Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique

(1)

Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique

EXERCICE 1 : corrigé 1) Figure.

1 2 3 4

−1

1 2 3

−1

−2

−3

b b b

b

O

A C

B

H

2) •JA=|a−i|=|−3−i−i|=|−3−2i|=p

(−3)²+ (−2)²=√ 13.

• JB=|b−i|=|−2+4i−i|=|−2+3i|=p

(−2)²+3²=√ 13.

• JC=|c−i|=|3−i−i|=|3−2i|=p

3²+ (−2)²=√ 13.

En résumé,JA=JB=JC=√

13et donc

le pointJest le centre du cercle circonscrit au triangleABCdont le rayon est√ 13.

3)Les coordonnées respectives des pointsA,H,BetCsont(−3,−1), (−2, 0),(−2, 4)et(3,−1).

Les coordonnées respectives des vecteurs−−→ AH et−→

BC sont(1, 1)et(5,−5).

−−→ AH.−→

BC=1×5+1×(−5) =0, et donc

les droites(AH)et (BC)sont perpendiculaires.

4)L’affixegdu centre de gravité du triangle ABCest g= a+b+c

3 = −3−i−2+4i+3−i

3 = −2

3 +2 3i.

5)L’affixe du vecteur−→

JGest g−i= −2 3 +2

3i−i= −2 3− 1

3i. L’affixe du vecteur−→

JHesth−i= −2−i.

Donch−i=3(g−i)ou encore−→ JH=3−→

JG. Ainsi, les vecteurs −→ JHet−→

JG sont colinéaires ou encore les pointsG,JetH sont alignés.

(2)

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

b b b

b

b b

O

A C

B

H

G J

6) a)On notek l’affixe du pointK.

k= a+h

2 = −3−i−2 2 = −5

2 −1 2i.

L’affixe du pointKestk= −5 2− 1

2i.

b)L’affixe du vecteur−−→

HA^′ esta^′−h= 1 2 +3

2i− (−2) = 5 2+3

2i.

L’affixe du vecteur−→

KJesti−k=i−

−5 2− 1

2i

= 5 2+ 3

2i.

Ainsi,a^′−h=i−k ou encore−−→ HA^′=−→

KJet par suite,

le quadrilatèreKHA^′Jest un parallélogramme.

(3)

1 2 3 4

−1

−2

−3

1 2 3

−1

−2

−3

b b b

b

b b

O

A

A^′

C B

H

G J

K