7.0.1 Rayon et domaine de convergence

Chapitre 7

Séries entières

7.0.1 Rayon et domaine de convergence

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^P_nÊ0ⁿ²⁺¹

3ⁿ zⁿ, 2. ^PnÊ0e⁻ⁿ²zⁿ,

3. ^PnÊ1

lnn n² z²ⁿ, 4. ^PnÊ1

nⁿ n!z³ⁿ,

5. ^P_nÊ0n!zⁿ, 6. ^PnÊ0

¡_2n

n

¢zⁿ. Exercice 7.0.2 ^⋆

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^P_nÊ0^(3n)!

(n!)³zⁿ 2. ^PnÊ1

¡n+p1

n+1−pⁿ n¢

zⁿ 3. ^X

nÊ1

1 nzⁿ²;

4. ^X

nÊ2

anzⁿ où an = ln(−1)ⁿ+p

p n n+1 ,

5. ^X

nÊ1

anzⁿ où an = 5+(sinn)ⁿ

2−cosn , 6. ^X

nÊ0

E(eⁿ)zⁿ. Exercice 7.0.3 ⋆

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^X

nÊ1

zⁿ² 2. ^X

nÊ1

e^−shanzⁿ,a∈R; 3. ^X

nÊ1

(2n)!

n!nⁿz²ⁿ;

4. ^X

nÊ1

n!zⁿ²; 5. ^X

nÊ1

1 (n!)^1/nzⁿ; 6. ^X

nÊ1

anzⁿ où an est le

nombre de diviseurs de l’entiern.

Exercice 7.0.4 ⋆

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^X

nÊ1

cosn n^α zⁿ; 2. ^X

nÊ0

³p₃

n³+n+2−p n²+1´

zⁿ; 3. ^X

nÊ0

n²+n 2ⁿ+n!zⁿ; 4. ^X

nÊ2

ln¡p n+1¢ ln¡p

n−1¢zⁿ;

5. ^X

nÊ2

ln n²−1 n²+n+2zⁿ; 6. ^X

ngeq1

¡pn¢n

zⁿ. Exercice 7.0.5 ^⋆

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^X

nÊ0

nzⁿ; 2. ^X

nÊ0

arctannzⁿ;

3. ^X

nÊ1

2 shn n(n+1)zⁿ; 4. ^X

nÊ0

(−1)ⁿ 5ⁿ

n³+1z²ⁿ⁺¹;

5. ^X

nÊ0

z²ⁿ

¡2n n

¢; 6. ^X

nÊ0

Z₁

0

(1+t²)ⁿdt zⁿ. Exercice 7.0.6 ⋆⋆

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : 1. ^X

nÊ0

sinnzⁿ; 2. ^X

nÊ1 sinn

n zⁿ;

3. ^X

nÊ1

(−1)^{n sinn}

n+sinnzⁿ; 4. ^X

nÊ1

pn

nsinnzⁿ;

5. ^X

nÊ0

(n²+2n) sinnzⁿ.

Exercice 7.0.7 ⋆

Soitan le chiffre d’indicende l’écriture décimale deπ. Quel est le rayon de convergence de la série entière^Panzⁿ?

Exercice 7.0.8 ^⋆⋆

Soit ^X

nÊ0

anxⁿ une série entière de rayon de convergenceR>0 1. Quel est le rayon de convergence de la série entière ^X

nÊ0 an n!xⁿ? 2. Même question avec ^X

nÊ0

anx²ⁿet ^X

nÊ0

a_n²xⁿ. Exercice 7.0.9 ⋆

Que peut-on dire du rayon de convergenceRde la série entière ^X

nÊ0

anxⁿ dans le cas où : 1. la suite(an)_n∈Nest bornée ;

2. la suite(an)est convergente ;

3. il existek>0tel que_|an| Ékⁿpour toutn∈N. Exercice 7.0.10 ⋆ Classique

exo_28_11_16_21_59

Montrer que si les séries entières ^X

nÊ0

a2nx²ⁿ et ^X

nÊ0

a2n+1x²ⁿ⁺¹ont toutes deux le même rayon de convergenceRalors le rayon de convergence de ^X

nÊ0

anxⁿ est égal àR. Exercice 7.0.11 ⋆⋆

Soit(an)n∈Nune suite de nombres complexes non nuls telle qu’il existel1∈Retl2∈Ravec :

n→+∞lim

¯

¯

¯

¯ a2n+1

a2n

¯

¯

¯

¯=l1 et lim

n→+∞

¯

¯

¯

¯ a2n+2

a2n+1

¯

¯

¯

¯=l2. Quel est le rayon de convergence de la série entière^X

nÊ0

anxⁿ? Exercice 7.0.12 ^⋆ CCP 2003

On pose :

an=ln

µ(−1)ⁿ+p p n

n+1

¶ .

