Licence Qualit´e et Maˆıtrise de l’´Energie ´Electrique
Universit´e de Strasbourg – UFR Physique et Ing´enierie – Lyc´ee Couffignal 1er juin 2010 – Enseignant : E. Laroche
Bases scientifiques – Contrˆ ole continu n˚3 – Correction
1 R´ egime transitoire
1. Le sch´ema est donn´e sur la figure 1. L’interrupteur peut ˆetre r´ealis´e par un transistor de puissance. Lorsque l’interrupteur est ouvert, le courant circule uniquement dans l’inductance et on peut consid´erer qu’il reste constant car il n’y a aucune dissipation d’´energie.
2. Lorsque l’interrupteur est ouvert, le courant i(t) circule dans l’inductance et dans la r´esistance. En v´erifiant que les conventions r´ecepteurs sont bien v´erifi´ees, on peut
´ecrire pour chacun des dipˆoles :
vL(t) = Ldi(t)
dt (1)
vR(t) = R i(t) (2)
En ajoutant la loi de maille :
vL(t) +vR(t) = 0 (3)
on obtient l’´equation diff´erentielle suivante : Ldi(t)
dt +R i(t) = 0 (4)
3. Pour une ´equation diff´erentielle du premier ordre sans second membre, la grandeur part de la condition initiale et converge vers z´ero avec une allure exponentielle1. L’expression math´ematique du courant est alors :
i(t) =I(1−exp(−t/τ)) (5)
o`uτ =L/R est la constante de temps.
4. En donnant l’allure de la courbe, on donnera la tangente `a t = 0 qui coupe l’axe des abscisses en t =τ. On fera apparaˆıtre les point (τ,0.37×I) et (3τ,0.05×I).
5. La constante de temps est τ = 10 ms. Le temps de r´eponse `a 5 % est de 3τ, soit 30 ms.
1Dans le cas d’un syst`eme stable ; voir le cours pour les d´etails.
000000 111111
00 00 00 00 00
11 11 11 11 11
00000000000 11111111111
00 00 11 11
00 00 11 11 0000 0000 1111 1111 000000 111111
00 00 00 00 00
11 11 11 11 11
00 00 0 11 11
1 vR(t) vL(t)
i(t) R
L
Fig. 1 – Sch´ema de l’inductance et de la r´esistance
1
Fig. 2 – Diagramme de Bode de H(s)
Fig. 3 – Sch´ema-bloc de la r´egulation
2 Asservissement
1. H(s) = R+Ls1
2. Le diagramme de Bode est donn´e sur la figure 2. Sont donn´es le diagramme asymp- totique et le trac´e r´eel. Le trac´e r´eel du gain passe `a -3 dB du trac´e asymptotique `a la pulsation de coupure des asymptotes, c’est-`a-dire `a la pulsation 1/τ avecτ =L/R.
3. Le gain statique est de 1/R = 2 A/V = 6 dB. La constante de temps est τ = L/R= 10 ms.
4. Le sch´ema-bloc est donn´e sur la figure ?? avecC(s) = Kp.
5. On a Y(s) = H(s)U(s) = H(s)Kp(R(s) − Y(s)) d’o`u (1 + H(s)Kp)Y(s) = H(s)KpR(s). La fonction de transfert en boucle ferm´ee est donc H = 1+H(s)H(s)KKp
p
ce qui se simplifie enHbf = R+KKp
p+Ls.
6. La fonction de transfert en boucle ferm´ee se met sous la forme normalis´eeHbf = 1+˜K˜τ s avec le gain statique ˜K =Kp/(R+Kp) = 0.8 et la constante de temps ˜τ =L/(R+ Kp) = 2 ms.
7. Cela donne une bande passante de 3/˜τ = 1500 rad/s (ou 240 Hz) et une erreur statique de 20 % (donn´e par 1−0.8).
2
3 Mesure
3.1 Chaine d’acquisition
3.1.1 G´en´eralit´es
1. La fr´equence d’´echantillonnage fe est le nombre d’acquisitions d’un signal par sec- onde.
2. Le filtre anti-repliement (anti-aliasingen anglais) permet d’att´enuer les composantes du signal `a des fr´equences sup´erieures `a la fr´equence de Shannon. En effet, ces composantes seraient per¸cues `a des fr´equences diff´erentes par le syst`eme num´erique qui ne per¸coit correctement que les fr´equences inf´erieures `afe/2.
3. Le filtre anti-repliement doit ˆetre plac´e du cot´e analogique, c’est-`a-dire avant l’´echan- tillonneur. En effet, une fois num´eris´e, il n’est plus possible de distinguer un signal
`
a une fr´equence f < fe/2 d’un signal `a une fr´equence plus ´elev´ee mais dont le repliement le ferait paraˆıtre `a la mˆeme fr´equence f. Une fois, num´eris´e, il est donc trop tard pour annuler le repliement.
4. Il faut f2 >2fmax o`u fmax est la fr´equence maximale de la partie utile du signal.
5. La fr´equence de Shannon estfe/2, c’est-`a-dire la moiti´e de la fr´equence d’´echantillon- nage. Elle repr´esente la fr´equence maximale au del`a de laquelle on ne peut restituer correctement un signal.
3.1.2 Application
Le rang 23 pour un signal `a la fr´equence fondamentale de 50 Hz donne la fr´equence maximale utile du signal : fmax = 1150 Hz. Il faut qu’`a cette fr´equence le filtre anti- repliement n’att´enue pas le signal, d’o`u une fr´equence de coupure du filtre fc ≥ fmax. Ensuite, il faut que le filtre permette une att´enuation de 20 dB avant la fr´equence de Shannon, ce qui imposefe/2≥10fc. On obtient finalementfe ≥2300 Hz. Une illustration est donn´ee sur la figure 4.
3.2 Incertitude de mesure
3.2.1 G´en´eralit´es
1. L’incertitude absolue de la somme de deux grandeurs est la somme de leurs incerti- tudes absolues.
2. L’incertitude relative du produit de deux grandeurs est la somme de leurs incerti- tudes relatives.
0 1150 fc 10fc fe/2
bande passante du filtre
signal utile att´enuation de 20 dB
f (Hz)
Fig. 4 – ´Echelle des fr´equences
3
3.2.2 Application 1. Fp = 0,9185.
2. 3,4 %.
3. Fp ∈[8,887 ; 0,950].
4
