ANNÉE UNIVERSITAIRE 2020/2021

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MP DS 1

Date : 29/03/21 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés

Epreuve de M. Popoff - Corrigé

Partie de M. Popoff Exo 3

On rappelle que

∀x∈]− π 2,π

2[, f(x) = tanx= sinx cosx. Ainsi, par un calcul standard de limite,

x→±lim^π

2

f(x) = ±∞,

de plus,f estC^∞ sur ]−^π₂,^π₂[, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, f(]−π

2,π

2[) =]− ∞,+∞[.

Par ailleurs, on sait que

∀x∈]− π 2,π

2[, f⁰(x) = 1 + (tanx)² >0,

ce qui prouve par le théorème d’inversion que f est bijective de ]− ^π₂,^π₂[ vers R, et que sa bijection réciproque, est C¹ (et même C^∞) sur R, c’est-à-dire que f est un C¹-difféomorphisme de ]− ^π₂,^π₂[ vers R.

Exo 4

1. Posonsf(t) = _1+e^et2t.Cette fonction est bien continue (et mêmeC^∞) sur[0,+∞[. Il suffit donc d’étudier la convergence de l’intégrale en +∞. On a clairement :

f(t) ∼

t→+∞

e^t

e^2t =e^−t,

de plus, f > 0, donc on peut appliquer le théorème de comparaison. On sait que R+∞

0 e^−tdt converge d’après le cours (cela est confirmé en constatant que e^−t = o(_t¹2) en +∞, ou tout simplement par un calcul de primitive), doncR+∞

0 f(t)dt converge aussi.

2. L’application ϕ : t 7→ e^t vérifie ϕ⁰ > 0 sur ]0,+∞[, c’est donc un C¹ difféomorphisme de ]0,+∞[ vers son image ]1,+∞[. De plus, la fonction f est intégrable sur ]0,+∞[ d’après la question précédente, on peut donc appliquer le changement de variable pour les intégrales impropres :

Z +∞

0

f(t)dt = Z +∞

1

u 1 +u²

du u =

Z +∞

1

du

1 +u² = lim

x→+∞[arctanu]^x₁ = π 2 − π

4 = π 4. 1

Exo 5

1. Il s’agit d’une question de cours.

2. On pose f(t) = ^ln(1+t)

t³² dt. Alors f est C^∞ sur]0,1]. De plus, on a au voisnage de 0 : ln(1 +t) ∼

t→0t et donc, par quotient d’équivalents :

f(t) ∼

t→0

√1 t. OrR1

0

√dt

t converge par le critère de Riemann. De plus, laf est positive, on peut donc appliquer le théorème de compraison :R1

0 f(t)dt converge.

Exo 6

1. La fonctionf_n est continue sur[0,1], elle est donc intégrable au sens de Riemann, c’est-à-dire queI_n n’est pas une intégrale impropre. Donc la suite (I_n)n≥1 est bien définie.

2. Ecrivons

cos rt

n

!n

= exp nln cos rt

n

!!

On s’intéresse à la quantité dans l’exponentielle lorsquen →+∞, qui est une forme indeter- minée. Notons, pour t >0fixé, le DL suivant lorsque n →+∞ :

cos rt

n = 1− t

2n +o(1 n), et donc, en utilisantln(1 +x)∼x en 0, on déduit

nln cos rt

n

!

n→+∞∼ −t 2,

et donc, par composition avec l’exponentielle, qui est continue sur R,

n→+∞lim fn(t) =e^−t2.

Ainsi, puisque ce raisonnement est vrai pour toutt >0, la suite de fonctions(fn)n≥1 converge simplement vers la fonction f :t7→e^−2t sur ]0,1]. On peut noter (mais cela n’a pas d’impor- tance) que cela est encore vrai lorsque t= 0, la convergence simple a donc lieu sur [0,1].

3. On a la majoration directe :

∀n ≥1,∀t ∈[0,1], |f_n(t)| ≤1ⁿ= 1.

On pose ϕ(t) = 1. Cette fonction est intégrable sur l’intervalle borné ]0,1[, on peut donc appliquer le théorème de convergence dominée :

n→+∞lim I_n = Z 1

0

f(t)dt= [e^−2t]¹₀ = 2(1− 1

√e).

2