1. Montrer que le rayon de convergenceRde la série entière^Panxⁿ est au moins égal à 1.

2. CalculerR.

3. Étudier la convergence de la série pourx= ±R. Exercice 7.0.13 ⋆ CCP 2013

Déterminer la nature de la série^Pun puis^P(−1)ⁿun où : un=arccos³₁

n

´

−arccos³₁

n²

´ . En déduire le rayon de convergence de la série entière^Punxⁿ.

Exercice 7.0.14 ⋆ Soit^Panune série convergente.

1. Montrer que la suite(an)est bornée.

2. En déduire que la série entière^Pa_n!ⁿzⁿ a un rayon de convergence infini.

Exercice 7.0.15 ⋆ Pour toutn∈N∗, on posean=

pnlnn n²+1 .

1. Déterminer le rayon de convergence de la série^Panzⁿ.

2. Prouver qu’il y a convergence en tout point du cercle d’incertitude.

Exercice 7.0.16 ⋆ exo:2004:Nov:Tue:18:28:02

1. Soitα∈R. Déterminer le rayon de convergence de la série entière^Pn^αzⁿ. 2. Soit une fraction rationnelleF(X)=P(X)

Q(X)∈C(X)telle que∀n∈N,Q(n)6=0. Détermi- ner le rayon de convergence de la série entière^PF(n)zⁿ.

Exercice 7.0.17 ⋆ exo:2004:Aug:Tue:17:52:53

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : 1. ^X

nÊ0

3ⁿz²ⁿ. 2. ^X

nÊ0

anzⁿ oùan=

(2ⁿ sinpair 3ⁿ sinimpair. 3. ^X

nÊ0

¡2+(−1)ⁿ¢ zⁿ. Exercice 7.0.18 ⋆ exo:2005:Jan:Sat:17:53:55

On considère une série entière^Panzⁿ de rayon de convergenceRet on pose pourx∈]−R, R[, f(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ. On suppose que^X

nÊ0

anRⁿconvergeabsolument. Montrer quef(x)−−−−→

x→R⁻ +∞X

n=0

anRⁿ. Exercice 7.0.19 ⋆

exo:2005:Jan:Thu:16:15:35

On considère la série entière^P_nÊ0zⁿ².

1. Déterminer son rayon de convergenceR. 2. On définit la fonction

f :







]−R, R[ −→ R

x 7−→

+∞X

n=0

xⁿ² Déterminer un équivalent def lorsquex→R⁻.

Exercice 7.0.20 ^⋆ exo:2005:Jan:Sat:18:06:46

Soit une série entière ^X

nÊ1

anzⁿde rayon de convergenceR>0. 1. Soitα∈]0, 1[. Montrer que la série entière ^X

nÊ1

ane^nαzⁿa pour rayon de convergenceR aussi.

2. Que vaut le rayon de convergence de la série entière^Pan n!zⁿ? Exercice 7.0.21 ⋆

exo:2005:Jan:Sun:10:40:12

On considère une série entière ^Panzⁿ de rayon de convergence R= ∞. On note f(z)=

+∞X

n=0

anzⁿsa somme.

1. Soitr>0. Montrer que_∀p∈N, ap= 1

2πr^p Z2π

0 f(r e^iθ)e^{−i pθ}dθ 2. On suppose quef est bornée sur^C. Montrer quef est constante.

3. On suppose qu’il existe un polynômeP∈R[X]tel que ∀z∈C,|f(z)| ÉP(|z|). Que peut-on dire def ?

Exercice 7.0.22 ⋆ Soitf(z)=P

nÊ0anzⁿ une série entière de rayonR>0. Montrer que pour toutα∈R, la série g(z)=P

nÊ0n^αanzⁿ a le même rayon de convergence.

Exercice 7.0.23 ⋆ Oral CCP MP

1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable com- plexe.

