Cours de calcul différentiel

UNIVERSITÉ DE PARIS 8

Département de Mathématiques et Informatique

Cours de calcul différentiel

Pierre-Louis CAYREL

premier semestre 2008-2009

Cours disponible sur www.cayrel.net

Table des matières

1 Notion de topologie 2

1.1 Norme, distance, topologie . . . 2

1.2 Intérieur,adhérence . . . 5

1.3 Suites . . . 7

1.4 Caractérisation des ensembles à l’aide des suites. . . 8

1.5 Sous-espaces . . . 9

1.6 Équivalence . . . 10

1.7 Espaces produit . . . 11

1.8 Compléments . . . 12

2 Continuité 14 2.1 Caractérisations de la continuité . . . 14

2.2 Opérations avec les fonctions continues . . . 18

2.3 Exemples d’applications continues . . . 19

2.4 Convergence uniforme . . . 20

2.5 Homéomorphismes . . . 20

3 Équations différentielles 21 3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . 21

3.1.1 Définition . . . 21

3.1.2 Équations à coefficients constants . . . 22

3.1.3 Équations à coefficients non constants . . . 25

3.1.4 Exemple d’équation non linéaire . . . 27

3.1.5 La méthode d’Euler. . . 27

3.2 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . 29

3.2.1 Définition . . . 29

3.2.2 Équations à coefficients constants . . . 29

3.2.3 Équations à coefficients non constants . . . 33

Chapitre 1

Notion de topologie

1.1 Norme, distance, topologie

Définition 1.1.1

Soit E un espace vectoriel (e. v.) réel. Une normesur E est une applicationx 7→ kxk deE dansR⁺ = [0,∞[telle que :

(N1) kxk= 0⇔x= 0;

(N2) kλxk=|λ|kxk,∀λ ∈R,∀x∈E

(N3) kx+yk ≤ kxk+kyk,∀x, y ∈E(inégalité triangulaire).

Exemple 1

On rappelle que, dansRⁿ, kxk₂ = (Pn

i=1x²_i)^1/2 est une norme (la norme euclidienne stan- dard) ; avecx= (x₁, . . . , x_n).

Exemple 2

On vérifie aisément que, dansRⁿ, les formuleskxk₁ =Pn

i=1|x_i|etkxk∞=max|x₁|, . . . ,|x_n| définissent des normes.

Exemple 3

Pour 1 < p < ∞ et x ∈ Rⁿ, on définit kxk_p = (Pn

i=1x^p_i)^1/p (pour p = 2, on retrouve le cas particulier de la norme euclidienne).k.k_p vérifie clairement (N1) et (N2). On peut montrer que k.kp vérifie aussi (N3) ; c’est l’inégalité de Minkowski que l’on prouvera plus tard. Par conséquent,k.k_pest une norme. Plus généralement, si on a une normek.k_jsurE_j, j = 1, . . . , n, alorskxk_p = k(kx₁k₁, . . . ,kx_nk_n)k_p,1 < p < ∞,est une norme surE = E₁×E₂×. . . E_n. SurR,toutes les normes définies ci-dessus coïncident avec l’applicationx 7→ |x|.Cette norme est lanorme usuellesurR.

Définition 1.1.2

Unespace norméest un couple(E,k.k),oùk.kest une norme surE.

Définition 1.1.3

Soit X un ensemble non vide. Une distance (métrique) sur X est une application (x, y) 7→

1.1 Norme, distance, topologie Chapitre 1 d(x, y)deX×XdansR⁺telle que :

(D1) d(x, y) = 0⇔x=y;

(D2) d(x, y) =d(y, x),∀x, y ∈X;

(D3) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y),∀x, y, z ∈X (inégalité triangulaire).

Exemple 4

Soit(E,k.k)un espace normé. On posed(x, y) =kx−yk,∀x, y ∈X.Alorsdest une distance surE.En effet, (D1) découle de (N1). Pour vérifier (D2), on note que

d(y, x) =ky−xk=k(−1)(x−y)k=| −1|kx−yk=kx−yk=d(x, y).

Enfin, (D3) est une conséquence de (N3) :

d(x, y) = kx−yk=k(x−z) + (z−y)k ≤ kx−zk+kz−yk=d(x, z) +d(z, y).

Ainsi, toute norme définit une distance associée. La distance associée à la norme usuelle surR est ladistance usuellesurR.

Exemple 5

Sur tout ensemble non videXon peut définir une distance. Par exemple, en posant :

d(x, y) =

0 six=y 1 sinon C’est la distance triviale surX.

Définition 1.1.4

Un espace métrique est un couple(X, d),oùdest une distance surX.

Définition 1.1.5

Soit(X, d)un espace métrique. Pourx∈X etr >0,on définit :

a) la boule ouverte de centrexet rayonr:B(x, r) = {y∈X;d(y, x)< r};

b) la boule fermée de centrexet rayonr:B⁰(x, r) ={y∈X;d(y, x)≤r};

c) la sphère de centrexet rayonr:S(x, r) ={y∈X;d(y, x) = r}.

Exemple 6

DansRmuni de la distance usuelle,B(1,1) =]0,2[.

Exemple 7

DansR² muni de la normek.k∞et de la distance associée,B(0,1) = [−1,1]². Définition 1.1.6

Soit (X, d) un espace métrique. Par définition, une partie U deX est un ouvert si, pour tout x∈U,il existe unr >0tel queB(x, r)⊂U.

Remarque

En principe,rdépend dex.

1.1 Norme, distance, topologie Chapitre 1 Exemple 8

Dans R muni de la distance usuelle, U =]0,1[ est un ouvert. En effet, si on pose, pourx ∈ U, r= min{x,1−x},on vérifie aisément queB(x, r)⊂U.

Définition 1.1.7

Soit(X, d)un espace métrique. La topologie de(X, d)est τ ={U ⊂X;Uest un ouvert}.

Définition 1.1.8

Soit(X, d)un espace métrique. Un ensembleF ⊂ X est fermé si son complémentaireF^cest ouvert.

Exemple 9

∅etXsont à la fois ouverts et fermés.

Proposition 1.1.1

a) Pour toutx∈Xet toutr >0, B(x, r)est un ouvert.

b) SiUi est un ouvert,∀i∈I,alorsS

i∈IUiest un ouvert.

c) Soitn ∈N^∗.SiU_i est un ouvert,i= 1, . . . , n, alorsTn

i=1U_i est un ouvert.

Preuve

a) Soity∈B(x, r).Soitρ=r−d(y, x)>0.On va prouver queB(y, ρ)⊂B(x, r).En effet, z ∈B(y, ρ)⇒d(z, y)< ρ⇒d(x, z)≤d(z, y) +d(y, x)< ρ+d(y, x) =r ⇒z ∈B(x, r).

b) Soitx ∈S

i∈IU_i.Il existe uni₀ ∈ Itel quex∈ U_i0. U_i0 étant ouvert, il existe unr >0tel queB(x, r)⊂Ui0.Pour ce mêmer,on aB(x, r)⊂S

i∈IUi. c) Soitx∈Tn

i=1U_i.On ax∈U_i,∀i= 1, . . . , n.ChaqueU_iétant ouvert, il existe unr_i >0tel queB(x, r_i) ⊂U_i,∀i = 1, . . . , n.Soitr =min{r₁, . . . , r_n}.AlorsB(x, r) ⊂ B(x, r_i), i = 1, . . . , n,et doncB(x, r)⊂Ui, i= 1, . . . , n.Il s’ensuit queB(x, r)⊂U.

