Contr d’Alg M2 2011-12

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ 2011-12

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP - SMC

Départment de Mathématiques

Contrôle d’Algèbre M2

Durée : 1h30

Tous les résultats doivent être justifiés

Exercice 1

9 points )

Soit F = Ýx, y, z, 5y ? 13x ? zÞ tq : x, y, z 5 R .

1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de R4 _.

2) Trouver la dimension de F .

3) Vérifier que a1 = Ý1, 3, 0, 2Þ , a2 = Ý2, 7, 2, 7Þ , a3 = Ý1, 6, 6, 11Þ et a4 = Ý3, 10, 3, 8Þ

sont des vecteurs de F .

4) Trouver le rang du système S = Ýa1, a2, a3, a4Þ .

5) En déduire que F = vectÝSÞ

6) Montrer que si a est un vecteur quelcoque de R4 _{et si a 6 F alors vectÝaÞ est un supplémentaire}

de F dans R4_.

Exercice 2

11 points )

et f l’endomorphisme de R3 _{de matrice A par rapport à la base}

canonique B = Ýe1, e2, e3Þ de R3 .

1) Calculer fÝx, y, zÞ pour un vecteur quelconque Ýx, y, zÞ 5 R3. 2) Trouver le rang de f .

3) En déduire la dimension du ker f . 4) Trouver ker f .

5) Montrer que e1v = Ý1, 1, 1Þ , e2v = Ý1, 0, ?1Þ et e3v = Ý1, 1, 2Þ sont des vecteurs propres de f .

6) En déduire

a) que Bv = Ýe1v, e2v, e3vÞ est une base de R 3

. b) la matrice Av de f par rapport à la base Bv .

c) une matrice carrée P d’ordre 3 inversible telle que : P?1AP = Av . 7) CalculerÝAvÞ3 et la matrice P?1 .

8) En déduire la matrice A3_.