ETUDE NUMERIQUE DES EFFETS NON-LINEAIRES SUR LA DYNAMIQUE BIDIMENSIONNELLE D’UN SYSTEME
HOULOMOTEUR IMMERGE
NUMERICAL STUDY OF NONLINEAR EFFECTS ON THE TWO-DIMENSIONAL DYNAMICS OF A SUBMERGED WAVE-ENERGY CONVERTER
E. GUERBER 1 , M. BENOIT 1 , S.T. GRILLI 2 , C. BUVAT 1
1 Laboratoire d’Hydraulique Saint-Venant, Universit´ e Paris-Est
(Laboratoire de recherche commun EDF R&D, CETMEF, Ecole des Ponts ParisTech) 6 quai Watier, BP 49, 78400 Chatou, France
etienne.guerber@edf.fr, michel.benoit@edf.fr, clement.buvat@edf.fr
2 Department of Ocean Engineering, University of Rhode Island Narragansett, RI, USA
grilli@oce.uri.edu
R´ esum´ e
Les travaux pr´ esent´ es concernent le d´ eveloppement d’un code de simulation avanc´ e permettant de simuler les mouvements −´ eventuellement de grande amplitude− de corps immerg´ es sous l’action des vagues de surface. En particulier, on vise ` a repr´ esenter au mieux toutes les non-lin´ earit´ es du syst` eme hydrodynamique-m´ ecanique coupl´ e : celles du champ de vagues, celles des efforts hydrodynamiques agissant sur la structure ainsi que celles de la r´ eponse dynamique du corps. A terme, cet outil est destin´ e ` a mod´ eliser le comportement de certains types de Syst` emes R´ ecup´ erateurs d’Energie des Vagues (SREV) immerg´ es.
Summary
The present work deals with the development of an advanced numerical tool for simu-
lating large amplitude motions of submerged bodies, underneath ocean waves. We espe-
cially focus on representing all the nonlinearities of the coupled hydrodynamic-mechanical
system : nonlinear waves, nonlinear hydrodynamic forces acting on the structure and non-
linear dynamical response of the body. The long term goal of this research is to model
the behaviour of some types of fully submerged Wave Energy Converters (WEC).
I – Introduction
Les ´ energies renouvelables marines connaissent un fort regain d’int´ erˆ et ces derni` eres ann´ ees, et en particulier l’´ energie houlomotrice, avec la mise au point et les tests de plusieurs Syst` emes R´ ecup´ erateurs d’Energie des Vagues (SREV). Parmi les diff´ erentes technologies propos´ ees, les SREV de type “absorbeur ponctuel” utilisent le mouvement oscillant de corps flottants ou immerg´ es sous l’effet des vagues. Ces corps sont souvent immerg´ es ` a une faible distance sous la surface de l’eau et d´ ecrivent des mouvements de grande amplitude (voir par exemple le syst` eme CETO, Mann et al., 2007). C’est pour- quoi les mod` eles fond´ es sur l’hypoth` ese de mouvements de faible amplitude et/ou l’hy- poth` ese d’une surface libre lin´ earis´ ee ne sont pas adapt´ es ` a la simulation du syst` eme coupl´ e hydrodynamique-dynamique du corps. Les travaux pr´ esent´ es ici consistent ` a d´ evelopper un mod` ele num´ erique capable de calculer les interactions non-lin´ eaires vagues-corps en 2 dimensions d’espace (2DV), pour ˆ etre ensuite appliqu´ e ` a la mod´ elisation de la dynamique de SREV dans des ´ etats de mer r´ eels (vagues irr´ eguli` eres).