2 Proposition 1.1.2

a) Pour toutx∈Xet toutr >0, B⁰(x, r)est un fermé.

b) Soitn ∈N^∗. SiF_iest un fermé,i= 1, . . . , n,alorsSn

i=1F_i est un fermé.

c) SiF_iest un fermé,∀i∈I,alorsT

i∈IF_iest un fermé.

Preuve

a) On doit montrer queB⁰(x, r)^cest un ouvert. Soity∈B⁰(x, r)^c;ysatisfait doncd(y, x)> r.

Soitρ=d(y, x)−r >0.On a

z ∈B(y, ρ) =)d(z, x)≥d(y, x)−d(z, y)> d(y, x)−ρ=r⇒z ∈B(x, r)^c; autrement dit, on aB(y, ρ)⊂B⁰(x, r)^c.

Les propriétés b) et c) s’obtiennent de b) et c) de la proposition précédente par passage au complé-

mentaire. 2

1.2 Intérieur,adhérence Chapitre 1

1.2 Intérieur,adhérence

Définition 1.2.1

Soit(X, d)un espace métrique. PourA⊂X,on définit l’intérieur deA,

◦

Apar

◦

A = [

U ouvert,U⊂A

U

et l’adhérence deA, A,par

A= \

F fermé,F⊃A

F.

Exemple 10

DansR muni de la distance usuelle, tout intervalle ouvert est ouvert, tout intervalle fermé est fermé. Un intervalle de la forme]− ∞, a]ou[a,+∞[est fermé.

En effet,Rest ouvert. Un intervalle de la forme]a, b[,aveca, bfinis, est une boule ouverte : ]a, b[=B(x, r),oùx= (a+b)/2, r = (b−a)/2.

De même,[a, b]est une boule fermée. Par ailleurs,]a,+∞[=S

n∈N^∗]a, a+n[,et donc]a,+∞[

est ouvert. Par le même raisonnement,]− ∞, a[est ouvert. Il s’ensuit que[a,+∞[=]− ∞, a[^cest fermé, et, de même,]− ∞, a]est fermé.

Proposition 1.2.1 a)

◦

Aest un ouvert contenu dansA.

b) SiU est un ouvert et U ⊂ A, alorsU ⊂

◦

A. Autrement dit,

◦

A est le plus grand ouvert contenu dansA.

a’) Aest un fermé contenantA.

b’) Si F est un fermé et F ⊃ A, alors F ⊃ A. Autrement dit, A est le plus petit fermé contenantA.

Preuve a)

◦

Aest une union d’ouverts contenus dansA,donc un ouvert contenu dansA.

b) Par définition ! La preuve est identique pour a’), b’).

2

Exemple 11

On considère, dansRmuni de la distance usuelle,A= [0,1[.Alors

◦

A=]0,1[etA= [0,1].

En effet,]0,1[est un ouvert contenu dansA,[0,1]est un fermé contenantA,et donc]0,1[⊂

◦

A⊂

A ⊂ A ⊂ [0,1]. On a donc soit

◦

A= A, soit

◦

A=]0,1[. Pour éliminer la première possibilité, on montre que A n’est pas un ouvert. Par l’absurde : sinon, il existe un r > 0 tel que B(0, r) = ]− r, r[⊂ A. Or, −r/2 ∈ B(0, r), mais −r/2 6∈ A. Contradiction. Pour A, il y a aussi deux

1.2 Intérieur,adhérence Chapitre 1 possibilités :A = [0,1]ouA=A.On n’est pas dans le deuxième cas, carAn’est pas fermé. Ceci revient à montrer queA^c =]− ∞,0[∪[1,+∞[n’est pas un ouvert et se démontre par l’absurde (il n’y a pas der >0tel queB(1, r)⊂A^c).

Proposition 1.2.2

a) On aA⊂B ⇒A^◦ ⊂B^◦ etA⊂B.

b) x∈

◦

A⇔ ∃r >0tel queB(x, r)⊂A.

c)

◦

A=X\A^cetA=X\A^◦c.

d) x∈A⇔ ∀r >0, B(x, r)∩A6=∅.

Preuve

a) Évident.

b) ”⇒” Six∈A^◦ (qui est un ouvert), il existe unr >0tel queB(x, r)⊂A^◦ ⊂A.

”⇐” B(x, r)est un ouvert contenu dansA,et doncB(x, r)⊂A. Comme^◦ x∈ B(x, r),on ax∈A.^◦

c) On prouve la première égalité, qui revient, après passage au complémentaire, àX\A=^◦ A^c. (Le raisonnement est le même pour la seconde égalité.) On a

◦

A= [

U ouvert,U⊂A

U ⇒X\A^◦ = \

U ouvert,U⊂A

U^c= \

F fermé,F⊃A

F =A^c.

d) On a, d’après c), x∈A⇔x6∈

◦

A^c⇔ ∀r >0, B(x, r)6⊂A^c⇔ ∀r >0, B(x, r)∩A6=∅.

2 Proposition 1.2.3

a) U ouvert⇔U =U .^◦ b) F fermé⇔F =F .

c) U ouvert⇔U est une union de boules ouvertes.

Preuve

a) ”⇒”est claire, carU^◦ est un ouvert. Réciproquement, siU est ouvert, alors le point b) de la proposition précédente impliqueU ⊂ U^◦ . Par ailleurs, on a toujours U ⊃ U^◦ , d’où l’égalité voulue.

b) Par passage au complémentaire de a) :F fermé⇔F^couvert⇔F^c =

◦

F^c =X\F ⇔ F = F .

c) ”⇒” Pour toutx∈U,il existe unrx>0tel que{x} ⊂B(x, rx)⊂U.Alors U = [

x∈U

{x} ⊂ [

x∈U

B(x, rx)⊂U.

”⇐” Une boule ouverte étant un ouvert, une union de boules ouvertes est un ouvert.

2

1.3 Suites Chapitre 1 Proposition 1.2.4

a) Un ensemble fini est fermé.

b) A∪B =A∪B.

c) A∩B ⊂A∩B.En général, l’inclusion est stricte.

d) A∩^◦ B =A^◦ ∩B .^◦

e) A∪^◦ B ⊃A^◦ ∪B .^◦ En général, l’inclusion est stricte.

Preuve

a) {x}=B(x,0),et donc un singleton est fermé. Une union finie de fermés étant un fermé, un ensemble fini est fermé.

b) A⊂A∪B ⇒A⊂ A∪B;de même,B ⊂ A∪B et par conséquentA∪B ⊂A∪B.Par ailleurs,A∪B est un fermé contenantA∪Bet doncA∪B ⊂A∪B.

c) CommeA∩B ⊂ A,on aA∩B ⊂ A;de même,A∩B ⊂ B,d’oùA∩B ⊂ A∩B.Un exemple d’inclusion stricte : dansRmuni de la distance usuelle, on prendA = [0,1[, B = ]1,2].On a vu queA= [0,1];par le même raisonnement,B = [1,2].AlorsA∩B =∅=∅, maisA∩B ={1}.

d) Comme dans c), on aA∩^◦ B ⊂A^◦ ∩B .^◦ Par ailleurs,A^◦ ∩B^◦ est un ouvert contenu dansA∩B et doncA^◦ ∩B^◦ ⊂A∩^◦ B.

e) L’inclusion se montre comme dans b). Un exemple d’inclusion stricte : on prend A, B comme dans c). Alors (pourquoi ?)A∪^◦ B =]0,2[etA^◦ ∪B^◦ =]0,2[\{1}.

