la définissons aujourd’hui ;

• Cependant, l’idée de relation entre les quantités, prend naissance avec les mathématiques elles-mêmes et donc chez les mathématiciens babyloniens et grecs.

– En acoustique, les mathématiciens de la fraternité pythagoricienne au 6ème siècle av. J.-C., recherchèrent des relations entre la hauteur des sons émis par des cordes pincées et la longueur de ces cordes ;

– En astronomie, les mathématiciens grecs d’Alexandrie dressent des tables donnant la longueurs des cordes de cercles de rayon fixé, ces sont les fameuses premières tables de sinus que l’on peut observer dans l’Almageste de PTOLÉMÉE Claude (2ème siècle).

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III.2 Définitions

SoitDune partie deR.

Une fonction notéef, définie sur un ensemble D =Df est une relation qui, à un réel deD, associe un unique réelynotéy=f(x). On note ainsi :

f :

( Df −→ R x 7−→ f(x)=y

• Dest l’ensemble de définition def, on le noteDf ;

• f(x) estl’imagedexparf;

• x estun antécédent(il peut y en avoir plusieurs, ou aucun) dey=f(x) parf.

b b

b

c d

7

bf(a)

a Imagesf(x)

Antécédentsx Ensemble de définition :Df =[0 ; 7] ;

Image : l’image deaparf estf(a)

Antécédents : les antécédents debparf sontx=c et x=d. Définition 8

Soit un repère du plan.

On appelle courbe représentative de la fonctionf, l’ensemble des pointsMde coordonnées¡

x; f(x)¢ . C_f ₌^©_M^¡_x_; _f_(x)^¢_,_x_∈_D_f^ª

Définition 9(Courbe représentative)

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III.3 Exemples

III.3.1 Exemple de fonction définie algébriquement

• Par une formule ou expression algébrique Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=p

x²+1−2

• Par un programme de calcul – Choisir un nombre ; – le mettre au carré ; – ajouter 1 au résultat ; – en prendre la racine carrée ; – et soustraire 2

• Par un algorithme

Cet algorithme a été réalisé grâce au logiciel ALGOBOX dont le téléchargement est possible sur la page de notre site : www.math93.com

1: VARIABLES

2: x EST_DU_TYPE NOMBRE 3: y EST_DU_TYPE NOMBRE 4: DEBUT_ALGORITHME 5: LIRE x

6: y PREND_LA_VALEUR sqrt(x*x+1)-2 7: AFFICHER "Pour x="

8: AFFICHER x

9: AFFICHER "On obtient Y="

10: AFFICHER y 11: FIN_ALGORITHME

III.3.2 Exemple de fonction définie graphiquement

On donne dans un repère (O;I; J) du plan,C_f la courbe représentative de la fonctionf.

1 2 3

−1 1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8 x

f(x)

C

_f

III.3.3 Exemple de fonction définie par un tableau de valeurs

(8)

IV Étude qualitative d’une fonction

IV.1 Sens de variation

La fonction f est ditecroissante sur l’intervalleI inclus dansDf si pour tous réelsx1etx2deI

six₁≤x₂alorsf(x1)≤f (x2) On dit que la fonctionf conserve l’ordre.

Définition 10(Fonction croissante)

x

f (x

₂

)

x

₁

≤ x

₂

f (x

1

)

La fonctionf est ditedécroissante sur l’intervalleI inclus dansDf si pour tous réelsx1etx2deI

six1≤x2alorsf(x1)≥f (x2) On dit que la fonctionf change l’ordre.

Définition 11(Fonction décroissante)

x

2 x

f (x

₂

)

x

₁

≤ f (x

1

)

IV.2 Tableau de variations

x −2 0 3

f 2

4

0

-2 3 x

4

2

IV.3 Extrema

• Le maximum def sur l’intervalleIest la plus grande valeurs possible des images, atteinte pour un réeladeI.

On a donc :

∀x∈I,f(x)≤f(a)

• Le minimum def sur l’intervalleIest la plus petite valeurs possible des images, atteinte pour un réelbdeI.

Définition 12(Extrema)