Surfaces et polynˆomes

Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1

Lyc´ee Montaigne, 15 Octobre 2009

« Patrons » de surfaces, triangulations, classification

Surfaces et polynˆomes

Du monde projectif au monde « tropical »

Retour `a la « g´eom´etrie » des images (pens´ees comme des surfaces)

Conclusion

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

« Patrons » de surfaces, triangulations, classification

Surfaces et polynˆomes

Du monde projectif au monde « tropical »

Retour `a la « g´eom´etrie » des images (pens´ees comme des surfaces)

Conclusion

Une triangulation de la sph`ere S ² et du plan projectif P ² ( R ) ; Sommets, Arˆetes, Faces

E O

N E

A A

A (a)

(b) 1

1 2

2

3 3

4 6

5 S O

S2

P2 (R)

χ(S) = S − A + F (la caract´ eristique d ^′ Euler)

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Une triangulation de la sph`ere S ² et du plan projectif P ² ( R ) ; Sommets, Arˆetes, Faces

E O

N E

A A

A (a)

(b) 1

1 2

2

3 3

4 6

5 S O

S2

P2 (R)

χ(S) = S − A + F (la caract´ eristique d ^′ Euler)

O`u l’on incise S ² pour y coller des « anses » ou des rubans de Mœbius ...

a

b b

a

a b

b a

a

a a

a K M

M M

M S

S2 2

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O`u l’on incise S ² pour y coller des « anses » ou des rubans de Mœbius ...

a

b b

a

a b

b a

a

a a

a K M

M M

M S

S2 2

Pour en arriver `a l’´enonc´e du th´eor`eme de classification (Tibor Rad´o, 1925, via la preuve de l’existence d’une triangulation)

Toute surface compacte et connexe est hom´eomorphe :

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Pour en arriver `a l’´enonc´e du th´eor`eme de classification (Tibor Rad´o, 1925, via la preuve de l’existence d’une triangulation)

Toute surface compacte et connexe est hom´eomorphe :

◮ soit `a la sph`ere S ² (caract´eristique d’Euler = 0) ;

Pour en arriver `a l’´enonc´e du th´eor`eme de classification (Tibor Rad´o, 1925, via la preuve de l’existence d’une triangulation)

Toute surface compacte et connexe est hom´eomorphe :

◮ soit `a la sph`ere S ² (caract´eristique d’Euler = 0) ;

◮ soit `a la somme connexe de n copies du tore T <sup>2</sup> (i.e. `a une sph`ere excis´ee `a laquelle on a recoll´e n anses), auquel cas la caract´eristique d’Euler vaut 2 − 2n en vertu de la r`egle

χ(S 0 #S 1 ) = χ(S 0 ) + χ(S 1 ) − 2

et de ce que χ( T ² ) = 0 ;

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Pour en arriver `a l’´enonc´e du th´eor`eme de classification (Tibor Rad´o, 1925, via la preuve de l’existence d’une triangulation)

Toute surface compacte et connexe est hom´eomorphe :

◮ soit `a la sph`ere S ² (caract´eristique d’Euler = 0) ;

◮ soit `a la somme connexe de n copies du tore T <sup>2</sup> (i.e. `a une sph`ere excis´ee `a laquelle on a recoll´e n anses), auquel cas la caract´eristique d’Euler vaut 2 − 2n en vertu de la r`egle

χ(S 0 #S 1 ) = χ(S 0 ) + χ(S 1 ) − 2

et de ce que χ( T ² ) = 0 ;

◮ soit `a la somme connexe de n copies du plan projectif (i.e. une

Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z)

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Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z)

{z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 :

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Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 : deux racines complexes conjugu´ees z, z, dont une seule (et on sait la reconnaitre !) est dans le demi-plan Im z > 0 ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de ce

demi-plan, donc avec un point du disque unit´e ouvert D.

Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 : deux racines complexes conjugu´ees z, z, dont une seule (et on sait la reconnaitre !) est dans le demi-plan Im z > 0 ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de ce

demi-plan, donc avec un point du disque unit´e ouvert D.

◮ b ² − 4ac = 0 :

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Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 : deux racines complexes conjugu´ees z, z, dont une seule (et on sait la reconnaitre !) est dans le demi-plan Im z > 0 ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de ce

demi-plan, donc avec un point du disque unit´e ouvert D.

◮ b ² − 4ac = 0 : une racine double (r´eelle) ; la classe [a : b : c] est en

correspondance avec un point de R ∪ {∞}, donc avec un point du

cercle unit´e.

Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 : deux racines complexes conjugu´ees z, z, dont une seule (et on sait la reconnaitre !) est dans le demi-plan Im z > 0 ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de ce

demi-plan, donc avec un point du disque unit´e ouvert D.