2

1.3 Suites

Si(xn)est une suite, on notera une suite extraite (=sous-suite) soit par(xn_k),soit parx_φ(n).Dans le premier cas,n₀, n₁, . . . ,est une suite strictement croissante d’entiers ; dans le second,φ :N→N est une application strictement croissante. Par abus de notation, si tous les termes d’une suite(x_n) appartiennent à un ensembleX,on écrit(xn)⊂X.

Définition 1.3.1

Soit (X, d) un espace métrique. Si (x_n) ⊂ X etx ∈ X, alors, par définition,x_n → x((x_n) converge versx) si et seulement sid(x_n, x)→ 0.Une suite(x_n)est convergente s’il existe un x∈Xtel quex_n→x.On écrit alorsx= lim

n→∞x_n.

Traduction dex_n →x: pour tout >0,il existe unn₀ ∈Ntel qued(x_n, x)< sin ≥n₀.Il est évident, à partir de la définition, que si(x_n)→xet si(x_nk)est une sous-suite, alorsx_nk →x.Dans Rmuni de la distance usuelle, cette définition coïncide avec la définition usuelle de la convergence.

Définition 1.3.2

Soit(X, d)un espace métrique. Si(x_n) ⊂ X etx ∈ X,alors, par définition, xest une valeur d’adhérence de la suite(x_n)s’il existe une sous-suite(x_nk)telle quex_nk →x.

1.4 Caractérisation des ensembles à l’aide des suites Chapitre 1 Exemple 12

DansRmuni de la distance usuelle, soitxn= (−1)ⁿ, n∈N.Alors1est une valeur d’adhérence de(x_n),carx_2n →1.

Proposition 1.3.1

Si x_n → x, alors x est la seule valeur d’adhérence de la suite (x_n). En particulier, la limite d’une suite convergente est unique.

Preuve x est une valeur d’adhérence, car la suite extraite (x_n) converge versx. Soit y une va- leur d’adhérence de(x_n).Il existe une sous-suite(x_nk)telle quex_nk → y.Par ailleurs, on a aussi x_nk → x.On suppose par l’absurdey 6=x.Alorsd(x, y)>0.Posons=d(x, y)/2>0.Comme x_nk →x,il existe unk₁tel qued(x_nk, x)< sik ≥k₁;de même, il existe unk₂tel qued(x_nk, y)<

sik ≥k₂.Alors, pourk= max{k₁, k₂},on ad(x, y)≤d(x, x_nk) +d(x_nk, y)<2=d(x, y),ce

qui est absurde. 2

1.4 Caractérisation des ensembles à l’aide des suites

Proposition 1.4.1 On a

F¯ ={x∈X;∃(x_n)⊂F telle quex_n→x}.

Preuve

”⊃” On considère un xappartenant à l’ensemble de droite. Soitr > 0. Il existe n₀ tel que d(xn, x) < r, n ≥ n0. En particulier, xn0 ∈ B(x, r)∩F,et donc B(x, r)∩F 6= ∅, d’où x∈F .

”⊂” Soit x ∈ F .Pour n ∈ N, on considère un x_n ∈ F ∩B(x,1/(n+ 1)).Alors (x_n) ⊂ F, d(xn, x)<1/(n+ 1)et doncxn →x.

2 Proposition 1.4.2

F est un fermé⇔pour toute suite convergente(x_n)⊂F on a lim

n→∞x_n∈F.

Preuve

”⇒” Sixest tel qu’il existe une suite(x_n)⊂F telle quex_n→x,alorsx∈F¯ =F.

”⇐” Si x ∈ F¯, il existe une suite (x_n) ⊂ F telle que x_n → x. Par conséquent, x ∈ F, et doncF¯ ⊂F.Comme on a toujoursF ⊂F ,¯ on trouveF = ¯F ,et doncF est fermé.

2

1.5 Sous-espaces Chapitre 1

1.5 Sous-espaces

Si(X, d)est un espace métrique et siA⊂X,alors la restriction dedàAest une distance surA;

c’est ladistance induitesurA.Par abus de notation, on désigne cette restriction encore pard,et on note l’espace métrique correspondant (A, d);c’est un sous-espace de(X, d).On peut considérer, dans ce nouveau espace métrique, des ouverts (fermés), appelés les ouverts (fermés) deA.

Proposition 1.5.1

a) V est un ouvert deA⇔il existe un ouvertU (deX) tel queV =U ∩A.

b) Gest un fermé deA⇔il existe un ferméF (deX) tel queG=F ∩A.

c) SiAest un ouvert (deX), alorsV est un ouvert deA ⇔V ⊂ AetV est un ouvert (de X).

d) SiA est un fermé (deX), alorsGest un fermé de A ⇔ G ⊂ A etGest un fermé (de X).

Preuve

a) Six ∈ A etr > 0,soit B_A(x, r) = {y ∈ A;d(y, x) < r}. Il est évident queB_A(x, r) = B(x, r)∩A.

”⇒” Six∈V , il existe unr_x>0tel que{x} ∈B_A(x, r_x)⊂V.On a donc

V = [

x∈V

{x} ⊂ [

x∈V

B_A(x, r_x) = [

x∈V

B(x, r_x)

!

∩A⊂V,

d’oùV =U ∩A,avecU =S

x∈V B(x, r_x)ouvert deX.

”⇐” Soitx∈V.On ax∈U;il existe donc unr >0tel queB(x, r)⊂U.Il s’ensuit que B_A(x, r)⊂U ∩A=V.

b) Par passage au complémentaire de a) :Gfermé deA ⇔ A\Gouvert deA ⇔il existe un ouvertU deXtel queA\G =U ∩A ⇔(en posantF =U^c) il existe un ferméF deXtel que

G=F ∩A.

c) ”⇒” Si V est un ouvert de A, il existe un ouvert U de X tel que V = U ∩A et alors clairementV ∩A=V est un ouvert deX.

”⇐” On aV =V ∩A,et doncV est un ouvert deA.

d) La preuve est identique à celle de c).

2 Proposition 1.5.2

Soit F un fermé non vide de R. Si F est majoré (respectivement minoré), alors supF ∈ F (respectivementinfF ∈F).

Preuve On suppose, par exemple, F majoré. Pour chaque n ∈ N, il existe un x_n ∈ F tel que supF −1/(n+ 1)< x_n ≤supF.Il s’ensuit quex_n →F,et doncsupF ∈F. 2

1.6 Équivalence Chapitre 1

1.6 Équivalence

Définition 1.6.1

SoitE un e. v. réel. Deux normeskk₁,kk₂ surE sontéquivalentes⇔ ∃C₁, C₂ >0telles que C₁kxk₁ ≤ kxk₂ ≤C₂kxk₁,∀x∈E.

Définition 1.6.2

SoitXun ensemble non vide. Deux distancesd₁, d₂ surXsontéquivalentes⇔ ∃C₁, C₂ >0 telles queC₁d₁(x, y)≤d₂(x, y)≤C₂d₁(x, y),∀x, y ∈X.

Il est facile de vérifier que l’équivalence des normes ou distances est, comme son nom l’indique, une relation d’équivalence. Le résultat suivant est évident :

Proposition 1.6.1

Soitkk₁,kk₂deux normes équivalentes sur l’e. v. réelE.Alors les distances associées àkk₁,kk₂ sont équivalentes.