2. Calculer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes : (a) ^X(n!)2

(2n)!z²ⁿ⁺¹. (b) ^Xn⁽⁻¹⁾ⁿzⁿ

Exercice 7.0.24 ⋆ Oral CCP MP

1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable com- plexe.

2. Soit(an)_n∈Nune suite bornée telle que la série^Xan diverge.

Quel est le rayon de convergence de la série entière^Xanzⁿ? Justifier.

3. Quel est le rayon de convergence de la série entière ^X

nÊ1

¡pn¢(−1)ⁿ

ln µ

1+ 1 pn

¶ zⁿ?

7.0.2 Calcul de la somme d’une série entière

1. Déterminer son rayon de convergence ; 2. Calculer sa somme.

Exercice 7.0.26 ^⋆ CCP 2013

Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière^PnÊ1 (−1)ⁿ 2n(2n−1)x²ⁿ. Exercice 7.0.27 ⋆ TPE 2011 pour 9.

Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière^Xanxⁿ dans les cas suivants :

1. ^P_nÊ0nxⁿ⁺¹; 2. ^PnÊ0(−1)ⁿnx²ⁿ⁺¹; 3. ^P_nÊ1⁽⁻_n¹⁾ⁿx²ⁿ⁺¹;

4. ^P_nÊ0(2nⁿ

+1)!x²ⁿ; 5. ^PnÊ0 n

(2n+1)!xⁿ; 6. ^P_nÊ0(chn)xⁿ;

7. ^P_nÊ1^¡1+¹₂+. . .+_n¹¢ xⁿ; 8. ^P_nÊ0(3n)!¹ x³ⁿ;

9. ^P_nÊ02n(2n¹₋₁₎xⁿ. Exercice 7.0.28 ⋆ CCP 2007

1. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière ^X

nÊ0

anx²ⁿ⁺¹avec

∀n∈N, an= n!

1.3. . . . .(2n+1). 2. On pose, pourx∈]−R, R[,f(x)=

+∞X

n=0

anx²ⁿ⁺¹. Montrer quef est solution de l’équation différentielle :

(E) : (x²−2)y^′+x y+2=0.

3. En déduire une expression def.

4. Est-ce que la série^Panx²ⁿ⁺¹converge pourx=p 2? Exercice 7.0.29 ⋆ Type CCP

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière : X

nÊ0

¡_2n

n

¢

2n−1(−1)ⁿxⁿ. 2. Trouver une équation différentielle vérifiée par sa sommef. 3. En déduire le calcul def.

7.0.3 Étude de la somme d’une série entière

Soit^P_nÊ0anzⁿune série entière de rayon de convergenceR>0et de sommef(z). 1. Exprimer^PnÊ0a2nz²ⁿen fonction de f.

2. Même question avec^P_nÊ0a3nz³ⁿ.

Exercice 7.0.31 ^⋆ Soit f(z)=P

nÊ0anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR=1. Pour toutn, on pose S_n=P_n

k=0aketg(z)=P

nÊ0S_nzⁿ.

1. Montrer quega aussi un rayon de convergenceR=1. 2. Calculerg(x)en fonction def(x)pour toutx∈]−1, 1[.

Exercice 7.0.32 ⋆ On considère la fonctionf donnée par

f(x)=

+∞X

n=1

sin µ 1

pn

¶ xⁿ.

1. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf. 2. Étudier la convergence enRet en−R.

3. Déterminer la limite def(x)quandx→1⁻. 4. Montrer que quandx→1⁻,

(1−x)f(x)→0.

Exercice 7.0.33 ⋆ Pourx∈R, on pose

f(x)=

+∞X

n=1

xⁿ pn.

1. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf. 2. Étudier la convergence de la série entière en1er en₋1.

3. Montrer quef est continue en₋1. 4. Déterminer la limite def en1.

Exercice 7.0.34 ^⋆

On considère une série entière^P_nÊ0anzⁿ de rayon de convergenceR>0et de sommef(z). 1. Montrer que pour tout0<r<R,

+∞X

n=0

|an|²r²ⁿ= 1 2π

Z_2π

0

¯

¯

¯f(r e^iθ)

¯

¯

¯

2dθ 2. Que dire def si^¯¯f¯

¯admet un maximum local en0.