◮ b ² − 4ac = 0 : une racine double (r´eelle) ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de R ∪ {∞}, donc avec un point du cercle unit´e.

◮ b ² − 4ac > 0 :

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Le plan projectif et les polynˆomes `a coefficients r´eels

P ² ( R ) = R ³ \ (0, 0, 0)

relation de colin´ earit´ e = S ² ( R )

antipodie : (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) {z ∈ C ∪ {∞} ; P(z) = az ² + bz + c = 0} ←→ [a : b : c]

◮ b ² − 4ac < 0 : deux racines complexes conjugu´ees z, z, dont une seule (et on sait la reconnaitre !) est dans le demi-plan Im z > 0 ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de ce

demi-plan, donc avec un point du disque unit´e ouvert D.

◮ b ² − 4ac = 0 : une racine double (r´eelle) ; la classe [a : b : c] est en correspondance avec un point de R ∪ {∞}, donc avec un point du cercle unit´e.

b ² − 4ac > 0 : un couple de racines r´eelles {α, β}, dont l’une (mais

Plan projectif et perspective (Girard Desargues, vers 1650)

P ² ( R ) = Groupe multiplicatif : R ³ \ {(0, 0, 0)}

Sous − groupe d´ efini par les ´ equations : x = y = z

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Plan projectif et perspective (Girard Desargues, vers 1650)

P ² ( R ) = Groupe multiplicatif : R ³ \ {(0, 0, 0)}

Sous − groupe d´ efini par les ´ equations : x = y = z

Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

g 2 := 60 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁴ , g 3 := 140 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁶ .

Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

g 2 := 60 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁴ , g 3 := 140 X

ω∈Λ\{0}

1 ω ⁶ .

Pour ζ 6∈ ω 1 Z + ω 2 Z , on d´efinit la fonction Λ-p´eriodique de Weierstrass et sa « d´eriv´ee » :

P(ζ) := X

ω∈Λ\{0}

1

(ζ − ω) ² − 1 ω ²

et P ^′ (ζ) := −2 X

ω∈Λ\{0}

1 (ζ − ω) ³ .

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Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

g 2 := 60 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁴ , g 3 := 140 X

ω∈Λ\{0}

1 ω ⁶ .

Pour ζ 6∈ ω 1 Z + ω 2 Z , on d´efinit la fonction Λ-p´eriodique de Weierstrass et sa « d´eriv´ee » :

P(ζ) := X

ω∈Λ\{0}

1

(ζ − ω) ² − 1 ω ²

et P ^′ (ζ) := −2 X

ω∈Λ\{0}

1 (ζ − ω) ³ .

(P ^′ (ζ)) ² = 4(P (ζ)) ³ − g 2 P (ζ) − g 3 .

Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

g 2 := 60 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁴ , g 3 := 140 X

ω∈Λ\{0}

1 ω ⁶ .

Pour ζ 6∈ ω 1 Z + ω 2 Z , on d´efinit la fonction Λ-p´eriodique de Weierstrass et sa « d´eriv´ee » :

P(ζ) := X

ω∈Λ\{0}

1

(ζ − ω) ² − 1 ω ²

et P ^′ (ζ) := −2 X

ω∈Λ\{0}

1 (ζ − ω) ³ .

(P ^′ (ζ)) ² = 4(P (ζ)) ³ − g 2 P (ζ) − g 3 .

Si l’on pose z := P (ζ) et w = P ^′ (ζ), on voit que le point (z, w ) est un point de la cubique Γ := {(z, w ) ∈ C ² , w ² − 4z ³ − g 2 z − g 3 = 0}.

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Le tore T ² ( R ), les r´eseaux et les cubiques

T ² ( R ) ≃ C

Λ , Λ := ω 1 Z + ω 2 Z , Im (ω 1 /ω 2 ) 6= 0.

g 2 := 60 X

ω∈Λ\{0}

1

ω ⁴ , g 3 := 140 X

ω∈Λ\{0}

1 ω ⁶ .

Pour ζ 6∈ ω 1 Z + ω 2 Z , on d´efinit la fonction Λ-p´eriodique de Weierstrass et sa « d´eriv´ee » :

P(ζ) := X

ω∈Λ\{0}

1

(ζ − ω) ² − 1 ω ²

et P ^′ (ζ) := −2 X

ω∈Λ\{0}

1 (ζ − ω) ³ .

(P ^′ (ζ)) ² = 4(P (ζ)) ³ − g 2 P (ζ) − g 3 .

Si l’on pose z := P (ζ) et w = P ^′ (ζ), on voit que le point (z, w ) est un

Courbes projectives et surfaces

Une courbe projective est un sous-ensemble de l’espace projectif P ² ( C ) d´efini comme le lieu des z´eros d’un polynˆome homog`ene en trois variables. Si le polynˆome est de degr´e 2, c’est une conique, s’il est de degr´e trois, une cubique, de degr´e quatre, une quartique, ...