Proposition 1.6.2

Soitd₁, d₂ deux distances équivalentes sur l’ensembleX.Alors : a) xn→xdans(X, d1)⇔xn→xdans(X, d2);

b) les fermés de(X, d₁)et de(X, d₂)coïncident ; c) les ouverts de(X, d₁)et de(X, d₂)coïncident.

Preuve

a) Exercice !

b) C’est une conséquence de a) et de la caractérisation des fermés à l’aide des suites.

c) Par passage au complémentaire de b).

2 On montrera plus tard le résultat fondamental suivant :

Théorème 1.6.1

SoitE un e. v. réel de dimension finie. Alors toutes les normes surE sont équivalentes.

1.7 Espaces produit Chapitre 1 Il s’ensuit que, pour ce qui concerne les ouverts, fermés, suites convergentes, le choix de la norme sur un tel espace est immatériel. En particulier, on ne précisera pas la norme surE.Par exemple,

"DansRⁿ ..." sous-entend "Dans Rⁿ muni d’une norme (et de la distance associée), ...". Dans un produitE =E₁× · · · ×E_nd’espaces normés, on vérifie aisément que les normesk.k_p,1≤p≤ ∞, sont équivalentes. "DansE ..." sous-entend "DansEmuni d’une de ces normes, ...".

1.7 Espaces produit

Soient(X_j, d_j), j = 1, . . . , k, kespaces métriques. SurX =X₁×. . . X_d,les formules D_p(x, y) =k(d₁(x₁, y₁), . . . , d_k(x_k, y_k))k_p,1≤p≤ ∞,

définissent des distances ; ici,x = (x₁, . . . , x_n) ety = (y₁, . . . , y_n). On vérifie aisément que ces distances sont équivalentes. Par conséquent, les suites convergentes, les topologies et les fermés coïncident pourD_p,1 ≤p≤ ∞.Cette unique topologie surX est la topologie produit. On appel- lera chacune des distances introduites ci-dessus une distance produit. Quand on étudie une propriété qui ne change pas quand on passe d’une distance à une distance équivalente (convergence, intérieur, adhérence, etc.), on se servira indistinctement de l’une de ces distances.

Exemple 13

SiX₁ = · · · = X_k = Ravec la distance usuelle, alors D_p est la distance associée à la norme kkpsurR^k.

Proposition 1.7.1

Soient(xⁿ)⊂X, x∈X.On axⁿ →x⇔xⁿ_j →xj, j = 1, . . . , n.Ici, xⁿ= (xⁿ₁, . . . , xⁿ_k), x= (x₁, . . . , x_k).

Preuve

”⇒” On considère par exemple la distanceD∞surX. Alorsxⁿ → x ⇒ 0 ≤ d_j(xⁿ_j, x_j) ≤ max{d₁(xⁿ₁, x₁), . . . , d_k(xⁿ_k, x_k)} =D_∞(xⁿ, x)→ 0, j = 1, . . . , k;d’oùd_j(xⁿ_j, x_j)→ 0,ce qui impliquexⁿ_j →x_j, j = 1, . . . , k.

”⇐” On considère la distance D₁. On a 0 ≤ D₁(xⁿ, x) ≤ Pk

j=1d_j(xⁿ_j, x_j) → 0, d’où xⁿ→x.

2 Proposition 1.7.2

a) SiU_j est un ouvert de(X_j, d_j), j = 1, . . . , k,alorsΠ^k_j=1U_j est un ouvert deX.

b) SiF_j est un fermé de(X_j, d_j), j = 1, . . . , k,alorsΠ^k_j=1F_jest un fermé de X.

Preuve

a) SoitU_j un ouvert de (X_j, d_j), j = 1, . . . , k.Soit x = (x₁, . . . , x_k) ∈ Π^k_j=1U_j. Alorsx_j ∈ U_j,∀j, et donc il existe unr_j > 0 tel que{y_j ∈ X_j;d_j(y_j, x_j) < r_j} ⊂ U_j,∀j. Soit r = min{r₁, . . . , r_j}.On a clairement{y_j ∈X_j;d_j(y_j, x_j)< r} ⊂U_j,∀j,et donc

{y∈X;D∞(y, x)< r} ⊂Π^k_j=1U_j.

1.8 Compléments Chapitre 1 b) SoitF_j un fermé de(X_j, d_j), j = 1, . . . , k.SoitF = Π^k_j=1F_j.Si(x_n)⊂F etx_n→x,alors

xⁿ_j →x_j, j = 1, . . . , k.Par conséquent,x_j ∈F_j, j = 1, . . . , k,et doncx∈F.

2

1.8 Compléments

Proposition 1.8.1 ((Inégalité de Young))

Sia, b≥0et si1< p, q <∞sont tels que ¹_p +¹_q = 1,alors

ab≤ a^p p +b^q

q.

Preuve On fixe b. La fonction a a 7→ f(a) = ^a_p^p + ^b_q^q −ab, a ≥ 0, atteint son minimum pour a0 =b^1/(p−1)et on vérifie facilement quef(a0) = 0(on utilise l’égalité _p−1^p =q). 2 Proposition 1.8.2 ((Inégalité de Hölder))

Sia = (a1, . . . , an), b= (b1, . . . , bn)∈Rⁿet si1< p, q <∞sont tels que ¹_p +¹_q = 1,alors

n

X

i=1

a_ib_i

≤ kak_pkbk_p



=

n

X

i=1

|a_i|^p

!1/p n

X

i=1

|b_i|^q

!1/q

.

Preuve Sia = 0 oub = 0,l’inégalité suit trivialement. Supposonsa 6= 0 etb 6= 0.Dans ce cas, α=kak_p >0etβ =kbk_q >0.SoitA >0à déterminer ultérieurement. Pour chaquei,on a

|a_ib_i|= (A|a_i|) |b_i|

A

≤ A^p|a_i|^p

p +|b_i|^q A^qq.

En sommant ces inégalités pouri= 1, . . . , n,on trouve, à l’aide de l’inégalité triangulaire,

n

X

i=1

aibi

≤

n

X

i=1

|aibi| ≤ A^pα^p p + β^q

A^qq.

On choisit maintenant A de sorte que A^pα^p = _A^βqq; alors A = _α^βq/(p+q)_q/(p+q) = ^β_α^1/p_1/q (car _p+q^p = ¹_q et

q

p+q = ¹_p.En remplaçant dans l’inégalité ci-dessus, on trouve

n

X

i=1

a_ib_i

≤ αβ p +αβ

q =αβ =kak_pkbk_q.

2

1.8 Compléments Chapitre 1 Proposition 1.8.3 ((Inégalité de Minkowski))

Sia, b∈Rⁿet1< p <∞,alors

ka+bkp ≤ kakp+kbkp.

Preuve Sia+b = 0, c’est immédiat. Supposonsa+b 6= 0et posons α = ka+bk_p > 0.Soit 1< q <∞tel que ¹_p + _q¹ = 1(autrement dit,q= _p−1^p ).On a, de l’inégalité de Hölder,

n

X

i=1

|a_i||a_i+b_i|^p−1 =

n

X

i=1

|a_i||a_i+b_i|^p−1

≤

n

X

i=1

|a_i|^p

!1/p n

X

i=1

|a_i+b_i|^p

!(p−1)/p

=α^p−1kak_p.

