Complément sur l’intégration
Propriété n°2
Soit f une fonction continue, positive, admettant une primitive F. Alors
∫
a b
f(x)dx = F(b) – F(a)
Démonstration
Soit G une primitive de f qui s’annule en a. Alors G(x)=
∫
a x
f (x)dx (cf propriété n°1).
Soit F une primitive de f. Comme G’(x)=F’(x)=f(x), on a G(x)=F(x)+…. , …………..
Comme G(a)=… et que G(b)=
∫
…
…
…… … …, on a :
F(b) – F(a)= G(…) – G(…) = ………
Exemple n°4 Calculer
∫
−1 2
(x2−4x+3)dx (Résultat : 6)
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Propriété n°2 (liste des primitives usuelles)
Fonction Primitive Domaine de validité
f(x) =k (k ∈R) F(x)=... + ... ...
f(x) = k xn (k R∈ , n ∈N) F(x)= ...
... + ... ...
f(x) = k 1
xn (k ∈R, n ≠ 1) F(x)= ...
... + ...
f(x) = k
x = k x−1 (k ∈R) F(x)=... + ... ...
f(x) = k ex (k ∈R) F(x)=... + ... ...
f(x) = k
√x = k x−1/2 (k ∈R) F(x)= ...+ ...
...
..
f(x) = k cos (x) (k ∈R) F(x)=... + ... ...
f(x) = k sin (x) (k ∈R) F(x)=... + ... ...
f(x) = ex F(x)=... + ...
Propriété n°3 : Primitives particulières
On nomme u et v les dérivées respectives de U et V (ou U et V des primitives de u et v). k est un nombre réel.
a. Une primitive de u +v est …………...
b. Une primitive de kv est …..
c. Une primitive de u’ un est ………
d. Une primitive de u ’
u est ……….
e. Une primitive de u ’
un est ………
f. Une primitive de u’
√u est ……….
g. Une primitive de u’eu est ………
h. Une primitive de u(ax + b) est ………..
Exemple n°5
Calculer
∫
0
2 3x
(x2+1)2dx
(résultat : 6
5)
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...…
Exemple n°6
Calculer les primitives des fonctions suivantes : a. f(x)=x³ – 2x² +4x – 1
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b. f(x)=2x(x² – 1)³
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c. f(x)=(3x – 1)⁴
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d. f(x)=(3x–1)⁴
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e. f(x)= 2
2x –3
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f. f(x)= 1
4x+1
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g. f(x)= x+1
(x2+2x –3)²
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h. f(x)= 1
√x+4
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i. f(x)= 3
√2x+1
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j. f(x)=e4x+1
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k. f(x)=xe–x²+3
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