3. On suppose maintenant queR= +∞et qu’il existeP∈R_N[X]tel que^¯¯f(z)¯

¯ÉP(|z|) pour toutz∈C. Montrer quef ∈C_N[X].

Exercice 7.0.35 ^⋆ Oral Centrale PSI On posef :x7→

+∞X

n=2

(lnn)xⁿ etg:x7→

+∞X

n=2

ln³ 1−¹

n

´ xⁿ.

1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières définissant ces deux fonctions.

2. Montrer queg est définie et continue sur[−1, 1[. 3. Trouver une relation entre(1−x)f(x)etg(x).

4. Montrer quef est continue sur[−1, 1[et trouver des équivalents def etg en1⁻. Exercice 7.0.36 ⋆ Oral Mines-Ponts PC, séries entières et intégrales de Wallis

Pour toutn∈N, on posean=Rπ/2

0 sinⁿtdt.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière^Xanzⁿ. 2. Quel est l’ensemble de définition de f?

3. Déterminerf sur]−1, 1[.

Exercice 7.0.37 ⋆ Oral CCP MP On pose :_∀n∈N∗,_∀x∈R,un(x)=(−1)ⁿxⁿ

n .

On considère la série de fonctions ^X

nÊ1

un.

1. Étudier la convergence simple de cette série.

On noteDl’ensemble desx où cette série converge etS(x)la somme de cette série pourx∈D.

2. (a) Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série surD. (b) La fonctionSest-elle continue surD?

Exercice 7.0.38 ^⋆ Oral CCP MP 1. Démontrer que la série^Xzn

n! est absolument convergente pour toutz∈C. 2. On pose :_∀z∈C, f(z)=

+∞X

n=0

zⁿ n! . Démontrer que_∀(z,z^′)∈C²,f(z)×f¡

z^′¢

=f¡ z+z^′¢

, sans utiliser le fait quef(z)=e^z. 3. En déduire que :∀z∈C, f (z)6=0et ¹

f(z)=f (−z).

7.0.4 Continuité en une extrémité de l’intervalle de convergence

Soit^Panxⁿ une série entière de rayon de convergenceR=1. Pourx∈]−1, 1[, on définit S(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ.

On suppose que la suite(an)est à termes réels positifs et que la fonctionSest bornée sur[0, 1[. 1. Montrer que^Pan est convergente.

2. Montrer quelim₁−S=P_+∞

n=0an. Exercice 7.0.40 ⋆

Soit(fn)la série de fonctions données par :

∀nÊ2, ∀x∈R, fn(x)=(−1)ⁿln(n)xⁿ.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière^Pfn. On noteSsa somme.

2. Montrer que

∀x∈]−1, 1[ , S(x)= 1 1+x

µ_+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln³ 1+¹

n

´ xⁿ⁺¹

¶ .

3. En déduire queSadmet une limite en1⁻et que

xlim→1⁻S(x)=¹

2

µ_+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln³ 1+¹

n

´¶

4. Calculer cette limite en utilisant la formule de Wallis :

x→+∞lim

1×3×. . .×(2n−1) 2×4×. . .×(2n)

pn= 1 pπ.

Exercice 7.0.41 ⋆⋆⋆ Principe des zéros isolés, X 2003

Soit^Panxⁿ une série entière de rayon de convergenceR>0. Pour toutz∈C, on posef(z)=

+∞X

n=0

anzⁿlorsque|z| <R.

On suppose quef n’est pas identiquement nulle. Montrer qu’il existe un disqueDde centre0 et de rayonη>0dans^Ctel que :

∀z∈D \ {0} , f(z)6=0.

Le résultat reste-t-il valable si on suppose seulement quef est de classe^C∞sur un voisinage de0?

Exercice 7.0.42 ^⋆ ENS Lyon 1998 Soit f(z)=^+∞X

n=0

anzⁿ la somme d’une série entière de rayon de convergenceR>0. On pose M=sup_|z|=ρ¯

¯f(z)¯

¯pour tout réelρ∈[0, R[. 1. Montrer que :

+∞X

n=0

|an|²ρ²ⁿÉM²_ρ.

2. Montrer que siR= +∞et si f est bornée alorsf est constante.

7.0.5 Équivalent en une extrémité de l’intervalle de convergence

Soit(an)une suite réelle donnée par la relation de récurrence (a0>0

an+1=ln(1+an) .

1. Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière^Panxⁿ. On noteSsa somme.

2. Étudier la convergence de^Panxⁿenx= −R. 3. Déterminer la limite de la suite(un)de terme général

un= 1 an+1− 1

an

.

4. En déduire un équivalent simple de(an). On pourra pour ce faire utiliser le théorème de Cesàro :

T^HÉORÈME7.1 Théorème de Cesàro

Soit(un)une suite réelle ou complexe convergeant vers une limitel. Alors 1

n

n−1

X

k=0

uk−−−−−→

n→+∞ l.

5. Donner un équivalent deS(x)=P_+∞

n=0anxⁿquandx→R⁻.

7.0.6 Fonctions développables en séries entières

Exercice 7.0.44 ^⋆

Soita>0etf ∈C∞([−a,a] ,R). On suppose qu’il existea,b∈R₊tels que

∀n∈N, kf⁽ⁿ⁾k∞,[−a,a]ÉABⁿn!.

Montrer que f est développable en série entière sur un intervalle ouvert centré en0. Exercice 7.0.45 ^⋆

SoientR>0etf : ]−R, R[→Rde classe^C∞vérifiant

∀n∈N,∀x∈]−R, R[ , f⁽ⁿ⁾(x)Ê0.

Montrer la convergence de la série^+∞X

n=0 f⁽ⁿ⁾⁽⁰⁾

n! xⁿ pourx∈]−R, R[.

Exercice 7.0.46 ^⋆ Montrer que la fonctionf :x7→p

x²+x+1admet un DSE de rayon de convergenceRÊ1. Exercice 7.0.47 ^⋆

1. Pour quels réelsxl’intégrale suivante existe-t-elle : Z_+∞

0

1 x+e^tdt?

2. Donner alors sa valeur.

3. Montrer que

f(x)= Z_+∞

0

1 x+e^tdt

est développable en série entière et exprimer ce développement.

Exercice 7.0.48 ^⋆ exo:2004:Nov:Tue:18:28:02

1. Soitα∈R. Déterminer le rayon de convergence de la série entière^Pn^αzⁿ. 2. Soit une fraction rationnelleF(X)= P(X)

Q(X)∈C(X)telle que∀n∈N,Q(n)6=0. Détermi- ner le rayon de convergence de la série entière^PF(n)zⁿ.

Exercice 7.0.49 ^⋆ exo:2004:Aug:Tue:17:52:53

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : 1. ^X

nÊ0

3ⁿz²ⁿ. 2. ^X

nÊ0

anzⁿoùan=

(2ⁿ sinpair 3ⁿ sinimpair . 3. ^X

nÊ0

¡2+(−1)ⁿ¢ zⁿ. Exercice 7.0.50 ⋆ Montrer quef :x7→e^xRx

0

dt

1+t est DSE.

Exercice 7.0.51 ⋆ Oral CCP MP

1. Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières ? Le démontrer.

2. Développer en série entière au voisinage de0, en précisant le rayon, la fonctionf : x7−→ln (1+x)+ln (1−2x).

La série obtenue converge-t-elle pourx=1 4?x=1

2?x= −1 2?.

Exercice 7.0.52 ⋆ Oral CCP MP Soit(an)_n∈Nune suite complexe telle que la suite

µ|an+1|

|an|

¶

n∈N

admet une limite.

1. Démontrer que les séries entières^Xanxⁿ et^X(n+1)an+1xⁿ ont le même rayon de convergence.

On le noteR.

2. Démontrer que la fonctionx7−→

+∞X

n=0

anxⁿest de classe^C1sur l’intervalle]−R, R[. Exercice 7.0.53 ⋆ Oral CCP MP

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière^{X xn} (2n)!. On poseS(x)=

+∞X

n=0

xⁿ (2n)! .

2. Donner le développement en série entière en 0 de la fonctionx7→ch(x)et précisez le rayon de convergence.

3. (a) DéterminerS(x).

(b) On considère la fonctionf définie sur^Rpar :

f(0)=1, f(x)=ch^pxpourx>0, f(x)=cosp

−xpourx<0 . Démontrer que f est de classeC^∞sur^R.

Exercice 7.0.54 ⋆⋆ Centrale 2016 Soit(an)∈R^Nla suite donnée par :















a0=a1=1 a2=1

2

∀nÊ2, an+1= nan

n+1− 1 n+1

n−1

X

k=1

(k+1)ak+1an−k

.