(carq(p−1) = p et ¹_q = ^p−1_p )et, de même,Pn

i=1|bi||ai +bi|^p−1 ≤ α^p−1kbkp. En sommant ces deux inégalités et en utilisant l’inégalité triangulaire, on trouve

α^p =

n

X

i=1

|ai+bi|^p =

n

X

i=1

|ai+bi||ai+bi|^p−1 ≤

n

X

i=1

(|ai|+|bi|)|ai+bi|^p−1 ≤α^p−1(kakp+kbkp);

l’inégalité de Minkowski s’obtient de cette dernière inégalité en simplifiant parα^p−1. 2 Proposition 1.8.4

Si(x_n)⊂X,avec(X, d)métrique, alors

{x;xvaleur d’adhérence de la suite(x_n)}= \

n≥0

{x_n, x_n+1, . . .}.

Preuve Exercice 2

Proposition 1.8.5

U est un ouvert de l’espace métrique(X, d) ⇔pour toutx ∈ U et pour toute suite(x_n)⊂ X telle quexn→x,il existe un rangn0 tel quexn ∈U,∀n ≥n0.

Preuve Exercice 2

Définition 1.8.1

Soit(X, d)un espace métrique. Une partieAdeXestdensedansX ⇔A=X.

Traduction : pour toutx ∈X,il existe une suite(x_n)⊂Atelle quex_n →x.On notera que, si on remplace une distance par une distance équivalente, les ensembles denses restent les mêmes.

Exemple 14

DansRmuni de la distance usuelle,QetR\Qsont denses.

En effet, soitx∈Ret soitr >0.AlorsB(x, r) =]x−r, x+r[.On rappelle qu’entre deux réels distincts il y a toujours un nombre rationnel et un nombre irrationnel ; ce qui impliqueB(x, r)∩Q6=

∅etB(x, r)∩(R\Q)6=∅.On trouvex∈Qetx∈R\Q,∀x∈R.

Chapitre 2 Continuité

2.1 Caractérisations de la continuité

Définition 2.1.1

Soient(X, d),(Y, D)deux espaces métriques. Une applicationf :X →Y est continue au point a ∈ X si, pour tout > 0,il existe unδ > 0tel queD(f(x), f(a)) < dès qued(x, a) < δ.

On dit aussi queaest un point de continuité def. f est continue sif est continue en tout point deX.L’ensemble des fonctions continues de(X, d)vers(Y, D)est notéC((X, d),(Y, D))ou tout simplementC(X, Y).

La notion de continuité n’ayant un sens que pour une application agissant entre deux espaces mé- triques, on écrit, par abus de notation et lorsqu’il s’agit d’étudier la continuité,f : (X, d)→(Y, D).

Il est clair que le caractère continu d’une fonction ne change pas si on remplaced ou D par des distances équivalentes.

Définition 2.1.2

f : (X, d) → (Y, D) est k-lipschitzienne si D(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y),∀x, y ∈ X. f est lipschitzienne s’il existe unk >0tel quef soitk-lipschitzienne.

Une fonction lipschitzienne est continue. En effet, étant donnés una ∈ X et un > 0, on peut prendreδ=/K.

Exercice 1

1. SoitEl’espace formé des fonctions réelles définie sur[a, b],lipschitziennes et s’annulant ena.Montrer que l’applicationN :E →Rqui àf ∈E associe le réelN(f) = inf{k∈ R+/∀x, y ∈[a, b],|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|}définit une norme surE.

N(f) = 0 ⇒ f constante or f(a) = 0 donc f = 0. Les propriétés N(f + g) ≤ N(f) + N(g) et N(λf) = |λ|N(f) s’obtiennent par manipulation courante de borne inférieure.

2. SoitE un espace vectoriel normé etT :E →E définie par :T(u) = usikuk ≤1et _kuk^u sinon. Montrer queT est au moins 2-lipschitzienne.

Pouru, v ∈B(0,1), on akT(u)−T(v)k=ku−vk ≤2ku−vk.Pouru, v /∈B(0,1), on akT(u)−T(v)k=k_kuk^u −_kvk^v k= kkvku−kukvk

kukkvk orkvku−kukv =kvk(u−v)+(kvk−kuk)v

2.1 Caractérisations de la continuité Chapitre 2 donc

kT(u)−T(v)k ≤ ku−vk

kuk +|kvk − kuk| ≤2ku−vk

car|kv−uk|=kv−uketkuk ≥1.Pouru∈B(0,1)etv /∈B(0,1),kT(u)−T(v)k= ku− _kvk^v k = ^|kvku−v|_kvk = (|kvk−1|)kuk+ku−vk

kvk ≤ 2ku− vk car |kvk −1| = kvk − 1 ≤ kvk − kuk ≤ kv−uketkvk ≥1.

3. SoitE un espace vectoriel réel normé. On pose f(x) = _max(1,kxk)¹ x.Montrer que f est 2-lipschitzienne.

Sikxk,kyk ≤1alorskf(y)−f(x)k= ky−xk.Sikxk ≤1etkyk >1alorskf(y)− f(x)k=k_kyk^y −xk=k_kyk^y −y+yxk ≤ kyk −1 +ky−xk ≤2ky−xk.

Si kxk,kyk > 1 alors kf(y) −f(x)k = k_kyk^y − _kxk^x k = k^y−x_kyk + x(_kyk¹ − _kxk¹ )k ≤

ky−xk

kyk +^|kxk−kyk|_kyk ≤2ky−xk.Au finalf est 2-lipschitzienne.

Exemple 15

Soit(E,kk)un espace normé. Alorsx7→ kxkest1-lipschitzienne deE versR.En effet, on a :

−kx−yk ≤ kxk − kyk ≤ kx−yk, et donc

|kxk − kyk| ≤ kx−yk.

De même, sia∈X,alorsx7→d(x, a) : (X, d)→Rest1-lipschitzienne.

Proposition 2.1.1

a) f est continue ena⇔pour toute suite(x_n)⊂Xtelle quex_n→aon af(x_n)→f(a).

b) f est continue⇔pour toute suite convergente(x_n)⊂X, lim

n→∞f(x_n) =f( lim

n→∞x_n).

c) f est continue⇔pour tout ouvertU deY, f⁻¹(U)est un ouvert deX.

d) f est continue⇔pour tout ferméF deY, f⁻¹(F)est un fermé deX.

Preuve

a) ” ⇒ ” Soit > 0.Pour le δ correspondant, il existe un n₀ tel que d(x_n, a) < δ, n ≥ n₀. AlorsD(f(x_n), f(a))< , n≥n₀;d’oùf(x_n)→f(a).

” ⇐ ” Par l’absurde : si f n’est pas continue en a, il existe un > 0 tel que, pour tout δ >0,il existe unxtel qued(x, a) < δ maisD(f(x), f(a)) ≥”.Pourδ = 1/(n+ 1),on trouve unx_n tel qued(x_n, a) <1/(n+ 1)etD(f(x_n), f(a)) ≥.On a doncx_n → amais f(x_n)6→f(a),contradiction.

b) Conséquence immédiate de a).

c) ”⇒ ”SoitU un ouvert deY et soita ∈ f⁻¹(U).Commef(a) ∈ U,il existe un > 0tel queB(f(a), )⊂U.Avec leδcorrespondant dans la définition de la continuité ena,on a

d(x, a)< δ ⇐D(f(x), f(a))< ⇐f(x)∈U ⇐x∈f⁻¹(U), et doncB(a, δ)⊂f⁻¹(U).

” ⇐ ” Soienta ∈ X et > 0. Alors f⁻¹(B(f(a), )) est un ouvert contenanta; il existe donc unδ >0tel queB(a, δ)⊂f⁻¹(B(f(a), )),ce qui se traduit par

d(x, a)< δ ⇐x∈f⁻¹(B(f(a), ))⇐f(x)∈B(f(a), )⇐D(f(x), f(a))< .

