TS spécialité Correction Devoir maison 2 2012-2013
Le but de l’exercice est de déterminer des couples (a, b) d’entiers vérifiant l’égalité (1) : a2−2b2= 1
1. On suppose que (a, b) est solution.
(a) Prouver queaest impair.
aexiste puisque l’on suppose que (a, b) est solution. Supposons alors quea est pair. On a donca≡0 (2) puisa2≡0 (2) et comme 2b2≡0 (2) en vertu des propriétés de compatibilité des congruences, on obtient : a2−2b2≡0 (2). Ceci est contraire au fait quea2−2b2= 1. Ainsiaest impair.
(b) a2−1 est multiple de 4.
D’après la question précédente, il existek∈Ztel quea= 2k+ 1.
a2−1 = (2k+ 1)2−1 = 4k2+ 4k+ 1−1 = 4(k2+k) donc a2−1 est un multiple de 4.
b est pair.
Sibest impair alorsb≡1 (4) oub≡3 (4) doncb2≡1 (4) et donc 2b2≡2 (4). Or d’après la question précé- dente,a2−1≡0 (4) et l’égalitéa2−1 = 2b2n’est pas possible. On aboutit à une contradiction doncbest pair.
(c) aet bsont premiers entre eux.
L’égalité a2−2b2 = 1 peut s’écrire de la façon suivante :a×a+b×(−2b) = 1. L’égalité de Bezout est vérifiée et donc les nombresaetb sont premiers entre eux.
2. (a) Solution évidente de l’équation (1).
Une solution est par exemple le couple (3; 2) : en effet, 32−2×22= 1.
(b) (a, b)solution de(1) implique que le couple(3a+ 4b,2a+ 3b)l’est aussi.
On suppose que (a;b) est solution.
Calculons (3a+ 4b)2−2(2a+ 3b)2 = 9a2+ 24ab+ 16b2−8a2−24ab−18b2=a2−2b2 = 1 car (a;b) est solution.
Le couple (3a+ 4b,2a+ 3b) est donc bien solution de l’équation.
(c) 3 autres solutions de(1).
Partant de (3; 2) solution de (1) :
Le couple (3×3 + 4×2; 2×3 + 3×2) = (17; 12) est également solution de l’équation.
On réitère le procédé pour générer deux autres solutions : (99; 70) et (577; 408) 3. (a) Algorithme qui affiche un couple d’entiers supérieurs à 1000 vérifiant (1).
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 a PREND_LA_VALEUR 3 7 b PREND_LA_VALEUR 2
8 TANT_QUE ((a<=1000) ou (b<=1000)) FAIRE 9 DEBUT_TANT_QUE
10 c PREND_LA_VALEUR a 11 a PREND_LA_VALEUR 3*a+4*b 12 b PREND_LA_VALEUR 2*c+3*b 13 FIN_TANT_QUE
14 AFFICHER a 15 AFFICHER b 16 FIN_ALGORITHME
(b) Couple affiché : (3363; 2378)
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