ANNÉE UNIVERSITAIRE 2020/2021
MP DS 1
Date : 29/03/21 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés
Epreuve de M. Popoff et M. Fischer
ATTENTION : La présentation et la rédaction seront prises en compte dans la notation.
Partie de M. Fischer Exercice 1 : On définit l’application f de R2 dans Rpar :
f(x, y) =
x2y
x2+y2 si (x, y)6= (0,0) 0 si (x, y) = (0,0) 1. Calculer les dérivées partielles ∂f
∂x et ∂f
∂y en un point (y, x)6= (0,0) quelconque de R2. 2. Calculer les dérivées partielles ∂f
∂x et ∂f
∂y en(0,0)ainsi que la dérivée directionnelle suivant le vecteuru= (1,1) en(0,0).
3. En quels points de R2 l’applicationf est-elle différentiable ?
Exercice 2 : Soient f(x, y) =y2−x2y+x2 etD={(x, y)∈R2;x2−1≤y≤1−x2}.
1. Représenter D.
2. Justifier que f admet un maximum et un minimum sur D.
3. Déterminer les points critiques de f.
4. Déterminer la plus grande et la plus petite valeur de f surD.
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Partie de M. Popoff Exercice 3 :
Soit f la fonction définie sur ]− π2,π2[ par
f(x) = tanx.
Déterminerf(]−π2,π2[)(on démontrera la réponse), puis démontrer que f est unC1-difféomorphisme de]− π2,π2[vers son image.
Exercice 4 :
1. Montrer la convergence de l’intégrale
Z +∞
0
et 1 +e2tdt.
2. En posant u=et, calculer l’intégrale précédente.
Exercice 5 :
Déterminer si les intégrales suivantes divergent ou convergent : 1. R1
0 1
tαdt (il s’agit d’une question de cours : on démontrera l’affirmation).
2. R1 0
ln(1+t) t32 dt.
Exercice 6 :
On pose, pour n≥1, et t∈[0,1], fn(t) = cos
qt n
n
. Soit l’intégrale
In= Z 1
0
cos rt
n
!n
dt.
1. Pour n ∈N∗ fixé, montrer que In définit bien une intégrale convergente.
2. Donner la limite simple de la suite de fonctions (fn)n≥1.
3. En appliquant le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de In lorsquen tend vers +∞.
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