2.1 Caractérisations de la continuité Chapitre 2 d) Par passage au complémentaire de c).

2 Exemple 16

Si f : R → R, on retrouve la définition usuelle de la continuité. Ainsi, toutes les fonctions

"usuelles" sont continues.

Proposition 2.1.2

Soient(E,kk_E),(F,kk_F)deux espaces normés. Pour une application linéairef : (E,kk_E)→ (F,kk_F),les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) f continue ; b) f continue en0;

c) il existe unC >0tel quekf(x)k_F ≤Ckxk_E,∀x∈E.

Si, de plus,Eest de dimension finie, alors toute application linéairef : (E,kkE)→(F,kkF) est continue.

Preuve ”a)⇒b)”Évident.

”b) ⇒ c)”Il existe un δ > 0 tel que kx −0k_E < δ ⇒ kf(x)−f(0)k_F < 1.Si x ∈ E\{0}, on a kykE < δ, où y = _2kxk^δ

Ex. Donc kf(x)kF = ^2kxk_δ ^Ekf(y)kF ≤ ²_δkxkE. Cette égalité étant clairement vérifiée six= 0,on retrouve c) avecC = ²_δ.

”c) ⇒ a)” On a kf(x)−f(y)kF = kf(x−y)kF ≤ Ckx−ykE;f est C-lipschitzienne, donc continue. Pour la dernière propriété, on fixe une base e₁, . . . , e_n de E. Si x = x₁e₁ +. . . x_ne_n, on vérifie aisément quex → kxk₁ = |x₁|+. . .|x_n|est une norme sur E. Il suffit de vérifier la continuité par rapport à cette norme. On a

kf(x)k_F =kf(x₁e₁+. . . x_ne_n)kF ≤ |x|₁kf(e₁)k_F +. . .|x_n|kf(e_n)k_F ≤Ckxk₁,

oùC = maxkf(e₁)kF, . . . ,kf(e_n)k_F. 2

Proposition 2.1.3

Si f : (E,kkE) → (F,kkF) est linéaire et continue, alors il existe une plus petite constante C ≥0telle quekf(x)k_F ≤Ckxk_E,∀x∈E.De plus, on a

C= sup{kf(x)k_F;kxk_E ≤1}= sup{kf(x)k_F;kxk_E = 1}= sup{kf(x)kF

kxk_E ;x∈E\{0}}.

Preuve Posons d’abord :

A₁ ={kf(x)k_F;kxk_E ≤1}

A2 ={kf(x)kF;kxkE = 1}

A₃ ={kf(x)k_F

kxk_E ;x∈E\{0}}.

SoitF ={K ≥0;kf(x)k_F ≤Kkxk_E,∀x∈E}.Clairement,F est non vide, fermé (on le vé- rifie aisément avec des suites) et minoré par 0. Par conséquent,C = infF ∈F.Il est immédiat que cette constanteCest la constante désirée. On aA₂ ⊂A₁,et doncsupA₂ ≤supA₁.Sikxk_E ≤ 1,

2.1 Caractérisations de la continuité Chapitre 2 alorsx=λypour unλ∈[0,1]et unytel quekyk_E = 1(six6= 0,prendreλ=kxk_Eety= _kxk¹

Ex;

six = 0, λ = 0 et n’importe quel y conviennent). On a donckf(x)k_F = λkf(y)k_F ≤ supA₂. Par passage au sup, on trouve supA₁ ≤ supA₂; d’où supA₂ = supA₁.Par ailleurs, si x 6= 0, alors kyk_E = 1, où y = _kxk¹

Ex. Comme ^kf_kxk^(x)kF

E = ^kf(y)k_kyk ^F

E , on a A₃ ⊂ A₂. Comme on a aussi A₂ ⊂ A₃, on trouve que A₂ = A₃. Il s’ensuit que supA₁ = supA₂ = supA₃. Si x 6= 0, on a kf(xk_F = kxk_E^kf(x)k_kxk ^F

E ≤ supA₃kxk_E; cette inégalité est encore valable si x = 0. On ob- tientC ≤ supA₃. Par ailleurs, on akf(x)k_F ≤ C si kxk_E = 1; par passage au sup, on trouve

supA₂ ≤C.Finalement,C = supA_j, j = 1,2,3. 2

Définition 2.1.3

Soient(E,kkE),(F,kkF)deux espaces normés. On note

L(E, F) = {f :E →F;f linéaire et continue}.

Si f ∈ L(E, F), la constante C de la proposition précédente est notée kfkL(E,F), ou tout simplementkfk.Dans le cas particulier oùF = Rmuni de la distance usuelle, on écritE⁰ au lieu deL(E,R);E⁰ est le dual de E.Sif ∈ E⁰,on appellef une forme linéaire continue sur R.

Le résultat suivant est immédiat : Proposition 2.1.4

L(E, F)est un e. v. réel etf 7→ kfkest une norme surL(E, F).

Les résultats suivants sont des généralisations faciles des résultats précédents. Les preuves sont laissées comme exercice.

Proposition 2.1.5

Soient(E_j,kk_j), j = 1, . . . , k,(F,kk_F)des espaces normés et soitf : E =E₁ ×E₂ × · · · × E_k → F une applicationk-linéaire. On munitE de l’une des normes produit. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) f continue ; b) f continue en0;

c) il existe unC >0tel quekf(x)k_F ≤CΠ^k_j=1kx_jk_Ej,∀x= (x₁, . . . , x_n)∈E.

Si, de plus, les E_j sont de dimension finie, alors toute application k-linéaire f : (E,kk_E) → (F,kk_F)est continue.

Proposition 2.1.6

L’espace des applicationsk-linéaires et continues deE dans F,notéL_k(E, F), est un espace vectoriel. L’applicationf 7→ kfk,où

kfk= supkf(x)k_F;kx_jk_Ej = 1, j = 1, . . . , k,

est une norme surL_k(E, F).

Proposition 2.1.7

Soient(X, d),(Y_j, d_j), j = 1, . . . , k, des espaces métriques etf_j : X → Y_j, j = 1, . . . , k.On munitY = Π^k_j=1Yj d’une distance produit et on posef = (f1, . . . , fn).Alors

2.2 Opérations avec les fonctions continues Chapitre 2 Cas particulier :

si C(= R²) est muni d’une norme, alors f : (X, d) → C est continue ⇔ <f et Imf sont continues.

Preuve Soient(x_n)⊂X, x∈X,tels quex_n →x.Alorsf(x_n)→f(x)⇔f_j(x_n)→ f_j(x), j =

1, . . . , k;d’où l’équivalence à prouver. 2

2.2 Opérations avec les fonctions continues

Proposition 2.2.1

Sif : (X, d)→ (Y, D)etg : (Y, D) → (Z,∆)sont continues, alorsg◦f : (X, d) → (Z,∆) est continue.

Preuve Soit U un ouvert de Z. Alors g⁻¹(U) est un ouvert de Y et donc (g ◦ f)⁻¹(U) =

f⁻¹(g⁻¹(U))est un ouvert deX. 2

Proposition 2.2.2

Soient(X, d)un espace métrique et(E,kk)un espace normé.

a) Sif₁, f₂ : (X, d)→(E,kk)sont continues, alorsf₁+f₂est continue.

b) Sif : (X, d)→Retg : (X, d)→(E,kk)sont continues, alorsf gest continue.

