Séries entières

le 3 Janvier 2012 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

S´ eries Enti` eres

1 D´ efinition, exemples.

D´efinition 1.1 Soient (a_n)_n≥n0 une suite num´erique (r´eelle ou complexe).

On appelle s´erie enti`ere autour de z₀ ∈C une s´erie de terme g´en´eral u_n(z) = a_n.(z−z₀)ⁿ.

On la note ∑

a_n(z−z₀)ⁿ Sn(x) = ∑n

k=n0ak(z−z0)^k s’appelle somme partielle d’ordre n de la s´erie.

Remarque 1.2 i) Dans ce cas o`u on travaille dans R, on note souvent les s´eries : ∑

a_n(x− x₀)ⁿ.

ii) Dans la suite on prendra z₀ = 0.

Exemples 1.3 1) Les polynˆomes sont des s´eries enti`eres.

2) ∑

xⁿ est une s´erie enti`ere convergente simplement sur ]−1,1[, normalement sur ]−a, a[

(0< a <1). De plus sur]−1,1[, ∑_+∞

n=0xⁿ = ₁₋¹_x. SurC, la s´erie∑

zⁿ converge ssiz appartient au disque ouvert de centre 0 et de rayon 1 : D(0,1) ={z ∈C/|z|<1}.

3) ∑_xⁿ

n!. 4) ∑ _xⁿ

1+n². 5) ∑ _xⁿ

1+n.

2 Convergence d’une s´ erie enti` ere.

2.1 Rayon de convergence.

Proposition-d´efinition 2.1 Soit ∑

a_nzⁿ une s´erie enti`ere.

Il existe R ∈R∪ {+∞} tel que : i) ∀z ∈C,|z|< R,∑

anzⁿ converge absolument, ii) ∀z ∈C,|z|> R,∑

a_nzⁿ diverge.

R s’appelle le rayon de convergence de la s´erie ∑ a_nzⁿ.

Preuve.

R= sup{r≥0/|a_n|rⁿ born´e}({r ≥0/|a_n|rⁿ born´e} est un intervalle).

(ii) est clair.

(i) Supposons |z|< R.

Soit R^′ >0 avec |z|< R^′ < R.

Alors|a_n|(R^′)ⁿ < M.

|a_nzⁿ|=|a_n|(R^′)ⁿ(^|_R^z_′^|)ⁿ< M(^|_R^z_′^|)ⁿ dont la somme converge (^|_R^z|_′ <1).

CQFD

Remarque 2.2 i) Dans le cas |z|=R, la s´erie peut converger ou pas.

Exemple : ∑_zⁿ

n, ∑_zⁿ

n².

ii) La preuve nous permet d’affirmer que, pour ∑

a_nzⁿ, si on a l ∈R⁺ tel que :

∀|z|< l, (|a_n||z|ⁿ)_n est born´e,

∀|z|> l, si (|an||z|ⁿ) est non born´e.

Alors l est le rayon de convergence de ∑ a_nzⁿ. Exemple : ∑

e^−√nzⁿ. iii) ∑

a_nzⁿ de rayon de convergence R est normalement convergente sur le disque ferm´e D(0, r) :=¯ {z ∈ C,|z| ≤ r} avec 0 < r < R (donc uniform´ement convergente). On en d´eduit que ∑

a_nzⁿ est continue sur le disque ouvert D(0, R) :={z ∈C,|z|< R}

iv) On peut montrer, grˆace au th´eor`eme d’abel, qu’en cas de convergence d’une s´erie enti`ere de rayon de convergence R `a une borne de l’intervalle ]−R, R[, la s´erie est continue en ce point (ATTENTION : ce n’est pas vrai dans C).

Exemples 2.3 i) rayon de convergence R de ∑ aⁿzⁿ. ii) Montrer que ∑

aⁿzⁿ ne converge pas uniform´ement sur ]−R, R[.

Proposition 2.4 Soient ∑

anzⁿ et ∑

bnzⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de convergence res- pectif R_a et R_b.

(i) Si ∀n > N, |an| ≤ |bn| alors Ra≥Rb. (ii) Si |a_n| ∼n→+∞|b_n| alors R_a=R_b. Preuve.

En exo.

CQFD

R` egle de d’Alembert pour les s´ eries enti` eres.

Soit ∑

anzⁿ une s´erie enti`ere.

|^an+1_an^z_zⁿ⁺¹n |=|^an+1_an ||z|.

Si|^an+1_an | −→n→+∞ l alors |^an+1_an ||z| −→n→+∞ l|z|.

On en d´eduit donc la Proposition 2.5 Soit ∑

anzⁿ une s´erie enti`ere.

Si ^an+1_a

n converge vers l ∈ R lorsque n → +∞ alors le rayon de convergence de ∑

a_nzⁿ est R= ¹_l.