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Courbes projectives et surfaces

Une courbe projective est un sous-ensemble de l’espace projectif P ² ( C ) d´efini comme le lieu des z´eros d’un polynˆome homog`ene en trois variables. Si le polynˆome est de degr´e 2, c’est une conique, s’il est de degr´e trois, une cubique, de degr´e quatre, une quartique, ...

Si on ne voit la courbe que dans le monde r´eel, c’est une courbe bien

sˆ ur ! Mais dans C ou dans P ² ( C ) (on quotiente par la relation de

colin´earit´e, c’est aussi l’infini de C ³ \ {(0, 0, 0)}), c’est « presque » une

surface (deux ´equations pour quatre degr´es de libert´e !). C’est mˆeme une

surface orientable car elle est param´etr´ee par un param`etre complexe et

que ceci pr´eside `a une orientation (une transformation C -lin´eaire est une

similitude toujours directe !). Il y a juste le probl`eme des points singuliers

(mais les « vraies » surfaces du monde qui nous entoure n’en ont-elles

pas toujours ?).

Courbes projectives et surfaces

Une courbe projective est un sous-ensemble de l’espace projectif P ² ( C ) d´efini comme le lieu des z´eros d’un polynˆome homog`ene en trois variables. Si le polynˆome est de degr´e 2, c’est une conique, s’il est de degr´e trois, une cubique, de degr´e quatre, une quartique, ...

Si on ne voit la courbe que dans le monde r´eel, c’est une courbe bien sˆ ur ! Mais dans C ou dans P ² ( C ) (on quotiente par la relation de colin´earit´e, c’est aussi l’infini de C ³ \ {(0, 0, 0)}), c’est « presque » une surface (deux ´equations pour quatre degr´es de libert´e !). C’est mˆeme une surface orientable car elle est param´etr´ee par un param`etre complexe et que ceci pr´eside `a une orientation (une transformation C -lin´eaire est une similitude toujours directe !). Il y a juste le probl`eme des points singuliers (mais les « vraies » surfaces du monde qui nous entoure n’en ont-elles pas toujours ?).

Quitte `a retirer les points qui sont singuliers (il n’y en a ici qu’au plus qu’un nombre fini et on dit alors qu’on « normalise »), on a vraiment affaire `a une surface.

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Coniques et cubiques (suite)

Coniques et cubiques (suite)

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Coniques et cubiques (suite)

z 7→ h

1 : 1 − z ² 1 + z ² : 2z

1 + z ²

i (z = sin(t /2))

z 7→ h

1 : 1 − z ²

1 + z ² : z(1 − z ² ) 1 + z ²

i

z 7→ h

1 : z ³ : z ² i

Coniques et cubiques (suite)

z 7→ h

1 : 1 − z ² 1 + z ² : 2z

1 + z ²

i (z = sin(t /2))

z 7→ h

1 : 1 − z ²

1 + z ² : z(1 − z ² ) 1 + z ²

i

z 7→ h

1 : z ³ : z ² i

Les coniques et les cubiques ayant un point singulier se param`etrent de mani`ere rationnelle ; la surface correspondante est la sph`ere S ² . Pour les cubiques sans point singulier, c’est le tore (comme on l’a vu). Une courbe projective vu comme cela a ainsi un genre : le nombre de trous de la surface qu’elle repr´esente !

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« Patrons » de surfaces, triangulations, classification

Surfaces et polynˆomes

Du monde projectif au monde « tropical »

Retour `a la « g´eom´etrie » des images (pens´ees comme des surfaces)

Conclusion

L’arithm´etique tropicale : une « d´ecouverte » des informaticiens venue du Br´esil

On travaille avec des op´erations sur R ∪ {−∞}.

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L’arithm´etique tropicale : une « d´ecouverte » des informaticiens venue du Br´esil

On travaille avec des op´erations sur R ∪ {−∞}.

◮ Une addition « tropicale » d´efinie par x ⊕ y := max(x, y).

L’arithm´etique tropicale : une « d´ecouverte » des informaticiens venue du Br´esil

On travaille avec des op´erations sur R ∪ {−∞}.

◮ Une addition « tropicale » d´efinie par x ⊕ y := max(x, y).