Cas particulier : sig : (X, d)→(E,kk)est continue etλ∈R,alorsλgest continue.

Preuve

a) On munit E ×E de la normekk₁. L’application G : E ×E → E, G(y, z) = y +z est linéaire et continue, carkG(y, z)k ≤ k(y, z)k1.On a f1 +f2 = G◦F,où F = (f1, f2) : (X, d)→E×E est continue ; il s’ensuit quef₁+f₂ est continue.

b) H :R×E →E, H(λ, x) = λx,est bilinéaire et continue, carkH(λ, x)k=|λ|kxk.Comme f g=H◦K,oùK : (X, d)→R×E, K = (f, g),on trouve quef gest continue.

2 Proposition 2.2.3

SoientE un e. v. de dimension finie,{e₁, . . . , e_n}une base deE etkkune norme surE.Sif : (E,kk)→ (X, d),on définit une nouvelle application,fe: Rⁿ → (X, d),parf(xe ₁, . . . , x_n) = f(x₁e₁ +. . . x_ne_n).Alorsf continue⇔fecontinue.

Autrement dit, vérifier la continuité d’une application définie sur un espace de dimension finie revient à vérifier la continuité d’une application définie surRⁿ.

Preuve Soit T : Rⁿ → (E,kk), T(x₁, . . . , x_n) = x₁e₁ +. . . x_ne_n. Alors T est linéaire, donc continue.T est bijective ; son inverse est linéaire, donc continue. On afe=f ◦T,d’oùf continue

⇒fecontinue. De même,f =fe◦T⁻¹,et doncfecontinue⇒f continue. 2 Le résultat suivant est évident.

Proposition 2.2.4

Sif : (X, d)→(Y, D)est continue etA⊂X,alorsf_|A: (A, d)→(Y, D)est continue.

2.3 Exemples d’applications continues Chapitre 2

2.3 Exemples d’applications continues

Exemple 17

Si(X_j, d_j), j = 1, . . . , k,sont des espaces métriques et X = Π^k_j=1X_j est muni d’une distance produit, alorsπ_j :X →(X_j, d_j), π_j(x) =x_j,est continue.

En effet,id= (π₁, . . . , π_k) :X →X est clairement continue, et doncπ_j l’est aussi.

Exemple 18

Une fonction polynômialeP est continue dansRⁿ. En effet, P est de la forme P = P

finiea_d1,...,dnx^d₁¹. . . x^d_nⁿ. Il suffit de montrer que chaque monômex^d₁¹. . . x^d_nⁿ est continu, ce qui suit de l’égalitéx^d₁¹. . . x^d_nⁿ =π₁(x)d₁. . . π_n(x)d_n.

Définition 2.3.1

Soient(X, d)un espace métrique etA ⊂X, A 6=∅.On posed(x, A) = inf{d(x, a);a∈A}(la distance du pointxà l’ensembleA).

On remarque qued(x, A)est bien définie et≥0.De plus,d(x, A) = 0six∈A.

Proposition 2.3.1

a) x7→d(x, A)est1-lipschitzienne.

b) d(x, A) =d(x, A).

c) d(x, A) = 0⇔x∈A.

Preuve

a) Soientx, y ∈A.Pour touta∈Aon a

−d(x, y) +d(y, a)≤d(x, a)≤d(y, a) +d(x, y).

Par passage à l’inf, on trouve −d(x, y) + d(y, A) ≤ d(x, A) ≤ d(y, A) + d(x, y), d’où

|d(x, A)−d(y, A)| ≤d(x, y).

b) Clairement, si A ⊂ B, alors d(x, A) ≥ d(x, B). En particulier, d(x, A) ≥ d(x, A). Soit >0.Il existe unb ∈ Atel qued(x, b) < d(x, A) +/2.Il existe une suite(a_n) ⊂Atelle quea_n→b.Commey77→d(x, y)est continue surX,on trouved(x, a_n)→d(x, b).Il existe donc unn0tel qued(an0, b)< /2.Il s’ensuit que

d(x, A)≤d(x, a_n0)≤d(x, b) +d(b, a_n0)< d(x, A) +. étant arbitraire, on trouved(x, A)≤d(x, A).

c) ” ⇒ ”Sid(x, A) = 0,alors pour tout > 0 il existe una ∈ Atel que d(x, a) < .Pour = 1/(n+ 1), on trouve une suite(a_n) ⊂ A telle que d(x, a_n) < 1/(n+ 1). On a donc a_n→x,et par conséquentx∈A.”⇐”Six∈A,alors0 =d(x, A) = d(x, A).

2

2.4 Convergence uniforme Chapitre 2

2.4 Convergence uniforme

Définition 2.4.1

Soientfn, f : (X, d)→ (Y, D).La suite(fn)converge uniformément versf ⇔ ∃αn ≥ 0tels queD(f n(x), f(x))≤α_n,∀n ∈N,∀x∈X etα_n →0.On écrit alorsf_n →_u f.

Théorème 2.4.1

Si les fonctionsf_nsont continues pour toutnet sif_n →_u f,alorsf est continue.

Preuve Soienta∈X et >0.Il existe unn₀ tel queD(f_n0(x), f(x))< /3, x∈X.Il existe un δ >0tel qued(x, a)< δ ⇒D(f_n0(x), f_n0(a))< /3.On trouve que

d(x, a)< δ ⇒D(f(x), f(a))≤D(f(x), f_n0(x)) +D(f_n0(x), f_n0(a)) +D(f_n0(a), f(a))< . 2

2.5 Homéomorphismes

Définition 2.5.1

Une application f : (X, d)!(Y, D) est un homéomorphisme ⇔ f continue, bijective et f⁻¹ continue. On dit alors que(X, d)et(Y, D)sont homéomorphes.

Exemple 19

Comme on l’a déjà vu, si T : (E,kk_E) → (F,kk_F) est linéaire et bijective et si E est de dimension finie, alorsT est un homéomorphisme.

Le résultat suivant est immédiat.

Proposition 2.5.1

La relation :”(X, d)est homéomorphe avec(Y, D)”est une relation d’équivalence.

Chapitre 3

Équations différentielles

3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre

Résoudre une équation différentielley⁰ =f(x, y)sur un intervalleI,c’est trouver une fonction y(x)définie sur I vérifiant :

∀x∈I, y⁰(x) = f[x, y(x)]

Les courbes représentatives des fonctions solutions s’appellent courbes intégrales.

3.1.1 Définition

Définition 3.1.1

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation du type : a(x)y⁰+b(x)y=c(x)

Une fonctionf est solution de cette équation sur un intervalleI si

∀x∈I, a(x)f⁰(x) +b(x)f(x) = c(x).

Par exemple, la fonctionexp(−^x₂²)est solution de l’équationy⁰+xy= 0.Les fonctions consi- dérées peuvent éventuellement être à valeurs complexes. Sif est une fonction de R dansC telle quef =g+ihavecgethfonctions à valeurs réelles dérivables, on posef⁰ =g⁰+ih⁰.Ainsi, pour acomplexe, la dérivée deexp^axestaexp^ax.

3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 3

3.1.2 Équations à coefficients constants

Il s’agit d’équations pour lesquelles les fonctionsaetb sont constantes. Quitte à diviser para et à renommer les coefficients, on peut se ramener à une équation du type :

y⁰+ay=c(x).

Equation homogène (ou équation sans second membre)

On appelle ainsi l’équationy⁰+ay = 0.Quelles sont ses solutions surR,avecaréel ? – Il y a la solutiony= 0.