Exemples 2.6 i) Quel est le rayon de convergence de ∑ _n³_−n+2

2n⁴+n²+1zⁿ? G´en´eraliser `a l’ensemble des S´eries enti`eres ∑

a_nxⁿ avec a_n∈C(X).

ii) Rayon de convergence de ∑

ln(n²+ 1)zⁿ. iii) Rayon de convergence de ∑ _n!

n+1zⁿ. iv)Rayon de convergence de ∑ _n²_+n

2ⁿ+n!zⁿ.

R` egle de Cauchy pour les s´ eries enti` eres.

Proposition 2.7 Soit ∑

anzⁿ une s´erie enti`ere.

Si √ⁿ

a_n converge vers l ∈ R lorsque n → +∞ alors le rayon de convergence de ∑

a_nzⁿ est R= ¹_l.

2.2 Op´ eration sur les s´ eries et rayon de convergence.

{∑

a_nzⁿ s´erie enti`ere} est un espace vectoriel muni des lois : λ.∑

anzⁿ:=∑ λanzⁿ

∑a_nzⁿ+∑

b_nzⁿ :=∑

(a_n+b_n)zⁿ. Proposition 2.8 Soient ∑

a_nzⁿ et ∑

b_nzⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de convergence res- pectif R_a et R_b.

(i) Si λ̸= 0, le rayon de convergence de λ.∑

anzⁿ est Ra. (ii) ∑

a_nzⁿ+∑

b_nzⁿ a pour rayon de convergenceR ≥min{R_a, R_b} avec ´egalit´e si R_a ̸=R_b. Preuve.

En exo.

CQFD

Exemples 2.9 (i) ∑

zⁿ et ∑ nzⁿ. (ii) ∑

zⁿ et ∑

(₂¹n −1)zⁿ. Proposition 2.10 Soient ∑

n≥0a_nzⁿ et ∑

n≥0b_nzⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de conver- gence respectif R_a et R_b.

∑

n≥0a_nzⁿ×∑

n≥0b_nzⁿ :=∑

n≥0(∑_n

k=0a_k.b_n−k)zⁿa pour rayon de convergenceR≥min{R_a, R_b}.

Preuve.

En exo CQFD

Exemples 2.11 (i) ∑

xⁿ et ∑

(−1)ⁿxⁿ. (ii) ∑

xⁿ, 1−x.

(iii) ∑ xⁿ, 0.

2.3 D´ erivation et int´ egration d’une s´ erie enti` ere.

Soit S(z) =∑

n≥0a_nzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergenceR.

Soit la s´erie enti`ere

S^′(z) =∑

n≥1

na_nzⁿ⁻¹ =∑

n≥0

(n+ 1)a_n+1zⁿ.

Soit z ∈ C tel que |z| > R alors (|a_n+1zⁿ|)_n n’est pas born´ee donc (|(n+ 1)a_n+1zⁿ|)_n ne l’est pas non-plus donc le rayon de convergence de ∑

n≥0(n+ 1)a_n+1zⁿ estR^′ ≤R.

Soit z ∈C tel que |z|< R, on a r >0 avec |z|< r < R. |(n+ 1)a_n+1zⁿ| =|a_n+1rⁿ|.(n+ 1)|^z_r|ⁿ avec (n+ 1)|^z_r|ⁿ<1 pour n assez grand donc∑

n≥0(n+ 1)an+1zⁿ converge. D’o`u R^′ ≥R On en d´eduit la

Proposition 2.12 Soit ∑

n≥0anzⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R.

∑

n≥0a_nzⁿ est infiniment d´erivable surD(0, R) et les s´eries enti`eres d´eriv´ees sont de rayon de convergence R :

(∑

n≥0

a_nzⁿ)^′ =∑

n≥0

(n+ 1)a_n+1zⁿ.

Preuve.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, la convergence uniforme sur les disques D(0, r) pour tout 0 < r < R, et le th´eor`eme de d´erivation des suites de fonctions.

CQFD

Exemples 2.13 Quel est le d´eveloppement en s´erie enti`ere de <sub>(1−</sub><sup>1</sup><sub>x)</sub>2. Corollaire 2.14 Si f(z) est la somme de la s´erie enti`ere ∑

a_nzⁿ alors

a_n = 1

n!f⁽ⁿ⁾(0).

Preuve.

f⁽ⁿ⁾(0) =n!a_n d’apr`es le r´esultat pr´ec´edent.

CQFD

Corollaire 2.15 Soient ∑

a_nzⁿ et ∑

b_nzⁿ deux s´eries enti`eres de rayon de convergence res- pectif R_a et R_b non nuls.

Si ∀|x| ≤min{R_a, R_b},∑

a_nzⁿ =∑

b_nzⁿ alors ∀n ∈N, a_n =b_n. Corollaire 2.16 Soit ∑

n≥0a_nrⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R.

