Les suites

Les suites ^{Chapitre 3}

Table des matières

1 Généralité : 2

2 Représentation d'une suite : 3

2.1 Suite donnée par son terme générale . . . 3 2.2 Construction des termes d'une suite dénie par une relation de récurrence . . . . 3

3 Variation : 4

4 Suites arithmétiques 4

4.1 Dénition . . . 4 4.2 Expression du terme général : . . . 4 4.3 Variation : . . . 5

5 Suites géométriques 5

5.1 Dénition . . . 5 5.2 Expression du terme général : . . . 5 5.3 Variation : . . . 6

6 Sommes 6

6.1 Sommes particulières . . . 6 6.2 Sommes des termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géométrique . . . 7

1 Généralité :

Une suite (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel notéu_n.

u_n est appelé le terme de rang n de la suite (u_n).

Dénition 1 :

Soit (u_n) la suite dénie par u_n= 3n²−5n+ 2, le terme de rang 5 est : u₅ = 3×5²−5×5 + 2 = 52

Exemple 1 :

Exercice 1 : Déterminer le terme de rang 8 des suites de termes généraux suivants : 1. u_n= 2n−5.

2. u_n=n² −3n+ 1.

On dit qu'une suite est générée par une relation de récurrence si le calcul de chaque terme est donné grâce aux termes précédents.

Dénition 2 :

Soit(u_n)la suite dénie paru₀ = 0etu_n+1 = 3u²_n−2, le terme de rang 3 est :u₃ = 3×u²₂−2, avecu₂ = 3×u²₁−2et u₁ = 3×u²₀−2, donc u₁ =−2, puis u₂ = 10, puis u₃ = 298.

Exemple 2 :

Exercice 2 : Déterminer le terme de rang 3 des suites suivantes : 1. u₀ = 2 et u_n+1 = 3u_n−7.

2. u₀ =−1et u_n+1 =−u_n+ 2.

2 Représentation d'une suite :

2.1 Suite donnée par son terme générale

Une représentation simple consiste à placer les points de coordonnées(n, u_n):

Soit (u_n) la suite dénie par u_n=−1

4n²+ 2n+ 1,

1 2 3 4

1 2 3 4 5

f U₀

U₁ U₂

U3

U4

H

u₄ u₃ u₂

u₁

Exemple 3 :

2.2 Construction des termes d'une suite dénie par une relation de récurrence

L'idée est d'utiliser l'axe y =x comme axe de symétrie du repère :

Soit (u_n) la suite dénie par la relation u₀ = 1 et u_n+1 = 1

2u_n+ 3,

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6

U0

V₁

V₀

U1 U2 U3

V₂ V₃

Exemple 4 :

3 Variation :

ˆ Une suite (un) est dite croissante si pour tout entier n, on a un+1 >un.

ˆ Une suite (u_n) est dite décroissante si pour tout entier n, on au_n+1 6u_n.

ˆ Une suite (u_n) est dite constante si pour tout entier n, on a u_n+1=u_n.

Dénition 3 :

Pour prouver qu'une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la diérence u_n+1−u_n :

Pour la suite (un) dénie par un= 3n²−3n+ 2, on a :

∀n∈N, on a u_n+1−u_n = 6n, doncu_n+1 >u_n, la suite est donc croissante.

Exemple 5 :

Exercice 3 : Montrer que la suite de terme général u_n= 5n−3 est croissante.

4 Suites arithmétiques

4.1 Dénition

Une suite(u_n) est dite arithmétique s'il existe un réel R, appelé raison, tel que :

∀n∈N, u_n+1 =u_n+R.

Dénition 4 :

Les quatre premiers termes de la suite arithmétique de premier termeu₀ = 5 et de raison R= 3 sont :

u₀ = 5; u₁ = 8; u₂ = 11; u₃ = 14

Exemple 6 :

4.2 Expression du terme général :

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison R et de premier terme u₀, on a :

∀n∈N, u_n=u₀+nR.

Réciproquement, la suite(u_n)dénie par :

∀n∈N, u_n=a+nb, aveca etbréels, est une suite arithmétique de raison bet de premier termea.

Propriété 1 :

Le terme général de la suite arithmétique de raisonR = 3et de premier termeu0 = 5est : u_n=u₀+n×R= 5 + 3n.

