MATHS 1
reSUITES NUMERIQUES COURS
1
Ce document n’est pas un cours à proprement parler. Son objectif est de récapituler l’essentiel et d’expliquer un certain nombre de notions.
1 Définitions générales
Une suite numérique
( )
un n∈ℕ est une liste ordonnées de termes (ici : réels) un où n représente le rang du terme (sa position dans la suite).Classiquement, le premier terme, terme initial, est noté u0. un, pour n quelconque, est nommé terme général de la suite.
L’enchaînement des valeurs u0, u u u u1, 2, 3, 4, ... répond en général à une logique.
Le terme général peut être défini :
* en fonction de n, par une formule (on parle de suite fonctionnelle),
* en fonction du terme précédent, ou de plus d’un (on parle de suite récurrente) Exemple de suite fonctionnelle :
2 5
n 1 u n
n
= −
+ . Quelques termes : 0 1 2 1 3 4 11
5, 2, , 1, , ...
3 5
u = − u = − u =− u = u = Exemple de suite récurrente :
0 1
2
3 5
n n
u u + u
=
= −
. Quelques termes : u0=2, u1=1, u2= −2, u3 = −11, u4= −38, ...
2 Etudes de suites particulières
2.1 Suites arithmétiques
Une suite est dite arithmétique lorsque la différence entre un terme et le précédent est constante :
n 1 n
u + −u =r Ce nombre fixé r est appelé raison de la suite.
L’évolution des valeurs, terme après terme, se fait donc « à vitesse constante ».
Si r < 0, la suite est décroissante, si r = 0, elle est constante, si r > 0, elle est croissante.
On a aussi les résultats suivants :
n 0
u =u + ×n r
( )(
0)
0
1 2
n
n k
k
n u u
u
=
+ +
∑
=pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes
précédents
En exercice, pour savoir si une suite est arithmétique, on montrera que un+1−un est constant.
Exemple : montrer que la suite
( )
un n∈ℕ telle que un =2n+5 est arithmétique.( ) ( )
1 2 1 5 2 5 2
n n
u + − =u n+ + − n+ = . C’est une suite arithmétique de raison 2.
Exemple 2 : soit u la suite arithmétique de premier terme 15 et de raison 3. Déterminer un en fonction de n, ainsi que la somme de ses 30 premiers termes :
un= + × =u0 n r 15+3n
29
( )(
0 29) ( )
0
29 1 30 15 15 29 3 30 117
2 2 2 1755
k k
u u u
=
+ + + + × ×
= = = =
∑
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2.2 Suites géométriques
Une suite est dite géométrique lorsque le rapport entre un terme et le précédent est constant :
n 1 n
u q
u
+ =
Ce nombre fixé q est appelé raison de la suite. Il est en général choisi positif.
Dans le cas q positif et u0 positif :
Si q < 1, la suite est décroissante, si q = 1, elle est constante, si q > 1, elle est croissante.
On a aussi les résultats suivants :
0 n
un= ×u q
1 0 0
1 1
n n k k
u u q q
+
=
= −
∑
−pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes
précédents
En exercice, pour savoir si une suite est géométrique, on montrera que n 1
n
u u
+ est constant.
Exemple : Soit la suite
( )
un n∈ℕ telle que 01
5
2 3
n n
u u + u
=
= −
. Montrer que la suite
( )
vn n∈ℕ telle quen n 3
v = −u est géométrique.
( )
1 1 3 2 3 3 2 6 2 3
3 3 3 3 2
n n n n n
n n n n n
v u u u u
v u u u u
+ = + − = − − = − = − =
− − − − . C’est une suite géométrique de raison 2.
(il faudrait au préalable avoir vérifié, par exemple par récurrence, que vn ne peut s’annuler, sinon il serait impossible de diviser par ce nombre)
Exemple 2 : soit u la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 1,2. Déterminer un en fonction de n, ainsi que la somme de ses 30 premiers termes :
un= ×u0 qn= ×2 1,2n
29 0 29 1 30
(
30)
0
1 1,2 1
2 10 1,2 1 2363,76
1 1,2 1
k k
u u q q
+
=
− −
= = = × − ≈
− −
∑
Exemple 3 : soit u la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 0,8. Déterminer un en fonction de n, ainsi que la somme de ses 30 premiers termes :
un= × = ×u0 qn 2 0,8n
29 0 29 1 30
(
30)
0
1 0,8 1
2 10 0,8 1 9,9876
1 0,8 1
k k
u u q q
+
=
− −
= = = − × − ≈
− −