Dans cette ´ etude on adopte une approche potentielle pour la partie hydrodynamique, dans un cadre 2DV (i.e. dans un plan vertical), correspondant au cas d’un canal ` a houle num´ erique. Le mod` ele utilis´ e pour la g´ en´ eration et la propagation des vagues est un mod` ele potentiel compl` etement non-lin´ eaire, fond´ e sur une m´ ethode d’´ el´ ements de fronti` eres d’ordre ´ elev´ e, d´ evelopp´ e par Grilli et ses collaborateurs depuis une vingtaine d’ann´ ees. Ce mod` ele, d´ ej` a largement valid´ e sur diff´ erents types d’applications oc´ eaniques et cˆ oti` eres, a ´ et´ e modifi´ e pour prendre en compte la pr´ esence d’un corps rigide immerg´ e, fixe ou mobile, avec le calcul des efforts de pression hydrodynamique s’exer¸cant sur le corps. Une m´ ethodologie sp´ ecifique a ´ et´ e d´ evelopp´ ee pour r´ esoudre le probl` eme coupl´ e hydrodynamique-m´ ecanique. Nous pr´ esentons un cas de validation pour lequel les r´ esultats du mod` ele num´ erique sont compar´ es aux r´ esultats de la th´ eorie lin´ eaire d’Evans (1976) sur le cas d’un cylindre horizontal soumis ` a des forces externes (forces de rappel, force repr´ esentant l’extraction d’´ energie des vagues,...), en plus des efforts hydrodynamiques.
II – Formulation Math´ ematique
II – 1 Pr´ esentation g´ en´ erale du probl` eme
Nous utilisons un canal ` a houle num´ erique (NWT : Numerical Wave Tank) fond´ e sur
un mod` ele potentiel compl` etement non-lin´ eaire (FNPF : Fully Nonlinear Potential Flow)
appliqu´ e au calcul des interactions non-lin´ eaires (forces hydrodynamiques et mouvements
induits) entre l’´ ecoulement dˆ u aux vagues et un corps immerg´ e repr´ esentant une section
d’un SREV ancr´ e sur le fond marin. Il s’agit d’une extension du mod` ele d´ evelopp´ e au cours
des 20 derni` eres ann´ ees par Stephan Grilli et ses collaborateurs (Grilli & Subramanya,
1996 ; Grilli, 1997 ; Grilli & Horrillo, 1997). Les ´ equations du mod` ele sont rappel´ ees dans
la suite (pour plus de d´ etails, se reporter aux r´ ef´ erences ci-avant). Le potentiel des vitesses
φ(x, t) est utilis´ e pour d´ ecrire un ´ ecoulement suppos´ e irrotationnel et incompressible dans
le plan (x, z), et le champ de vitesses est d´ esign´ e par u = ∇φ.
Figure 1 – Exemple de domaine de calcul Ω et fronti` eres associ´ ees.
L’´ equation de continuit´ e sur le domaine ferm´ e fluide Ω(t) (voir sch´ ema de d´ efinition en Fig.1), de fronti` ere Γ(t), est une ´ equation de Laplace sur le potentiel :
∇ 2 φ = 0 sur Ω(t) (1)
A la surface libre, le potentiel v´ erifie les conditions limites cin´ ematique et dynamique de surface libre,
Dr Dt ≡ ( ∂
∂t + u · ∇)r = u = ∇φ sur Γ f (t) (2) Dφ
Dt = −gz + 1
2 ∇φ · ∇φ − p a
ρ sur Γ f (t) (3)
respectivement, avec r le vecteur position de la surface libre, g l’acc´ el´ eration de la gravit´ e, p a la pression atmosph´ erique et ρ la masse volumique du fluide. Au fond, suppos´ e imperm´ eable et stationnaire, une condition de non-p´ en´ etration est impos´ ee :
∂φ
∂n = 0 sur Γ b (4)
n d´ esigne le vecteur normal ` a la fronti` ere consid´ er´ ee, orient´ e vers l’ext´ erieur du domaine fluide. Sur la fronti` ere gauche du domaine, des vagues, p´ eriodiques ou irr´ eguli` eres, peuvent ˆ
etre g´ en´ er´ ees par le mouvement d’un batteur plan de type “volet” ou “piston”. Il est aussi possible d’utiliser une m´ ethode de g´ en´ eration exacte de vagues p´ eriodiques fond´ ee sur la th´ eorie de la fonction de courant. A l’extr´ emit´ e droite du domaine, une plage absorbante (AB) est impl´ ement´ ee pour r´ eduire la r´ eflexion des vagues sur la fronti` ere. Plus de d´ etails sur la g´ en´ eration et l’absorption des vagues dans le mod` ele sont disponibles dans Grilli
& Horrillo (1997). Sur le corps immerg´ e, une condition sp´ ecifique est impos´ ee, d´ etaill´ ee dans la partie suivante.