◮ Une multiplication « tropicale » d´efinie par x ⊗ y := x + y

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Les « droites » tropicales et l’apparition des « amibes »

az + bw + c ←→ (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ y ) ⊕ (c ⊗ 1)

Les « droites » tropicales et l’apparition des « amibes »

az + bw + c ←→ (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ y ) ⊕ (c ⊗ 1)

F(x, y) = max(x + a, y + b, c)

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Les « droites » tropicales et l’apparition des « amibes »

az + bw + c ←→ (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ y ) ⊕ (c ⊗ 1)

F(x, y) = max(x + a, y + b, c)

Les « droites » tropicales et l’apparition des « amibes »

az + bw + c ←→ (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ y ) ⊕ (c ⊗ 1)

F(x, y) = max(x + a, y + b, c)

{(z, w) ∈ C ^∗ × C ^∗ ; az + bw + c = 0} ^{(log |z|,log} −→ ^|w|) A {az+bw+c}

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Les « droites » tropicales et l’apparition des « amibes »

az + bw + c ←→ (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ y ) ⊕ (c ⊗ 1)

F(x, y) = max(x + a, y + b, c)

Une conique (d´eg´en´er´ee !) ... du complexe au tropical

P(z, w) = z ² + w ² + 2zw + 2z + 2w + 1 = (z + w ) ² + 2(z + w) + 1 = 0

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Une conique (d´eg´en´er´ee !) ... du complexe au tropical

P(z, w) = z ² + w ² + 2zw + 2z + 2w + 1 = (z + w ) ² + 2(z + w) + 1 = 0

F (x , y ) = max(1 + 2x, 1 + 2y, 2 + x + y , 2 + x, 2 + y, 1)

Une conique (d´eg´en´er´ee !) ... du complexe au tropical

P(z, w) = z ² + w ² + 2zw + 2z + 2w + 1 = (z + w ) ² + 2(z + w) + 1 = 0

F (x , y ) = max(1 + 2x, 1 + 2y, 2 + x + y , 2 + x, 2 + y, 1)

F(x, y) = (1 ⊗x ⊗x)⊕(1 ⊗y ⊗y )⊕(2 ⊗x ⊗y )⊕(2 ⊗x) ⊕(2⊗ y)⊕ (1⊗1)

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Une « parabole » ... du complexe au tropical

P(z, w) = −w + z ² + 3z + 1 = 0

Une « parabole » ... du complexe au tropical

P(z, w) = −w + z ² + 3z + 1 = 0

F (x , y ) = max(y − 1, 2x + 1, x + 3, 1)

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Une « parabole » ... du complexe au tropical

P(z, w) = −w + z ² + 3z + 1 = 0

F (x , y ) = max(y − 1, 2x + 1, x + 3, 1)

Comment « d´etecter » les singularit´es d’une fonction de deux variables ?

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Comment « d´etecter » les singularit´es d’une fonction de

deux variables ?

Un exemple de cubique ... du complexe au tropical

P(z, w) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

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Un exemple de cubique ... du complexe au tropical

P(z, w) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F (x, y ) = max(1, 5 + x + y, 2y + 1, 3x − 1, 2x + y + 3, 2x + 2y − 1)

Un exemple de cubique ... du complexe au tropical

P(z, w) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F (x, y ) = max(1, 5 + x + y, 2y + 1, 3x − 1, 2x + y + 3, 2x + 2y − 1)

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Un exemple de cubique ... du complexe au tropical

P(z, w) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F (x, y ) = max(1, 5 + x + y, 2y + 1, 3x − 1, 2x + y + 3, 2x + 2y − 1)

L’analyse « isotrope » d’image suivant la d´ecomposition d’Alfred Haar (1909)

R[I ] 2k

,2k

= I 2k

,2k

+ I 2k

+1,2k

+ I 2k

,2k

+1 + I 2k

+1,2k

+1

2

DV[I ] 2k

,2k

= I 2k

,2k

+ I 2k

+1,2k

− I 2k

,2k

+1 − I 2k

+1,2k

+1

2

DH[I ] 2k

,2k

= I 2k

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+1,2k

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+1,2k

+1

2

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L’analyse « isotrope » d’image suivant la d´ecomposition d’Alfred Haar (1909)

R[I ] 2k

,2k

= I 2k

,2k

+ I 2k

+1,2k

+ I 2k

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+1 + I 2k

+1,2k

+1

2

DV[I ] 2k

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= I 2k

,2k

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− I 2k

,2k

+1 − I 2k

+1,2k

+1

2

DH[I ] 2k

,2k

= I 2k

,2k

− I 2k

+1,2k

+ I 2k

,2k

+1 − I 2k

+1,2k

+1

2

DD[I ] 2k

,2k

= I 2k

,2k

− I 2k

+1,2k

− I 2k

,2k

+1 + I 2k

+1,2k

+1

2

R pour R´esum´e, DV pour D´etails Verticaux », DH pour

La mise en œuvre sur notre exemple

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

La mise en œuvre sur notre exemple

La mise en œuvre sur notre exemple

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

La mise en œuvre sur notre exemple

La mise en œuvre sur notre exemple

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Le « toˆıt » d’un polynˆome tropical (« ´eclair´e » de dessus)

F(x, y) =

M

M

j=1

c j ⊗x ^⊗

⊗y ^⊗

K = conv _R

n

(p j , q j , c j ) ; j = 1, ..., M o

.

