• Aucun résultat trouvé

DS de rattrapage 06/06/2013 Durée : 1h

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "DS de rattrapage 06/06/2013 Durée : 1h"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

IUT de Cachan GEII Mathématiques S3' 2013

DS de rattrapage 06/06/2013 Durée : 1h

Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes les réponses devront être (même rapidement) justiées. Comme d'habitude, les qualités de rédaction seront prises en compte dans la notation. . .

Exercice 1

Calculer les rayons de convergence et les sommes des séries entières suivantes : 1.

+∞

X

n=1

1

n xn, 2.

+∞

X

n=0

x2n, Exercice 2

Soit f :R→Rla fonction 2π-périodique telle que f(x) =

−1 si −π < x≤0 1 si 0< x≤π.

1. Montrer que si f est une fonction impaire, alors pour tout entier k, ak(f) = 0 et bk(f) = 2

π Z π

0

f(t) sin(kt)dt.

2. Calculer les coecients de Fourier de f et donner la série de Fourier def. Exercice 3

Soit f la fonction dénie parf(x) =e−2π|x|.

1. Montrer que la transformée de Fourier fˆde f vérie fˆ(p) = 1

π(1 +p2).

2. En déduire la valeur de l'intégrale Z +∞

−∞

1

(1 +p2)2dp.

Exercice 4

Le but de cet exercice est de résoudre l'équation de récurrence un+1 +un = 2 pour u0= 0.

1. Montrer que la transformée enzde la suite(un)n∈NvérieZ(un)(z) = 2z (z+ 1)(z−1). 2. En déduire l'expression de la suite (un)n∈N en fonction den.

DS de rattrapage page 1

Références

Documents relatifs

Une fonction F ( # ) , qui n'est nulle part, dans un intervalle, sou- mise à de brusques changements de valeurs (ce qui n'est pas suf- fisant pour déterminer la continuité, car

Nous avons à déterminer la valeur de cette intégrale. 2sm{ a - a ? ) (*) II ne faut pas conclure de cette inégalité que R WWÎ , par un choix de n indé- pendant de m, devienne

— Chaque f onction intégrable f(x) est re- présentée dans ses valeurs moyennes par la série de Fourier; et cela de telle façon que dans chaque intervalle pour les points finals

En (in, si j (z) a la péiiode (o, comme on peut, en restant dans une région ou J (z) est bolomorpbe, dé- placer parallèlement à lui-même le segment d'intégra- tion, on retrouve

En particulier, chaque application d’une définition ou d’un résultat du cours devra être justifiée, brièvement mais scrupuleusement..

Déterminer les maximum et minimum locaux d’une fonction sur un intervalle donné Etudier la position relative d’une courbe par rapport à l’une de ces tangentes. Modéliser

[r]

directe et Les constantes figurant devant les intégrales (T.F. directe et T.F. inverse) n’ont aucune importance dans la mesure où leur T.F. inverse) n’ont aucune importance dans