L’´ equation (1) est transform´ ee en une ´ equation int´ egrale sur les fronti` eres (BIE) ` a l’aide
de la seconde identit´ e de Green ; elle est ensuite r´ esolue par la m´ ethode des ´ el´ ements de
fronti` ere. L’´ equation int´ egrale est ´ evalu´ ee en N nœuds de discr´ etisation sur les fronti` eres
et M ´ el´ ements d’ordre ´ elev´ e sont utilis´ es pour interpoler les variables entre les nœuds de
discr´ etisation. Dans la suite, des ´ el´ ements quadratiques isoparam´ etriques sont utilis´ es sur
les fronti` eres lat´ erales et sur le fond. Des ´ el´ ements lin´ eaires isoparam´ etriques sont dispos´ es
sur la fronti` ere du corps et des ´ el´ ements cubiques sont utilis´ es sur la surface libre pour
assurer la continuit´ e de la pente entre chaque ´ el´ ement. Sur ces derniers ´ el´ ements, plus
connus sous le nom d’´ el´ ements d’interpolation cubique mixte, la g´ eom´ etrie est mod´ elis´ ee
par des fonctions de forme cubiques et les variables physiques sont interpol´ ees entre chaque
paire de nœuds voisins ` a l’aide d’un ´ el´ ement isoparam´ etrique “glissant” ` a 4 nœuds. Les
expressions des int´ egrales sur les ´ el´ ements (r´ eguli` eres, singuli` eres et quasi-singuli` eres) sont
donn´ ees dans Grilli & Subramanya (1996). Les conditions de surface libre (2) et (3) sont int´ egr´ ees en temps grˆ ace ` a des d´ eveloppements en s´ eries de Taylor au second ordre :
r(t + ∆t) = r(t) + ∆t Dr
Dt (t) + ∆t 2 2
D 2 r
Dt 2 (t) (5)
φ(t + ∆t) = φ(t) + ∆t Dφ
Dt (t) + ∆t 2 2
D 2 φ
Dt 2 (t) (6)
Les termes du second ordre sont exprim´ es en d´ erivant de fa¸con lagrangienne les
´
equations (2) et (3) et calcul´ es en r´ esolvant une seconde BIE portant sur ( ∂φ ∂t , ∂t∂n ∂
2φ ) dont les conditions aux limites sont formul´ ees ` a partir de la solution de la premi` ere BIE. Les expressions d´ etaill´ ees des s´ eries de Taylor sont donn´ ees dans Grilli (1997).
Ce canal ` a houle num´ erique a ´ et´ e modifi´ e pour prendre en compte la pr´ esence d’un corps rigide compl` etement immerg´ e sous la surface libre. R´ ecemment le cas d’un corps en mouvement forc´ e (qui inclut le cas particulier du corps fixe) a ´ et´ e ´ etudi´ e (Guerber et al., 2010). On s’int´ eresse ici au cas d’un corps en mouvement “libre” (sous l’effet de divers efforts), qui n´ ecessite un couplage hydro-m´ ecanique entre les ´ equations du fluide et les
´
equations du mouvement du solide.
