Elle est ´egalement continue en π par produit de deux fonctions continues (la fonction x 7→ |x| est continue sur R)

CORRECTION DU TEST 3 DU 16/11/17

1) Cette fonction est clairement continue et d´erivable surR\{π}. Elle est ´egalement continue en π par produit de deux fonctions continues (la fonction x 7→ |x| est continue sur R). Il nous suffit donc d’´etudier la d´eriv´ee de cette fonction en π.

Pour x ≥ π, f(x) = (x−π) sin(x), on en d´eduit donc que pour x > π, f⁰(x) = sin(x) + (x−π) cos(x) et :

lim

x→π⁺f⁰(x) = 0

Pour x≤π, f(x) =−(x−π) sin(x), ce qui donne pourx < π,f⁰(x) =−sin(x)− (x−π) cos(x), puis :

lim

x→π⁻f⁰(x) = 0

Les limites `a gauche et `a droite de la d´eriv´ee sont finies et co¨ıncident, donc la fonc- tion est d´erivable en πet, par suite, surR. Cette affirmation estvraie.

4) Consid´erons la fonction f : [−2,3] → R, d´efinie par f(x) = (x−1)³ pour x∈[−2,3]. C’est une fonction d´erivable, de d´eriv´eef⁰(x) = 3(x−1)² qui v´erifie f⁰(1) = 0. Or cette fonction est strictement croissante sur [−2,3] donc elle ne peut pas admettre d’extremum local en 1. L’affirmation estfausse.

6) Cette fonction est d´erivable sur ]−π/2, π/2[ par les r`egles usuelles de composition des d´eriv´ees (et car tan est d´erivable sur ce mˆeme intervalle). Il suffit d’appliquer la r`egle de composition des d´eriv´ees en consid´eranth: x7→x³ et g :x7→tan(x) qui v´erifientf(x) =h(g(x)) pour toutx∈]−π/2, π/2[. On a alors:

f⁰(x) =g⁰(x)h⁰(g(x)) = tan⁰(x)×3 tan²(x) = 3(1+tan²(x)) tan²(x) = 3(tan²(x)+tan⁴(x)) L’affirmation est doncfausse.

Remarque : Si u : I → R est une fonction d´erivable et n ∈ N, alors (uⁿ)⁰ = nu⁰uⁿ⁻¹.

13) Il s’agit d’appliquer le th´eor`eme des accroissements finis dans cette question.

Consid´eronsf : R→Rd´efinie parf(t) =t²⁰¹³et fixonsx, y∈[−1,1]. La fonction f ´etant continue sur [x, y] et d´erivable sur ]x, y[ (en fait sur [x, y] ´egalement), de d´eriv´eef⁰(t) = 2013t²⁰¹², on sait d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis qu’il existe unc∈]x, y[ tel que f(x)−f(y) =f⁰(c)(x−y) = 2013c²⁰¹²(x−y). Puisque c∈[−1,1], il vient:

|f(x)−f(y)|= 2013|c|²⁰¹²|x−y| ≤2013|x−y|

17) Cette fonction est clairement de classeC¹surR\ {0}. Il s’agit ici de v´erifier si elle est continue, d´erivable et de d´eriv´ee continue en 0. Remarquons que pour tout x6= 0,|f(x)|=|x²sin(1/x)| ≤ |x|². Par encadrement, on en d´eduit que :

x→0limf(x) = 0 =f(0)

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2 CORRECTION DU TEST 3 DU 16/11/17

La fonctionf est donc continue en 0. Pour x6= 0, le calcul de la d´eriv´ee donne : f⁰(x) = 2xsin(1/x) +x²×(−1

x²) cos(1/x) = 2xsin(1/x)−cos(1/x) Remarquons que pourx6= 0,|2xsin(1/x)| ≤2|x|donc :

x→0lim2xsin(1/x) = 0

Or, on sait quex7→cos(1/x) n’admet pas de limite en 0 doncx7→f⁰(x) ne peut pas en admettre ´egalement (sinonx7→f⁰(x)−2xsin(1/x) =−cos(1/x) devrait en admettre une, ce qui est absurde). La d´eriv´ee de la fonction ne peut donc pas se prolonger en 0. f n’est pas de classeC¹ surR, cette affirmation estfausse.