Réduction des endomorphismes symétriques
SoitE un espace euclidien de dimensionn.
Lemme 1. Soient f ∈ L(E)etF un sev deE. AlorsF stable parf ⇐⇒F⊥ stable parf∗.
Preuve. Cela provient de la décompositionE=F ⊕⊥F⊥ :
f(F)⊂F ⇐⇒ ∀y∈F⊥, ∀x∈F, hy, f(x)i= 0
⇐⇒
∀x∈F, ∀y∈F⊥, hx, f∗(y)i= 0 ⇐⇒ f∗(F⊥)⊂F⊥.
Théorème 2. On supposen>1. Soitf ∈S(E). Alorsf est orthogonalement diagonalisable.
Démonstration.
1. Existence d’une valeur propre. SoitS la sphère unité deE. Sin>1 alorsS 6=∅. Considérons Φ :S−→R
x7−→ hx, f(x)i.
E est de dimension finie, doncS est compacte etΦest continue car les applications linéaires et bilinéaires sont continues. Φ est alors bornée et atteint sa borne inférieure λ∈Ren un point y ∈S : Φ(y) =λ= min Φ. Montrons quey est un vecteur propre def associé à la valeur propre λ.
Considérons pour cela la forme quadratique associée à f−λId: q:E−→R
x7−→ hx,(f−λId)(x)i=hx, f(x)−λxi,
Par définition deλety,q(y) = Φ(y)−λ= 0et pour toutx∈S,q(x) = Φ(x)−λ>0. Six∈E\ {0}, on a aussi par homogénéité q(x) =kxk2q(kxkx )>0, etqest donc une forme quadratique positive. Notons ϕ sa forme polaire. Alors d’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz,
∀x∈E, ϕ(x, y)26q(x)q(y) = 0,
c’est-à-dire 0 =ϕ(x, y) =hx, f(y)−λyipour toutx∈E. D’où f(y) =λyet λ∈Spf.
2. Orthogonalité des espaces propres. Soient x, y deux vecteurs propres de f associés à des valeurs propres distinctesλ, µ respectivement. Comme f∗ =f,µhx, yi=hx, f(y)i=hf(x), yi=λhx, yi, donc hx, yi= 0.
Les espaces propres de f sont donc orthogonaux.
3. Conclusion. Soit donc
F :=
M⊥
λ∈Spf
Ker(f−λId). (⋆)
F est stable parf doncF⊥ est stable parf∗=f (lemme 1) ;f induit alors un endomorphisme symétrique de F⊥ sans valeur propre. D’après1., ceci n’est possible que si dimF⊥ = 0. D’oùF =E, et (⋆) montre
alors quef est orthogonalement diagonalisable.
Application 3(Réduction simultanée). Soient A∈S>0n (R)etB ∈Sn(R). Alors il existeP ∈GLn(R)et une matrice diagonaleD∈ Mn(R)telles queA=tP P et B=tP DP.
Preuve. La forme bilinéaire symétrique définie positiveacanoniquement associée àAdéfinit un produit scalaire sur Rn. Dans toute base de Rn orthonormée pour a, a a pour matrice Idn. Soient e := (e1, . . . , en) la base canonique deRn et ul’endomorphisme symétrique de l’espace euclidien (Rn, a)ayantB pour matrice dans la base e. Par le théorème 2 uadmet une base de diagonalisation ε := (ǫ1, . . . , ǫn) de Rn orthonormée pour a.
SoitP la matrice de passage deεà (e1, . . . , en). La matriceD:=tP−1BP−1est diagonale ettP−1AP−1est la matrice deadans la baseεorthonormée poura, donctP−1AP−1= Idn. D’oùA=tP P etB=tP DP.
Références. [Gri]
153 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Ap- plications.
170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
203 Utilisation de la notion de compacité.
[Gri] JosephGrifone: Algèbre linéaire. 4ème édition.
benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/1