II – 2 Couplage hydro-m´ ecanique
On consid` ere un corps quelconque rigide de masse M et de moment d’inertie I par rapport ` a son centre d’inertie, les ´ equations du mouvement de ce corps s’´ ecrivent :
M x ¨ = Z
Γ
cpndΓ − M gz + F ext (7)
I θy ¨ = Z
Γ
cp(r × n)dΓ + M ext (8)
¨
x d´ esigne l’acc´ el´ eration du centre d’inertie du corps, ¨ θ l’acc´ el´ eration angulaire du corps par rapport ` a son centre d’inertie, F ext et M ext repr´ esentent respectivement les efforts et moments ext´ erieurs agissant sur le corps (ancrage, effort d’extraction de l’´ energie des vagues, etc.), r est le vecteur position du point d’int´ egration sur la surface du corps par rapport au centre d’inertie et y est le vecteur normal au plan (x, z), d´ efini par y = z × x. Enfin la pression p agissant sur le corps est donn´ ee par la relation (non-lin´ eaire) de Bernoulli :
p = −ρ ∂φ
∂t + 1
2 ∇φ · ∇φ + gz
(9) Le calcul de la pression est rendu d´ elicat par le fait que le terme ∂φ ∂t dans (9) est inconnu le long de Γ c . La r´ esolution du probl` eme de Laplace portant sur ∂φ ∂t permet de contourner cette difficult´ e, si ce n’est que la condition de Neumann sur la fronti` ere du corps propos´ ee par Cointe (1989) :
∂ 2 φ
∂t∂n = ¨ α · n + ˙ θ
˙
α · s − ∂φ
∂s
− 1
R
∂φ
∂s + ∂ 2 φ
∂s∂n
˙ α · s
+ ∂ 2 φ
∂s 2 − 1 R
∂φ
∂n
˙
α · n sur Γ c (10)
n’est pas exploitable en l’´ etat car l’acc´ el´ eration ¨ α et la vitesse ˙ α des points ` a la surface
du corps Γ c font partie des inconnues du probl` eme. Dans (10), ˙ θ est la vitesse de rotation
du corps, 1/R est la courbure locale de la fronti` ere Γ c , et n et s sont les vecteurs localement normal et tangent ` a Γ c .
Plusieurs auteurs ont d´ evelopp´ e des m´ ethodes pour surmonter cette difficult´ e. On peut notamment citer : (i) m´ ethode de d´ ecomposition des modes (Vinje & Brevig, 1981), (ii) m´ ethode it´ erative (Sen, 1993 ; Cao et al., 1994), (iii) m´ ethode indirecte (Wu & Eatock- Taylor, 1996) et (iv) m´ ethode implicite (Van Daalen, 1993 ; Tanizawa, 1995). Apr` es analyse de ces diff´ erentes m´ ethodes, la m´ ethode implicite a ´ et´ e choisie pour notre mod` ele car elle ne n´ ecessite aucune sous-it´ eration, et aucun potentiel “artificiel” n’est ` a introduire. Cette m´ ethode utilise les ´ equations (7-8), (9) et (10) pour en d´ eduire une nouvelle ´ equation int´ egrale portant sur ∂φ ∂t ` a la surface du corps, sous la forme :
∂ 2 φ
∂t∂n (x) + Z
Γ
cK (x, ξ) ∂φ
∂t (ξ)dΓ ξ = γ(x) (11)
Cette ´ equation est alors discr´ etis´ ee par la m´ ethode des ´ el´ ements de fronti` ere ; la matrice K est r´ eguli` ere, sym´ etrique et ne d´ epend que de la g´ eom´ etrie du corps. La fonction γ est ´ egalement calcul´ ee explicitement ` a chaque it´ eration. Apr` es avoir r´ esolu le premier probl` eme de Laplace sur le potentiel, l’´ equation (11) est ajout´ ee au syst` eme matriciel du probl` eme sur ∂φ ∂t de fa¸con ` a avoir autant d’´ equations que d’inconnues. Ce second syst` eme matriciel est invers´ e par la technique d’´ elimination de Kaletsky. Apr` es avoir calcul´ e la pression ` a la surface du corps par (9), les ´ equations du mouvement (7-8) sont int´ egr´ ees en temps et fournissent la position et la vitesse du corps au pas de temps suivant. Plusieurs sch´ emas d’int´ egration ont ´ et´ e compar´ es sur des cas simples d’oscillateurs m´ ecaniques avec amortissement, et le sch´ ema de Newmark a ´ et´ e retenu (´ ecrit ici pour l’´ equation (7)) :
˙
x n+1 = x ˙ n + ∆t [(1 − γ)¨ x n + γ¨ x n+1 ] (12) x n+1 = x n + ∆t x ˙ n + ∆t 2 [( 1
2 − β)¨ x n + β¨ x n+1 ] (13) Le choix s’est port´ e sur les param` etres γ = 1/2 et β = 1/6 correspondant ` a la m´ ethode dite de l’acc´ el´ eration lin´ eaire. Etant donn´ e que ce sch´ ema est implicite (¨ x n+1 est inconnue en d´ ebut de pas de temps), des it´ erations sont n´ ecessaires. Une boucle de type pr´ edicteur- correcteur est utilis´ ee pour converger vers la valeur de la force hydrodynamique au pas de temps suivant, en prenant comme valeur initiale une extrapolation polynˆ omiale de degr´ e 3 en temps ` a partir des valeurs des quantit´ es connues aux quatre pas de temps pr´ ec´ edents.
