Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique

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Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

On considère la suite(z_n)à termes complexes définie parz₀=1+i et, pour tout entier natureln, par

z_n+1= z_n+|z_n| 3 .

Pour tout entier natureln, on pose :z_n =a_n+ib_n, oùa_nest la partie réelle de z_n etb_n est la partie imaginaire dez_n.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (a_n)et(b_n).

Partie A

1)Donnera₀etb₀.

2)Calculerz₁, puis en déduire quea₁= 1+√ 2

3 et b₁= 1 3. 3)On considère l’algorithme suivant :

Variables : AetBdes nombres réels Ket Ndes nombres entiers Initialisation : Affecter àAla valeur1

Affecter àBla valeur1 Traitement : Entrer la valeur deN

Pour Kvariant de1à N

Affecter àAla valeur A+√A²+B² 3 Affecter àBla valeur B

3 FinPour

AfficherA

a)On exécute cet algorithme en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à10⁻⁴près).

K A B

1 2

b) Pour un nombreN donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?

Partie B

1)Pour tout entier naturel n, exprimerz_n+1en fonction de a_n et b_n.

En déduire l’expression dea_n+1en fonction de a_n et b_n, et l’expression deb_n+1en fonction de a_n etb_n. 2)Quelle est la nature de la suite(b_n)? En déduire l’expression deb_n en fonction den, et déterminer la limite

de(b_n).

3) a) On rappelle que pour tous nombres complexeszet z^′ :

|z+z^′|6|z|+|z^′| (inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout entier naturel n,

|z_n+1|62|z_n| 3 . b) Pour tout entier natureln, on poseu_n=|z_n|.

Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,

(2)

u_n 6

2

3 ⁿ

√2.

c) Montrer que, pour tout entier natureln,|a_n|6u_n. En déduire que la suite(a_n)converge vers une limite que l’on déterminera.