Le « toˆıt » d’un polynˆome tropical (« ´eclair´e » de dessus)

F(x, y) =

M

M

j=1

c j ⊗x ^⊗

⊗y ^⊗

K = conv _R

n

(p j , q j , c j ) ; j = 1, ..., M o .

P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F(x , y ) = (1 ⊗ 1) + (5 ⊗ x ⊗ y ) + (1 ⊗ y ^⊗

) + ((−1) ⊗ x ^⊗

) +(3 ⊗ x ^⊗

⊗ y) + ((−1) ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

)

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Le « toˆıt » d’un polynˆome tropical (« ´eclair´e » de dessus)

F(x, y) =

M

M

j=1

c j ⊗x ^⊗

⊗y ^⊗

K = conv _R

n

(p j , q j , c j ) ; j = 1, ..., M o .

P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F(x , y ) = (1 ⊗ 1) + (5 ⊗ x ⊗ y ) + (1 ⊗ y ^⊗

) + ((−1) ⊗ x ^⊗

) +(3 ⊗ x ^⊗

⊗ y) + ((−1) ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

)

3 4 5

Le « toˆıt » d’un polynˆome tropical (« ´eclair´e » de dessus)

F(x, y) =

M

M

j=1

c j ⊗x ^⊗

⊗y ^⊗

K = conv _R

n

(p j , q j , c j ) ; j = 1, ..., M o .

P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ²

F(x , y ) = (1 ⊗ 1) + (5 ⊗ x ⊗ y ) + (1 ⊗ y ^⊗

) + ((−1) ⊗ x ^⊗

) +(3 ⊗ x ^⊗

⊗ y) + ((−1) ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

)

0

0.5 1

1.5

2 2.5

3

0 0.5 1 1.5 2

−1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Deux « tesselisations » duales : celle g´en´er´ee par le toˆıt T _F et celle g´en´er´ee par la courbe tropicale Γ F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Deux « tesselisations » duales : celle g´en´er´ee par le toˆıt T _F et celle g´en´er´ee par la courbe tropicale Γ F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Deux « tesselisations » duales : celle g´en´er´ee par le toˆıt T _F et celle g´en´er´ee par la courbe tropicale Γ F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Deux « tesselisations » duales : celle g´en´er´ee par le toˆıt T _F et celle g´en´er´ee par la courbe tropicale Γ F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

On compare les nombres de sommets, d’arˆetes et de faces dans les deux

« tesselisations », l’une de l’enveloppe convexe des exposants du polynˆome F (induite par T F ), l’autre du plan (induite par Γ F ).

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Deux « tesselisations » duales : celle g´en´er´ee par le toˆıt T _F et celle g´en´er´ee par la courbe tropicale Γ F

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

On compare les nombres de sommets, d’arˆetes et de faces dans les deux

« tesselisations », l’une de l’enveloppe convexe des exposants du

polynˆome F (induite par T ), l’autre du plan (induite par Γ ).

Avec parfois des coefficients nuls (en tropical) « forc´es »

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Avec parfois des coefficients nuls (en tropical) « forc´es »

F(x, y) = (0 ⊗ 1) ⊕ (2 ⊗ x) ⊕ (0 ⊗ x ⊗ y ) ⊕ (0 ⊗ y )

Avec parfois des coefficients nuls (en tropical) « forc´es »

F(x, y) = (0 ⊗ 1) ⊕ (2 ⊗ x) ⊕ (0 ⊗ x ⊗ y ) ⊕ (0 ⊗ y )

F(x, y) = (1 ⊗ 1) ⊕ (1 ⊗ x ^⊗

) ⊕ (1 ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

) ⊕ (1 ⊗ y ^⊗

) ⊕ (3 ⊗ x ⊗ y )

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Encore d’autres exemples

Encore d’autres exemples

#(S T

) = #(F Γ

) #(A T

) = #(A Γ

) #(F T

) = #(S Γ

)

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

L’« amibe » d’un polynˆome de C [ z , w ]

P(z, w) =

N

X

j=1

c j z ^p

w ^q

(P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ² )

L’« amibe » d’un polynˆome de C [ z , w ]

P(z, w) =

N

X

j=1

c j z ^p

w ^q

(P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ² )

A (P) = Log n

(z, w ) ∈ ( C ^∗ ) ² ; P(z, w ) = 0 o Log((z, w )) = (log |z|, log |w |).