On considère, là ou elle est définie, la fonctionf(x)=

+∞X

n=0

anxⁿ. 1. On suppose que(an)est bornée. Montrer que

f(x)f^′(x)= d dx

¡x.f(x)¢ . En déduiref(x)

2. En déduire(an).

3. Question supplémentaire : Que peut-on dire de l’hypothèse(an)bornée ? Exercice 7.0.55 ⋆ 1. CCP 2011, 6. Mines 2013

Développer en série entière au voisinage de zéro les fonctions suivantes :

1. f(x)=arctan

³1−x² 1+x²

´; 2. f(x)=ln¡

x²−4x+3¢

;

3. f(x)=ln

³1+x+x² 1+x²

´; 4. f(x)=R_x

0cos(t²)dt;

5. f(x)=Rx

−∞

dt (t−1)²(t²+1); 6. f(x)= 1−x²

1−2xcosθ+x². Exercice 7.0.56 ⋆⋆ Mines 2011

Soit

h:x7→

p1+x²

x² − p1−x²

x² . 1. Prolongerhpar continuité en0.

2. Montrer quehest développable en série entière au voisinage de0et écrire son déve- loppement.

Exercice 7.0.57 ^⋆⋆ CCP 2013 Soit

f :x7→

Z^π

2 0

sint t e^−xtdt.

1. Montrer quef est de classe^C1sur^R. Calculer explicitementf^′(x)pour toutx∈R. 2. Calculer les limites def en±∞.

3. Montrer que f est développable en série entière sur un intervalle]−r,r[avecr>0à préciser.

Exercice 7.0.58 ^⋆ Centrale 2013 On considère

f :x7→

Z1 0

e^{t xlnt}dt.

1. Montrer quef est définie et continue sur^R. 2. Étudier les variations def.

3. Calculer la limite def en_+∞.

4. Montrer quef est développable en série entière au voisinage de zéro. Quel est le rayon de convergence de la série entière obtenue ?

5. Soitgune fonction définie, continue et bornée sur^R₊. Que peut-on dire de :

x→+∞lim x Z_+∞

0

g(u)e^−xudu.

6. En déduirelimx→+∞

R_+∞

0 f(u)e^−xudu. Exercice 7.0.59 ⋆⋆ Centrale 2016 Soit(an)∈R^Nla suite donnée par :















a0=a1=1 a2=1

2

∀nÊ2, an+1= nan

n+1− 1 n+1

n−1

X

k=1

(k+1)ak+1an−k

.

On considère, là ou elle est définie, la fonctionf(x)=

+∞X

n=0

anxn. 1. On suppose que(an)est bornée. Montrer que

f(x)f^′(x)= d dx

¡x.f(x)¢ . En déduiref(x)

2. En déduire(an).

3. Question supplémentaire : Que peut-on dire de l’hypothèse(an)bornée ? Exercice 7.0.60 ^⋆ CCP 2016

Soit

C=





0 0 0

0 ¹₂ 1 0 0 −¹₂



 .

1. La matriceCest-elle diagonalisable ? 2. On poseSn=

2n

X

k=0

(k+1)C^k.

(a) Trouverαketβktels que pour toutk∈N∗,C^2k=αkC²etC^2k+1=βkC. (b) Montrer que pour toutn∈N,S_n∈Vect¡

I₃, C, C²¢ . 3. Soientf(x)=

+∞X

n=0

xⁿ,f1(x)=

+∞X

n=0

(n+1)xⁿetf2(x)=

+∞X

n=0

(2n+1)x²ⁿ. (a) Rappeler le rayon de convergence de ^X

nÊ0

xⁿ et exprimer f à l’aide de fonctions usuelles.

(b) En déduire de rayon de convergence des deux autres séries et les exprimer à l’aide de fonctions usuelles.

4. Montrer que(S_n)converge et exprimer sa limiteS en fonction deI₃,CetC². 5. calcule(I3−C)²×Set en déduire une autre expression deS.

7.0.7 Développement en séries entières

Développer en série entière au voisinage de0: 1. f :x7→ln¡

x²−5x+6¢

; 2. g(x)=ln(1+x+x²);

3. h(x)=e^−xsinx; 4. i(x)=R1

0 dt 1+t x.