La convergence est g´ en´ eralement obtenue au bout de 2 it´ erations. Dans nos simulations, le pas de temps est impos´ e par le solveur hydrodynamique.
III – Etude du Cylindre de Bristol en houle monochromatique
III – 1 Le cylindre de Bristol
Guerber et al. (2010) ont ´ etudi´ e les interactions non-lin´ eaires entre un cylindre immerg´ e
en mouvement forc´ e et la surface libre. Ils ont notamment v´ erifi´ e qu’un cylindre immerg´ e
d´ ecrivant un mouvement orbital circulaire se comporte comme un g´ en´ erateur de vagues
unidirectionnel. Inversement, il est possible d’imaginer qu’un cylindre immerg´ e plac´ e dans
un champ de vagues et convenablement ancr´ e au fond ou ` a une structure fixe par un
syst` eme de ressorts et d’amortisseurs pourrait absorber efficacement l’´ energie des vagues,
et potentiellement constituer un SREV. Cette id´ ee a ´ et´ e introduite et ´ etudi´ ee ` a la fin des
ann´ ees 1970, via le “Cylindre de Bristol” (Evans, 1976 ; Evans et al., 1979). La th´ eorie
au 1er ordre (lin´ eaire) d´ evelopp´ ee par Evans (1976) sert de premier point de comparaison
`
a nos simulations. On consid` ere ici le mouvement d’un cylindre immerg´ e sous l’action de vagues p´ eriodiques, en profondeur infine. L’´ equation du mouvement d’un tel cylindre de masse M par unit´ e de longueur, ` a la position x ` a l’instant t partant d’une position d’´ equilibre x ini s’´ ecrit dans ce cadre :
M x ¨ = F h − M gz − d 0 x ˙ − k 0 (x − x ini ) (14) F h repr´ esente les efforts hydrodynamiques induits par les vagues et (d 0 , k 0 ) sont res- pectivement la raideur et le coefficient d’amortissement, pris ´ egaux dans les directions x et z, et calcul´ es en fonction d’une pulsation de r´ eglage ω 0 , pour laquelle la puissance absorb´ ee est maximale (Evans, 1976) :
k 0 = {M + a ii (ω 0 )} ω 2 0 (15)
d 0 = b ii (ω 0 ) (16)
o` u a ii (ω 0 ) et b ii (ω 0 ) sont respectivement la masse ajout´ ee (lin´ eaire) et le coefficient d’amortissement de radiation du cylindre, ` a la fr´ equence de r´ eglage. Ces coefficients ont
´
et´ e calcul´ es num´ eriquement, ` a l’aide d’une configuration avec un cylindre en mouvement forc´ e de pilonnement et d’embard´ ee.
Evans (1976) montre que, sous ces conditions, le cylindre d´ ecrit un cercle de rayon C sous l’action d’une houle lin´ eaire d’amplitude A et de pulsation ω :
C A
2
= ρg 2 b ii (ω)
ω {[k 0 − (M + a ii (ω))ω 2 ] 2 + ω 2 (d 0 + b ii (ω)) 2 } (17) La configuration utilis´ ee par Evans et al. (1979) est reproduite dans nos simulations : un cylindre de rayon R = 5 cm, r´ egl´ e ` a la fr´ equence f 0 = 1.65 Hz (kR = 0.55), est plac´ e ` a la cote initiale z c = −1.25R = −6, 25 cm sous la surface libre au repos. Des vagues monochromatiques de hauteur variant entre 0.1 mm et 1 cm sont g´ en´ er´ ees par la m´ ethode de fonction de courant, avec 13 fr´ equences r´ eparties entre 1 Hz et 3 Hz et des longueurs d’onde allant de 19 cm ` a 2.45 m. Pour chaque fr´ equence, 20 nœuds par longueur d’onde sont utilis´ es pour discr´ etiser la surface libre et 60 nœuds sont utilis´ es sur le contour du cylindre. La profondeur du canal d est fix´ ee ` a 1.2 m de fa¸con ` a v´ erifier que pour l’ensemble des fr´ equences consid´ er´ ees, kd reste sup´ erieur ` a 3.1. On se place donc bien en profondeur infinie, conform´ ement ` a la th´ eorie d’Evans. Une plage absorbante de longueur 4 fois la longueur d’onde est impl´ ement´ ee ` a l’extr´ emit´ e du canal pour limiter les r´ eflexions parasites.