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

L’« amibe » d’un polynˆome de C [ z , w ]

P(z, w) =

N

X

j=1

c j z ^p

w ^q

(P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ² )

A (P) = Log n

(z, w ) ∈ ( C ^∗ ) ² ; P(z, w ) = 0 o

Log((z, w )) = (log |z|, log |w |).

L’« amibe » d’un polynˆome de C [ z , w ]

P(z, w) =

N

X

j=1

c j z ^p

w ^q

(P(z, w ) = 1 + 5zw + w ² − z ³ + 3z ² w − z ² w ² )

A (P) = Log n

(z, w ) ∈ ( C ^∗ ) ² ; P(z, w ) = 0 o Log((z, w )) = (log |z|, log |w |).

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Comme en biologie, l’« amibe » d’un polynˆome est

« vert´ebr´ee » : elle semble pouvoir se r´etracter sur un

« squelette »

Comme en biologie, l’« amibe » d’un polynˆome est

« vert´ebr´ee » : elle semble pouvoir se r´etracter sur un

« squelette »

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Comme en biologie, l’« amibe » d’un polynˆome est

« vert´ebr´ee » : elle semble pouvoir se r´etracter sur un

« squelette »

Les composantes connexes du compl´ementaire de l’amibe sont convexes.

Chacune correspond `a une mani`ere de d´evelopper :

O`u l’analyse de Fourier sugg`ere une piste ...

(x, y) ∈ A ^c _(P) 7−→ 1 4π ²

Z 2π

0

Z 2π

0

log |P(e ^x+iθ

, e ^y+iθ

)| dθ 1 dθ 2

est une fonction affine par morceaux dans chaque composante du compl´ementaire.

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

O`u l’analyse de Fourier sugg`ere une piste ...

(x, y) ∈ A ^c _(P) 7−→ 1 4π ²

Z 2π

0

Z 2π

0

log |P(e ^x+iθ

, e ^y+iθ

)| dθ 1 dθ 2

est une fonction affine par morceaux dans chaque composante du

compl´ementaire.

O`u l’analyse de Fourier sugg`ere une piste ...

(x, y) ∈ A ^c _(P) 7−→ 1 4π ²

Z 2π

0

Z 2π

0

log |P(e ^x+iθ

, e ^y+iθ

)| dθ 1 dθ 2

est une fonction affine par morceaux dans chaque composante du compl´ementaire.

Dans une composante U , elle s’´ecrit

N(x, y) = a U x + b U y + c U , c U ∈ R , (a U , b U ) ∈ ∆(P) ∩ N ² ,

o` u ∆(P) est l’enveloppe convexe des exposants (p j , q j ) de P (la « base » de la toˆıture du polynˆ ome tropical correspondant `a P).

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

O`u l’analyse de Fourier sugg`ere une piste ...

(x, y) ∈ A ^c _(P) 7−→ 1 4π ²

Z 2π

0

Z 2π

0

log |P(e ^x+iθ

, e ^y+iθ

)| dθ 1 dθ 2

est une fonction affine par morceaux dans chaque composante du compl´ementaire.

Dans une composante U , elle s’´ecrit

N(x, y) = a U x + b U y + c U , c U ∈ R , (a U , b U ) ∈ ∆(P) ∩ N ² ,

o` u ∆(P) est l’enveloppe convexe des exposants (p j , q j ) de P (la « base » de la toˆıture du polynˆ ome tropical correspondant `a P).

Un mˆeme (a U , b U ) ne saurait ˆetre attach´e `a deux composantes connexes

Un polynˆome, une surface, une forme

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Un polynˆome, une surface, une forme

L’amibe de P peut se r´etracter sur la courbe tropicale correspondant au polynˆome

M

U

c U ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

.

Chaque sommet s de ∆ g´en`ere une composante non born´ee U s dont le

« cˆone de r´ecession » est le cˆone (« dual » de s) d´etermin´e par les

normales ext´erieures aux deux arˆetes de ∆ se rencontrant en s.

Un polynˆome, une surface, une forme

L’amibe de P peut se r´etracter sur la courbe tropicale correspondant au polynˆome

M

U

c U ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

.

Chaque sommet s de ∆ g´en`ere une composante non born´ee U s dont le

« cˆone de r´ecession » est le cˆone (« dual » de s) d´etermin´e par les normales ext´erieures aux deux arˆetes de ∆ se rencontrant en s.

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Un polynˆome, une surface, une forme

L’amibe de P peut se r´etracter sur la courbe tropicale correspondant au polynˆome

M

U

c U ⊗ x ^⊗

⊗ y ^⊗

.

Chaque sommet s de ∆ g´en`ere une composante non born´ee U s dont le

« cˆone de r´ecession » est le cˆone (« dual » de s) d´etermin´e par les

normales ext´erieures aux deux arˆetes de ∆ se rencontrant en s.

