Rappels sur les vecteurs
VECTEURS DANS LE PLAN ET L ESPACE
Définition : Un vecteur u non nul est la donnée de trois éléments : une direction (deux droites parallèles ont la même direction)
un sens
une longueur, appelée aussi norme.
Le vecteur défini par la direction (AB), le sens de A vers B et la longueur AB est noté AB. La norme du vecteur u est notée || |u |.
Attention : le mot "direction" n a pas le même sens qu en français : ci- contre, u et v ont la même direction mais pas le même sens :
Définition : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Exemple :
Ici AB GH u
Sur ce schéma, il y a trois représentants d un seul vecteur.
Relation de Chasles : pour tous points A,B et C du plan, AB BC AC.
Attention : cela est vrai pour les vecteurs mais pas pour les longueurs (on n a pas AB BC AC)
Exemple à retenir :
Représenter sur la figure ci-dessous le vecteur u v :
Pour additionner deux vecteurs, on déplace le deuxième (un vecteur n’ayant pas d’emplacement précis) pour que son origine soit à l’extrémité du premier. On forme ainsi un parallélogramme :
Pour cela : on construit un représentant de v que l on met "au bout de la
flèche de u" puis on rejoint l origine de u et l extrémité du représentant construit :
Propriété : Pour tous vecteurs u et v et tous réels k et k', on a : k(u v) = k u + k v et (k + k')u = k u + k'u.
Définition : Les vecteurs u et v sont colinéaires signifie qu ils ont même direction, c'est-à-dire qu il existe un réel k non nul tel que u k v.
u, v et w sont colinéaires.
a et b sont colinéaires.
Rappels sur les vecteurs
VECTEURS ET COORDONNÉES DANS LE PLAN
Théorème (admis) : Les points A et B ont pour coordonnées respectives (xA yA) et (xB yB) et le vecteur u a pour coordonnées
x y . Alors :
le vecteur AB a pour coordonnées : AB
xB xA
yB yA
le milieu I de [AB] a pour coordonnées I
xA xB
2
yA yB 2
Dans un repère orthonormal : La distance AB est AB (xB xA)2 (yB yA)2 et la norme du vecteur u est || |u | x² y²
Remarque : on peut écrire les coordonnées des vecteurs en ligne ou en colonne mais on écrit celle des points en ligne.
Exemple
Si A(2 4) et B( 3 5), alors AB
3 2
5 4 donc AB
5 1 .
AB ( 3 2)2 (5 4)2 26 ou AB
|
| AB||
( 5)² 1² 26.Le milieu I de [AB] a pour coordonnées
3 2
2
5 4
2 , c'est-à-dire I
1 2
9 2
Définition : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x y) et (x′ y′).
On appelle déterminant de u et v, noté det (u v) le réel det(u v)
x y
x′ y′ xy yx
Exemple Si u
2
3 et v
3
2 , alors det (u v) 23 23 2 2 ( 3) 34 9 13.
Théorème : Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives (x y) et (x′ y′).
Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si det(u v) 0, c'est-à-dire ssi xy′−yx′ 0.
Dans l exemple ci-dessus, det(u v) 13 0 donc u et v ne sont pas colinéaires.
Rappels sur les vecteurs
VECTEURS ET COORDONNÉES DANS L ESPACE
Théorème (admis) : Les points A et B ont pour coordonnées respectives (xA yA zA) et (zB yB zB) et le
vecteur u a pour coordonnées
x y z
. Alors :
le vecteur AB a pour coordonnées : AB
xB xA
yB yA zB zA
le milieu I de [AB] a pour coordonnées I
xA xB
2
yA yB
2
zA zB
2
Dans un repère orthonormal : La distance AB est AB (xB xA)2 (yB yA)2 (zB zA)2 et la norme du vecteur u est || |u | x² y² z²
Remarque : on peut écrire les coordonnées des vecteurs en ligne ou en colonne mais on écrit celle des points en ligne.
Théorème : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemples : Si u
2 5 7
et v
4 10 14
, alors v 2u donc u et v sont colinéaires
Si u
2 5 7
et w
6 5 3 21
5
: xw
xu
6 5 2
3 5 ; yw
yu
3 5 et zw
zu
21 5 7
3
5 donc w 3
5u donc u et w sont colinéaires
Si u
2 5 7
et a
3 15
2 10
: xa
xu
3 2 ; ya
yu
15 2 5
3 2 et za
zu
10 7 3
2 donc u et a ne sont pas colinéaires