III – 2 R´ esultats num´ eriques
III – 2.1 Trajectoire du centre du cylindre
Apr` es un ´ etat transitoire, le centre du cylindre d´ ecrit une trajectoire stable dans le
temps autour de sa position initiale qui correspond ` a sa position d’´ equilibre. La figure
2 montre l’´ evolution de l’amplitude moyenne de la trajectoire R moy adimensionn´ ee par
l’amplitude A de la houle en fonction de kR. La courbe en pointill´ es correspond au rayon
de la trajectoire circulaire pr´ edite par la th´ eorie lin´ eaire d’Evans. Les r´ esultats du mod` ele
num´ erique se rapprochent sensiblement de la th´ eorie d’Evans pour les vagues de plus
faible amplitude. En particulier, les r´ esultats du mod` ele num´ erique convergent lorsque
l’amplitude de la houle d´ ecroˆıt.
0 0.5 1 1.5 0
0.2 0.4 0.6 0.8
kR R moy /A
Evans (1976) H = 0.1 mm H = 1.0 mm H = 5.0 mm H = 1.0 cm
Figure 2 – Amplitude moyenne de la trajectoire du cylindre, adimensionn´ ee par l’amplitude des vagues, en fonction de kR. Les r´ esultats sont compar´ es ` a la th´ eorie lin´ eaire d’Evans (1976).
L’amplitude moyenne du mouvement du cylindre d´ ecroˆıt l´ eg` erement lorsque la non- lin´ earit´ e des vagues augmente. Par ailleurs, contrairement aux r´ esultats de la th´ eorie lin´ eaire d’Evans, les trajectoires du cylindre pr´ edites par le mod` ele num´ erique ne sont pas parfaitement circulaires.
Sur la figure 3 est repr´ esent´ ee l’excentricit´ e e de la trajectoire, d´ efinie par : e =
s 1 −
R min R max
2
(18) o` u R min et R max sont respectivement les amplitudes minimum et maximum de la tra- jectoire du centre du cylindre sur une p´ eriode de vague. Le cas du cercle parfait correspond
`
a une excentricit´ e nulle (R max = R min ).
De nouveau les r´ esultats num´ eriques se rapprochent de la th´ eorie d’Evans pour les faibles amplitudes de vagues, sans toutefois pr´ edire une trajectoire parfaitement circulaire.
Le caract` ere elliptique de la trajectoire augmente sensiblement avec l’amplitude de la houle. Par ailleurs la trajectoire du cylindre pr´ esente une excentricit´ e minimum pour la fr´ equence de r´ eglage consid´ er´ ee (kR = 0.55).
0 0.5 1 1.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8
kR
e
Evans (1976) H = 0.1 mm H = 1.0 mm H = 5.0 mm H = 1.0 cm
Figure 3 – Excentricit´ e de la trajectoire en fonction de kR. Les r´ esultats sont compar´ es ` a la
th´ eorie lin´ eaire d’Evans (1976).
III – 2.2 Efficacit´ e du syst` eme
Evans et al. (1979) se sont ´ egalement int´ eress´ es ` a l’efficacit´ e du cylindre de Bristol E qui est d´ efinie comme le rapport de la puissance moyenne absorb´ ee par le syst` eme hP abs i sur le flux d’´ energie incident moyen hΦ i i.
E = hP abs i
hΦ i i (19)
avec hP abs i = T 1 R T
0 d 0 x ˙ 2 dt.