« Tesselisations » de convexes en dualit´e

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

« Tesselisations » de convexes en dualit´e

Si K et K ^∗ sont deux convexes des deux univers duaux R ² et ( R ² ) ^∗ , une

« tesselisation » convexe de K et une « tesselisation » convexe de K ^∗

sont en dualit´e s’il existe une bijection σ ↔ σ ^∗ entre les cellules convexes

de K et celles de K ^∗

« Tesselisations » de convexes en dualit´e

Si K et K ^∗ sont deux convexes des deux univers duaux R ² et ( R ² ) ^∗ , une

« tesselisation » convexe de K et une « tesselisation » convexe de K ^∗ sont en dualit´e s’il existe une bijection σ ↔ σ ^∗ entre les cellules convexes de K et celles de K ^∗

◮ renversant l’inclusion (si τ est face de σ, σ ^∗ est face de τ ^∗ ) ;

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

« Tesselisations » de convexes en dualit´e

Si K et K ^∗ sont deux convexes des deux univers duaux R ² et ( R ² ) ^∗ , une

« tesselisation » convexe de K et une « tesselisation » convexe de K ^∗ sont en dualit´e s’il existe une bijection σ ↔ σ ^∗ entre les cellules convexes de K et celles de K ^∗

◮ renversant l’inclusion (si τ est face de σ, σ ^∗ est face de τ ^∗ ) ;

◮ telle que :

La dualit´e de Legendre-Fenchel

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

La dualit´e de Legendre-Fenchel

F (x , y ) = max

U (a U x + b U y + c U ) : R ² → R

La dualit´e de Legendre-Fenchel

F (x , y ) = max

U (a U x + b U y + c U ) : R ² → R (ξ, η) ∈ ∆ 7−→ F ^∗ (ξ, η) = sup

(x,y )∈ R

xξ + y η − F (x , y )

∈] − ∞, ∞[

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

La dualit´e de Legendre-Fenchel

F (x , y ) = max

U (a U x + b U y + c U ) : R ² → R (ξ, η) ∈ ∆ 7−→ F ^∗ (ξ, η) = sup

(x,y )∈ R

xξ + y η − F (x , y )

∈] − ∞, ∞[

La dualit´e de Legendre-Fenchel

F (x , y ) = max

U (a U x + b U y + c U ) : R ² → R (ξ, η) ∈ ∆ 7−→ F ^∗ (ξ, η) = sup

(x,y )∈ R

xξ + y η − F (x , y )

∈] − ∞, ∞[

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

La dualit´e de Legendre-Fenchel

F (x , y ) = max

U (a U x + b U y + c U ) : R ² → R (ξ, η) ∈ ∆ 7−→ F ^∗ (ξ, η) = sup

(x,y )∈ R

xξ + y η − F (x , y )

∈] − ∞, ∞[

2 ∗

Approcher le squelette de l’amibe d’un polynˆome via les coefficients

P m (z, w ) =

m−1

Y

k

=0 m−1

Y

k

=0

P(e ^2iπk

^/m z, e ^2iπk

^/m w ) = ρ A,m (z ^a

w ^b

) ^m

+ . . .

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Approcher le squelette de l’amibe d’un polynˆome via les coefficients

P m (z, w ) =

m−1

Y

k

=0 m−1

Y

k

=0

P(e ^2iπk

^/m z, e ^2iπk

^/m w ) = ρ A,m (z ^a

w ^b

) ^m

+ . . .

F m (x , y ) := max

U (log |ρ A,m | + m ² (a U x + b U y))

Approcher le squelette de l’amibe d’un polynˆome via les coefficients

P m (z, w ) =

m−1

Y

k

=0 m−1

Y

k

=0

P(e ^2iπk

^/m z, e ^2iπk

^/m w ) = ρ A,m (z ^a

w ^b

) ^m

+ . . .

F m (x , y ) := max

U (log |ρ A,m | + m ² (a U x + b U y))

La courbe tropicale attach´ee `a F m tend, lorsque m tend vers l’infini, vers le squelette de l’amibe A (P) .

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« Patrons » de surfaces, triangulations, classification

Surfaces et polynˆomes

Du monde projectif au monde « tropical »

Retour `a la « g´eom´etrie » des images (pens´ees comme des surfaces)

Conclusion

La mesure « surfacique » des aiguilles de Chamonix ?

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La mesure « surfacique » des aiguilles de Chamonix ?

Comment « mesurer » les surfaces ?

La mesure « surfacique » des aiguilles de Chamonix ?

