ANNÉE UNIVERSITAIRE 2020/2021
PC DS 1
Date : 24/03/21 Heure : 14h00 Durée : 1h30 Documents non autorisés
Epreuve de M. Popoff
Question de cours
1. Démontrer que l’intégrale R+∞
0 e−tdt est convergente et donner sa valeur.
Exercice 1
1. A l’aide d’une intégration par partie, calculer Z π2
0
ucos(u)du.
2. A l’aide du changement de variable u=√
t, en déduire Z π
2 4
0
cos(√ t)dt.
Exercice 2
Soit f : [0,+∞[→Rn une fonction continue. Pour x≥0, on pose
D(x) = Z x
x 2
f(t)dt.
1. Déterminer la limite de D(x)lorsque x tend vers 0.
2. On suppose de plus que f(0) = 0. Montrer de plus que D(x) =o(x) lorsque x tend vers 0.
3. On suppose maintenant quefest seulement continue sur]0,+∞[. En considérant des exemples avec des fonctions de Riemann, montrer que les résultats des questions précédentes ne sont plus vrais (on donnera un contre-exemple à la question 1).
Exercice 3
Pour un entier n∈N fixé, soit In défini par
In = Z 1
0
(lnt)ndt.
1
1. Montrer que pour tout n ∈N fixé, on a au voisinage de 0 :
(lnt)n=o( 1
√t).
2. En déduire que, pour n∈N fixé,In définit bien une intégrale convergente.
3. A l’aide d’une ipp, montrer que
In=−nIn−1. En déduire la valeur de In.
Exercice 5
Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ? 1. R+∞
−∞ t3. 2. R1
0
ln(1+t) t2 dt.
3. R+∞
1
ln(1+t)
t2 dt(on pourra montrer que la fonction à intégrer est négligeable devant une fonction de Riemann bien choisi).
Exercice 6 (Un peu plus dur)
Soit f :R→R+ une fonction continue telle que R+∞
0 f(t)dt et R+∞
0 f0(t)dt convergent. Montrer que
t→+∞lim f(t) = 0.
On pourra commencer par montrer que f a une limite en +∞ en exprimant f(t)−f(0) à l’aide de la dérivée.
2
