Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 Partie A
1)a0=Re(z0) =1 etb0=Im(z0) =1.
2)|z0|=√
12+12=√ 2 puis
z1= z0+|z0|
3 = 1+i+√ 2
3 = 1+√ 2 3 +1
3i,
et donca1= 1+√ 2
3 etb1= 1 3. 3) a) Tableau.
K A B
1 0, 8047 0, 3333
2 0, 5586 0, 1111
b)Pour un nombreNdonné, l’algorithme affiche la valeur deaN. Partie B
1)Soitnun entier naturel.
zn+1= zn+|zn|
3 = an+ibn+p
a2n+b2n
3 = an+p
a2n+b2n
3 +ibn
3 .
Puisque an+p
a2n+b2n
3 et bn
3 sont des réels, on en déduit quean+1= an+p
a2n+b2n
3 etbn+1= bn
3 . 2)La suite (bn)est la suite géométrique de premier termeb0=1 et de raisonq= 1
3. On sait que pour tout entier natureln,
bn=b0×qn = 1
3 n
.
Puisque−1 < 1
3 < 1, lim
n→+∞bn =0.
3) a)Soitnun entier naturel.
|zn+1|=
zn+|zn| 3
= |zn+|zn||
|3| = |zn+|zn||
3
6 |zn|+||zn||
3 = |zn|+|zn|
3 (car |zn| est un réel positif)
= 2|zn| 3 .
b)Montrons par récurrence que, pour tout entier natureln, un6 2
3 n
√2.
•u0=|z0|=√ 2=
2 3
0
√2. En particulier,u06 2
3 0
√2. L’inégalité à démontrer est donc vraie quandn=0.
• Soitn>0. Supposons queun6 2
3 n
√2 et montrons queun+16 2
3 n+1
√2.
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un+1=|zn+1| 62|zn|
3 (d’après la question précédente)
= 2 3un
62 3×
2 3
n√
2(par hypothèse de récurrence)
= 2
3
n+1√ 2.
On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,un6 2
3 n
√2.
c)Soitnun entier natureln.
un =q
a2n+b2n>
q
a2n =|an|. et donc|an|6un.
A partir de la question précédente, on en déduit encore que pour tout entier natureln,|an|6 2
3 n
√2.
Puisque−1 < 2
3 < 1, lim
n→+∞
2 3
n√
2=0. Mais alors, d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞an =0.
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