Comment « mesurer » les surfaces ? Une conf´erence d’Yves Meyer `a la Biblioth`eque Nationale (Janvier 2006).

smf.emath.fr/

Publications/Gazette/2006/109/smf gazette 109 23-36.pdf

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Surfaces et images

Erwan Le Pennec, St´ephane Mallat, Gabriel Peyr´e : l’analyse en « bandelets »

Le site de Gabriel Peyr´e :

http ://www.ceremade.dauphine.fr/ peyre/bandelets/

Surfaces et images

Erwan Le Pennec, St´ephane Mallat, Gabriel Peyr´e : l’analyse en « bandelets »

Le site de Gabriel Peyr´e :

http ://www.ceremade.dauphine.fr/ peyre/bandelets/

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Surfaces et images

Erwan Le Pennec, St´ephane Mallat, Gabriel Peyr´e : l’analyse en « bandelets »

Le site de Gabriel Peyr´e :

http ://www.ceremade.dauphine.fr/ peyre/bandelets/

L’analyse espace-´echelles 2D (sur le principe de l’analyse d’Alfred Haar)

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

L’analyse espace-´echelles 2D (sur le principe de l’analyse d’Alfred Haar)

On affiche les coefficients de corr´elation avec les atomes du

L’analyse espace-´echelles 2D (sur le principe de l’analyse d’Alfred Haar)

On affiche les coefficients de corr´elation avec les « atomes » du dictionnaire d’exploration espace-´echelles :

c _j,k

_,k

:= D

I , [ϕ R ou ψ D ](2 ^−j x −k 1 )⊗[ϕ R ou ψ D ](2 ^−j y−k 2 ) E

, j, k ₁ , k ₂ ∈ Z .

« R » pour « R´esum´e

», « D

» pour « D´etail

» !

A la recherche de structures anisotropes g´eom´etriquement `

coh´erentes : la traque des « contours »

A la recherche de structures anisotropes g´eom´etriquement ` coh´erentes : la traque des « contours »

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

A la recherche de structures anisotropes g´eom´etriquement ` coh´erentes : la traque des « contours »

Il s’agit d’identifier la r´egularit´e anisotrope et de d´etecter dans chaque

cellule (ou groupe de cellules) la direction g´eom´etrique le long de laquelle

l’image (ou la surface correspondante) pr´esente le plus de r´egularit´e (en

mˆeme temps que de trouver la mosa¨ıque de cellules la plus coh´erentes) :

A la recherche de structures anisotropes g´eom´etriquement ` coh´erentes : la traque des « contours »

Il s’agit d’identifier la r´egularit´e anisotrope et de d´etecter dans chaque cellule (ou groupe de cellules) la direction g´eom´etrique le long de laquelle l’image (ou la surface correspondante) pr´esente le plus de r´egularit´e (en mˆeme temps que de trouver la mosa¨ıque de cellules la plus coh´erentes) : Plus de « r´egularit´e »= moins de « gros » coefficients dans l’analyse espace-´echelles 2D le long de la direction `a choisir.

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

A la recherche de structures anisotropes g´eom´etriquement ` coh´erentes : la traque des « contours »

Il s’agit d’identifier la r´egularit´e anisotrope et de d´etecter dans chaque

cellule (ou groupe de cellules) la direction g´eom´etrique le long de laquelle

l’image (ou la surface correspondante) pr´esente le plus de r´egularit´e (en

mˆeme temps que de trouver la mosa¨ıque de cellules la plus coh´erentes) :

Plus de « r´egularit´e »= moins de « gros » coefficients dans l’analyse

Le balayage des directions

de directions

0 0 1 1

0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000

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i

f d direction à tester

On projette les niveaux de gris

balayage d’un éventail

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Des signaux irr´eguli`erement ´echantillonn´es et leur analyse temps-´echelles

Une « mauvaise » direction :

Des signaux irr´eguli`erement ´echantillonn´es et leur analyse temps-´echelles

Une « mauvaise » direction :

Une « bonne » direction :

Le choix de seuils de tol´erance et la minimisation d’une fonctionnelle (li´ee

`a ces choix de seuils) conduisent `a des groupements optimaux d’atomes permettant de r´ealiser un meilleur dictionnaire (fonction de l’image, donc de la surface, cette fois) dans lequel on pourra faire une d´ecomposition

« pr´e-organis´ee ».

Alain Yger, Universit´e Bordeaux 1 Formes, surfaces et polynˆomes : math´ematiques pures ou appliqu´ees ?

Et pour finir, un proc´ed´e enfin cher aux informaticiens : le

« matching » contre un dictionnaire

On dispose d’un dictionnaire D d’atomes contre lequel on veut tester un

objet S dans un univers o` u l’on dispose d’une notion d’orthogonalit´e,

donc de corr´elation. Tous les « atomes » sont normalis´es.