Notion de continuité Terminale Spécialité
1 Notion de continuité
1.1 Limite finie en un réel a
Définition : Soitaun réel etf une fonction définie sur un intervalleI aveca∈Iouaest une borne de I. Soitlun nombre réel.
On dit quef a comme limite l lorsque x tend vers a si, sitout intervalle ouvert contenantl contient toutes les valeurs def(x)pour pourxsuffisamment proche dea(voir figure 1).
On note alors :
x→alimf(x) =l ou lim
a f =l
Figure1 – Limite finie lorsquextend vers le réela
1.2 Définitions – Exemples
Définition 1 : Soitf une fonction eta∈ Df.
On dit quef estcontinue enasilimx→af(x) =f(a).
Remarque : Il ne suffit pas que la fonction soit définie en apour qu’elle soit continue ena. Par exemple, la fonction partie entière (voir figure 2) est définie en 2 mais n’est pas continue en 2 : E(2) = 2 et lim x→2
x<2
E(x) = 1.
Figure2 – Fonction partie entière
Définition 2 : Soitf une fonction etI un intervalle inclus dansDf.
On dit quef estcontinue surI si elle estcontinue en tout réelade l’intervalleI.
Remarque : Graphiquement, la fonctionf est continue sur l’intervalleIsi on peut tracer sa représentation graphique « sans lever le crayon ».
Exemples : On admettra provisoirement les résultats suivants, qui seront prouvés par le théorème du 1.3.
1. Lesfonctions affinessont continues surR. 2. Lesfonctions polynômessont continues surR.
3. Lesfonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leurensemble de définition.
4. Lafonction exponentielleest continue surR.
5. Les fonctions obtenues par opérations sur les fonctions usuelles (somme, produit, quotient) sont continues sur tout intervalle de leurensemble de définition.
6. Les fonctions composées à partir des fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.