Exemple 7 :

Exercice 4 : On considère la suite arithmétique (u_n) de raison R =−2et de premier terme u₀ = 7. Déterminer le 16 ième terme, et le terme de rang 20.

4.3 Variation :

Soit (u_n) une suite arithmétique de raison R et de premier terme u₀, la suite est :

ˆ croissante si R>0.

ˆ décroissante siR 60.

Propriété 2 :

Une suite arithmétique de raisonR = ²₃ est croissante.

Une suite arithmétique de raisonR =−4 est décroissante.

Exemple 8 :

5 Suites géométriques

5.1 Dénition

Une suite(u_n) est dite géométrique s'il existe un réel q non nul, appelé raison, tel que :

∀n∈N, un+1 =qun.

Dénition 5 :

Les quatre premiers termes de la suite géométrique de premier terme u₀ = 5 et de raison q= 3 sont :

u0 = 5; u1 = 15; u2 = 45; u3 = 135

Exemple 9 :

5.2 Expression du terme général :

Soit (u_n) une suite géométrique de raisonq et de premier terme u₀, on a :

∀n∈N, u_n=u₀×qⁿ.

Propriété 3 :

Le terme général de la suite géométrique de raisonq= 3 et de premier termeu₀ = 5 est : un=u0×qⁿ = 5×3ⁿ.

Exemple 10 :

Cas général : ∀n∈N,∀p∈N, u_n =u_p×q^n−p.

Exercice 5 : On considère la suite géométrique (u_n) de raison q = 1

3 et de premier terme u₀ = 27. Déterminer le 5 ième terme, et une valeur approchée à 10⁻² près du terme de rang 10.

5.3 Variation :

Soit(un)une suite géométrique de raisonq ( avec q >0) et de premier terme u0, la suite est :

ˆ Si u₀ >0:

croissante si q >1. décroissante si 0< q 61.

ˆ Si u₀ <0:

décroissante si q>1. croissante si 0< q 61.

Propriété 4 :

La suite géométrique(u_n)de premier terme u₀ = 2 et de raison q= 7 est croissante.

La suite géométrique(un)de premier terme u0 =−2 et de raison q= 1

2 est croissante.

Exemple 11 :

6 Sommes

6.1 Sommes particulières

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :

n

X

i=1

i= 1 + 2 + 3 +...+ (n−1) +n= n(n+ 1) 2

Propriété 5 :

On a : P¹⁰

i=1

i= 1 + 2 + 3 +...+ 9 + 10 = 55.

Exemple 12 :

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique : siq 6= 1,

n

X

i=0

qⁱ = 1 +q+q²+...+qⁿ⁻¹+qⁿ = 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Propriété 6 :

6.2 Sommes des termes consécutifs d'une suite arithmétique ou géo- métrique

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :

n

X

i=1

i= 1 + 2 + 3 +...+ (n−1) +n= n(n+ 1) 2

Pour(u_n)une suite arithmétique de raison R et de premier terme u₀ :

n

X

i=0

u_i =u₀+u₁+u₂+...+un−1+u_n= (n+ 1)u₀+u_n 2

n

X

i=p

u_i =u_p+u_p+1+u_p+2+...+u_n−1+u_n= (n−p+ 1)u_p+u_n 2

Propriété 7 :

On a : P¹⁰

i=1

i= 1 + 2 + 3 +...+ 9 + 10 = 55.

Les nombres paires forment une suite arithmétique de raison 2, on a donc :

10

P

i=0

2i= 0 + 2 + 4 +...+ 18 + 20 = 110

Exemple 13 :

Exercice 6 : On considère la suite arithmétique (u_n) de premier terme u₀ = 5 et de raison R = 1

2. Déterminer la valeur de n telle que :

n

X

i=0

u_i = 258

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique : siq 6= 1,

n

X

i=0

qⁱ = 1 +q+q²+...+qⁿ⁻¹+qⁿ = 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Pour(u_n)une suite géométrique de raison q ( avec q 6= 1 ) et de premier termeu₀ :

n

X

i=0

u_i =u₀+u₁+u₂+...+un−1+u_n=u₀1−qⁿ⁺¹ 1−q

n

X

i=p

u_i =u_p+u_p+1+u_p+2+...+u_n−1 +u_n =u_p1−q^n−p+1 1−q

Propriété 8 :

Exercice 7 : On considère la suite (u_n) dénie, pour tout n∈N par u_n= 5n+ 2 + 2²ⁿ⁺².