∑

n≥0a_nxⁿ est int´egrable terme `a terme sur [a, b]⊂]−R, R[ et (∑

n≥1

a_n−1

n xⁿ)^′ =∑

n≥0

a_nxⁿ.

3 D´ eveloppement d’une fonction en s´ erie enti` ere.

D´efinition 3.1 Soit f :U −→R avec ∃ϵ >0,]−ϵ, ϵ[⊂U.

On dit que f est d´eveloppable an s´erie enti`ere en 0s’il existe une s´erie enti`ere ∑

anxⁿ de rayon de convergence R et ]−a, a[ (a >0) tels que

∀x∈]−a, a[, f(x) = ∑ a_nxⁿ.

Remarque 3.2 i) D’apr`es ce qui pr´ec`ede, Si f est d´eveloppable en s´erie enti`ere ∑

a_nxⁿ en 0 alors ce d´eveloppement est unique et a_n = _n!¹f⁽ⁿ⁾(0).

ATTENTION : il existe des fonctions infiniment d´erivables qui n’admettent pas de d´eveloppement en s´erie enti`ere.

Ex. f(x) =e^−x12 six̸= 0 et f(0) = 0.

ii) Soit f :]−a, a[R (a >0) infiniment d´erivable. La formule de MacLaurin nous donne

∀n ∈N^∗,∀x∈]−a, a[,∃θ ∈]0,1[, f(x) = f(0) +xf^′(0) +...+xⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(0) + xⁿ⁺¹

(n+ 1)!f⁽ⁿ⁺¹⁾(θ.x).

Si ^x_n!ⁿf⁽ⁿ⁾(θ.x) tend vers 0 quand n tend vers +∞ alors f est d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−a, a[.

iii) Si f est impaire (resp. paire), le d´eveloppement en s´erie enti`ere ne fait intervenir que des puissances impaires (resp. paires).

Exemples 3.3 i) exp, sin, cos, sinh, cosh.

ii) x7→ln(1 +x), x7→arctan(x).

4 Exemples d’applications des s´ eries enti` eres.

4.1 Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires.

Pour r´esoudre une ´equation diff´erentielle lin´eaire, on peut chercher les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere. Mais ce ne sont pas toutes les solutions.

Exemples 4.1 Trouver les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de(E) y^′′+ 2xy^′+ 2y= 0.

Reconnaitre les solutions paires.

Exercice 4.2 Trouver la solution (sous forme de s´erie enti`ere) de (E) y^′′+xy = x² +x+ 2 satisfaisant aux conditions initiales y(0) = 1, y^′(0) = 1 (pr´eciser l’intervalle sur lequel la solution est valable).

4.2 Int´ egrales.

Exemples 4.3 ∫1 0

dt

1+t^α (α >0). Donner la valeur de ∑+∞ n=0

(−1)ⁿ

n+1 et ∑+∞ n=0

(−1)ⁿ 2n+1. Exercice 4.4 Montrer que ∫1

0

arctan(x)

x dx=∑+∞ n=0

(−1)ⁿ (2n+1)².

4.3 Exponentielle complexe.

On a vu que

∀x∈R, e^x =

+∞

∑

n=0

xⁿ n!. De plus

∀θ ∈R, e^iθ = cos(θ) +isin(θ) =

+∞

∑

p=0

(−1)^p θ^2p

(2p)! +i.∑

(−1)^p θ^2p+1 (2p+ 1)! =

+∞

∑

n=0

(iθ)ⁿ n! .

On peut donc d´efinir

D´efinition 4.5 On d´efnit l’exponentielle complexe

∀z ∈C, e^z :=

+∞

∑

n=0

zⁿ n!.

Remarque 4.6 (en exo.) On retrouve grˆace `a cette d´efinition et aux propri´et´es des s´eries les relations :

i) e^z1+z2 =e^z1.e^z2, ii) e^−z = _e¹z, iii) e^nz = (e^z)ⁿ.

D´ eveloppements usuels en s´ eries enti` eres autour de 0.

e^x =∑+∞ n=0

xⁿ n!, cosh(x) = ∑_+∞

p=0 x^2p (2p)!, sinh(x) = ∑_+∞

p=0 x^2p+1 (2p+1)!, cos(x) = ∑_+∞

p=0

(−1)^px^2p (2p)! , sin(x) = ∑+∞

n=0

(−1)^px^2p+1 (2p+1)! , (1 +x)^α = 1 +∑+∞

n=1

α(α−1)...(α−n+1) n! xⁿ,

1

1−x =∑_+∞

n=0xⁿ, ln(1 +x) =∑+∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n ,

arctan(x) =x+∑_+∞

n=1(−1)^n1.3....(2n_2.4...(2n)^−1)x_2n+1²ⁿ⁺¹.