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L'idée est de montrer qu'il existe un t0 ∈ R tel que U +t0V ∈ GLn(R)

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Academic year: 2022

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Correction de l'exercice 9 de la feuille de TD4.

Soient A et B deux matrices à coecients réels. Elles sont supposées être semblables dans C donc il existe P ∈GLn(C) tel que

A=P−1BP.

Posons alors P =U +iV avecU, V ∈P ∈Mn(R).

CommeAetB sont réelles on obtient immédiatement les deux égalitésU A= BU et V A=BV.

On serait tenté d'essayer de montrer que U ∈GLn(R) ouV ∈GLn(R). Or un examen de quelques exemples montre qu'il n'en est rien.

Cependant on sait que U + iV est inversible dans Mn(C). L'idée est de montrer qu'il existe un t0 ∈ R tel que U +t0V ∈ GLn(R). Pour cela on étudie l'application

φ: C → C

z 7→ det(U +zV)

φ est une application polynomiale non nulle puisqueφ(i)6= 0 donc elle a un nombre ni de racines. Par ailleurs R⊂C est inni donc il existe t0 ∈R tel que φ(t0)6= 0.

On vérie que

A= (U +t0V)−1B(U +t0V).

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◊ remarque : en traçant plusieurs courbes “iso-surfaciques”, on peut aussi préciser que la “mesure algébrique” du gradient est d'autant plus grande que ces

U U U U R BC AB CD AD 1 U AD R R R R R + + R R + + R R 1 1 2 1 3 2 2 3 3 ! ! ! ! !

• Dans la mesure où la tension est la même aux bornes de toutes les branches de l'assemblage, l'addition des courants ne dépend pas de l'ordre des compo- sants du modèle. ◊

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☞ remarque : de façon générale, la dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à un angle de rotation est le produit vectoriel du vecteur unitaire de l'axe de