Evans montre que l’efficacit´ e du syst` eme ` a la fr´ equence ω pr´ edite par la th´ eorie lin´ eaire en profondeur infinie prend la forme :
E(ω) = 4ω 2 b ii (ω)d 0
[k 0 − (M + a ii (ω))ω 2 ] 2 + ω 2 (d 0 + b ii (ω)) 2 (20) On notera qu’` a la fr´ equence de r´ eglage, on obtient E(ω 0 ) = 1 qui correspond ` a une absorption totale de l’´ energie de la houle incidente. L’efficacit´ e est estim´ ee en calculant num´ eriquement le flux moyen d’´ energie hΦ i i sur une p´ eriode de houle T = 2π/ω ` a travers une section verticale situ´ ee ` a l’abscisse moyenne x 0 du centre du cylindre, mais en l’absence de cylindre pour ´ eviter toute r´ eflexion ´ eventuelle. Il s’exprime sous la forme :
hΦ i i = 1 T
Z t+T
t
Φ i (t)dt (21)
avec Φ i (t) le flux (non-lin´ eaire) instantan´ e d´ efini par : Φ i (t) =
Z η(t)
−d
∂φ
∂x
p + ρgz + 1 2 ρ
∂φ
∂x
2
+ ∂φ
∂z
2
dz (22)
o` u η(t) est la position de la surface libre ` a l’instant t.
La figure 3 montre l’efficacit´ e du syst` eme pour l’ensemble des fr´ equences et hauteurs de vague consid´ er´ ees issue du mod` ele et compar´ ee ` a la th´ eorie lin´ eaire d’Evans.
0 0.5 1 1.5 2
0 0.5 1
kR
E
Evans (1976) H = 0.1 mm H = 1.0 mm H = 5.0 mm H = 1.0 cm
Figure 4 – Efficacit´ e du cylindre de Bristol en fonction de kR, pour plusieurs amplitudes de vagues. La th´ eorie lin´ eaire d’Evans (1976) correspond ` a la courbe en pointill´ es.
L’efficacit´ e th´ eorique d’Evans est proche de 1 sur une bande de fr´ equences allant de
kR = 0.40 ` a kR = 0.65. Les r´ esultats num´ eriques convergent vers une efficacit´ e maximale
du syst` eme ` a environ 0.95 pour les faibles amplitudes de la houle, avec une bande spectrale
plus large que celle obtenue par la th´ eorie lin´ eaire (Fig. 4). En revanche le syst` eme perd en efficacit´ e lorsque l’amplitude de la houle augmente, ce qui confirme que le r´ eglage (Eq.
16) propos´ e par Evans ne reste pas optimal d` es lors que la cambrure des vagues augmente.
IV – Efficacit´ e du syst` eme en houle irr´ eguli` ere
Dans cette partie, on ´ etudie l’efficacit´ e du cylindre de Bristol soumis ` a des vagues irr´ eguli` eres correspondant ` a un spectre de JONSWAP. Comme dans la partie pr´ ec´ edente, on consid` ere un cylindre de Bristol de rayon 5 cm, immerg´ e ` a 6.25 cm sous la surface libre au repos, dans un bassin de profondeur d = 1.2 m, et r´ egl´ e ` a la fr´ equence f 0 = 1.65 Hz, soit kR = 0.55. Les vagues sont g´ en´ er´ ees par le mouvement d’un batteur-volet dont l’amplitude est d´ eduite du spectre de variance de surface libre grˆ ace ` a la th´ eorie de batteur au premier ordre (Dean & Dalrymple, 1991). L’objectif de ces simulations est de mesurer l’influence de l’´ etalement spectral, via le param` etre d’´ elancement γ du spectre de JONSWAP, sur l’efficacit´ e du syst` eme autour de sa fr´ equence de r´ eglage. Dans la suite, la fr´ equence de pic f p des spectres consid´ er´ es ainsi que la fr´ equence f r de la houle r´ eguli` ere sont choisies
´
egales ` a la fr´ equence de r´ eglage du syst` eme :
f p = f r = f 0 (23)
IV – 1 Caract´ eristiques des spectres de JONSWAP consid´ er´ es Les spectres de JONSWAP consid´ er´ es sont param´ etris´ es sous la forme :
S J (f ) = α g 2
(2π) 4 f 5 exp − 5 4
f f p
−4 ! γ
exp
−
1−f
fp 2
2σ2