– Cherchons les solutions ne s’annulant en aucun point. On peut alors écrire : ^y_y⁰ =−a

⇒ ln|y|=−ax+Cte,en prenant une primitive de chaque membre

⇒ |y|=e^Cte.e^−ax

La fonction y ne s’annulant pas et étant continue, elle garde un signe constant. En posant λ=e^Cteou−e^Ctesuivant le signe dey,on obtient :

y=λe^−ax

– Existe-t-il d’autres solutions, par exemple des solutions s’annulant en certains points ? Qu’en est-il sia (et doncy) sont complexes ? Montrons que les solutions sont de la même forme (mais avecλcomplexe siaest complexe). Il suffit de montrer que, siyest une solution, alors ye^axest constant.

Posons doncz la fonction égale àye^ax. Pour montrer quez est constant, il suffit de calculer sa dérivée :

z⁰ =y⁰e^ax+aye^ax= 0

z⁰ = 0donczest constante (complexe si les fonctions sont à valeurs complexes).

Ces résultats permettent d’énoncer la proposition suivante : Proposition 3.1.1

Soitaréel ou complexe. Alors :

i) les solutions de l’équation différentielley⁰ =aysont de la formey=λe^−ax,oùλest un scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonctione^−ax.

ii) Si l’on fixe une conditiony(x0) =y0,alors cette solution est unique.

iii) En particulier, siys’annule en un point,yest identiquement nulle.

Caractérisation de l’exponentielle

aétant un complexe, il résulte du paragraphe précédent que l’exponentielle est caractérisée par l’équation différentielle et la condition initiale suivantes :

y=e^ax ⇔y⁰ =ayety(0) = 1

Une autre caractérisation de l’exponentielle repose sur une équation fonctionnelle. Sif(t) =e^at on af(t+u) = f(t)f(u) y compris lorsque a est complexe. Réciproquement, soit f(t +u) = f(t)f(u)avecf fonction dérivable deRdansC.En dérivant la relation par rapport àu,on a :

f⁰(t+u) =f(t)f⁰(u)

3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 3 Si on pose u = 0 et f⁰(u) = a, on obtient f⁰(t) = af(t). Cette équation a pour solution f(t) = e^atf(0).

Reste à calculerf(0).La relationf(t+u) = f(t)f(u)avect=u= 0conduit àf(0) =f(0)² doncf(0) = 0etf est identiquement nulle, ouf(0) = 1etf(t) = e^at.Finalement :

∀t,∀u, f(t+u) =f(t)f(u)⇔f = 0ou∃a,∃t, f(t) =e^at Equation avec second membre

Considérons l’équationy⁰ +ay =c(x).

Soity₀solution de cette équation. On remarque alors que :

i) si z est solution de l’équation homogène associée, alors y₀ +z est solution de l’équation complète. En effet :

y⁰₀+ay₀ =c(x) z⁰+az = 0

⇒(y₀+z)⁰+a(y₀ +z) = c(x)

ii) Inversement, siyest solution de l’équation complète, alorsy−y₀est solution de l’équation homogène. En effet :

y⁰+ay =c(x) y⁰₀+ay₀ =c(x)

⇒(y−y0)⁰+a(y−y0) = 0

La conséquence de cette remarque est la suivante. Pour trouver TOUTES les solutions y de l’équation complète, il suffit de trouver les solutionsz de l’équation homogène associée (ce qu’on sait faire), et de leur ajouter UNE solution particulière de l’équation complète. Voici deux cas :

1. Sic(x) = P(x)e^kx oùP est un polynôme de degrén etk une constante réelle ou complexe (ce dernier cas permet de traiter les fonctions trigonométriques). Cherchons ysous la forme Q(x)e^kx.On obtient l’équation suivante, après simplification :

Q⁰(x) + (k+a)Q(x) = P(x).

Si l’on cherche les coefficients deQ,de degrén,cela revient à résoudre un système triangu- laire den+ 1équations àn+ 1inconnues. Les coefficients de la diagonale valentk+a.Il y a donc une solution si k 6=−a.Par contre, sik =−a,on obtientQ⁰(x) = P(x)et il faut choisirQde degrén+ 1.

2. Sic(x)est une fonction quelconque, on chercheysous la forme : y=λ(x)e^−ax.

Cette méthode est connue sous le nom de méthode de variation de la constante. On prend la solution de l’équation homogène, mais au lieu de prendre λ constant, on prend λ variable.

On est amené à résoudre l’équation suivante, après simplification : λ⁰(x)e^−ax = c(x),d’où λ⁰(x) =c(x)e^ax et il suffit d’intégrer cette dernière fonction.

3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 3 On remarque également que, si y₁ est solution particulière avec second membreb₁ et si y₂ est solution particulière avec second membre b₂, alorsy₁+y₂ est solution particulière avec second membreb1 +b2:

y₁⁰ +ay₁ =b₁ety₂⁰ +ay₂ =b₂ ⇒(y₁+y₂)⁰+a(y₁+y₂) = b₁+b₂. C’est ce qu’on appelle le principe de superposition.

3.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 3 Exemple 20

1. Résoudrey⁰+y=e^2x.La solution de l’équation homogène esty =λe^−x Une solution particulière de la formeae^2x est ¹₃e^2x

La solution générale est donc ¹₃e^2x+λe^−x.

2. Résoudrey⁰+y=e^−x.La solution de l’équation homogène esty=λe^−x. Une solution particulière de la formeaxe^−xestxe^−x

La solution générale est doncxe^−x+λe^−x. 3. Résoudrey⁰+ 2y=x²e^−2x+ 2e^3x+ 1 +x.

La solution de l’équation homogène esty=λe^−2x.

Par linéarité, il suffit de chercher des solutions particulières pour chaque terme du second membre, et de les ajouter. Solution avec second membrex²e^−2x.On cherche une solution sous la formey = (ax³ +bx² +cx)e^−2x. (Il est inutile de prendre un terme constant, car on obtient alors une solution de l’équation homogène, qui n’a aucune contribution au terme du second membre). On obtient l’équation :

3ax²+ 2bx+c=x². D’oùy= ^x₃³e^−2x

Solution avec second membre2e^3x.Une solution de la formeae^3x est ²₅e^3x.

Solution avec second membre1 +x.Une solution de la formeax+besta= ¹₂ etb = ¹₄. La solution générale est donc :

y =λe^−2x+x³

3 e^−2x+ 2

5e^3x+x 2 +1

4. 4. Résoudrey⁰−y= cosx

Il suffit de résoudre avec comme second membre e^ix. Soit y la solution. Il n’est pas difficile de voir que le conjugué de y sera solution de l’équation avec second membre e^−ix,et donc par linéarité, que sa partie réelle (demi-somme des solutions trouvées) est solution avec second membre égal àcosx.

La solution de l’équation homogène esty=λe^x

Une solution particulière de la formeae^ix est _i−1¹ e^ix =−¹⁺ⁱ₂ e^ix. Sa partie réelle est−¹₂cosx+¹₂sinx.

La solution générale est donc ^sinx₂^cosx +λe^x.

3.1.3 Équations à coefficients non constants

Soit une telle équationa(x)y⁰+b(x)y=c(x).Nous la résoudrons sur un intervalleIsur lequel ane s’annule pas.

Equation homogène ou équation sans second membre

On appelle ainsi l’équationa(x)y⁰+b(x)y= 0.Quelles sont ses solutions dans le cas réel ?